湘教版數(shù)學(xué)八年級上冊期末復(fù)習(xí)(二)三角形

期末復(fù)習(xí)(二)三角形考點一三角形的邊和角【例1】下列長度的三條線段能組成三角形的是()A.1,2,3B.2,2,4C.3,4,5D.3,4,8【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及不等式的相關(guān)知識.A中,1+2=3,錯；B中，2+2=4,錯；C正確;D中，3+4<8,錯.【解答】C【方法歸納】在實際判斷時,不需要去將三角形的任意兩邊都相加,然后判斷其和是否大于第三邊.只需選取較小的兩邊相加,判斷其和是否大于最大邊即可.【例2】如圖,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3:4：5,BD,CE分別是邊AC,AB上的高,BD,CE相交于H,求∠BHC的度數(shù).【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,結(jié)合已知條件可先求出∠A,∠ABC,∠ACB,因為∠BHC在△BHC中,則需先求出∠DBC和∠ECB的值.【解答】依題意設(shè)∠A=(3x)°,∠ABC=(4x)°,∠ACB=(5x)°,∴3x+4x+5x=180.∴x=15.即∠A=45°,∠ABC=60°,∠ACB=75°.∵BD,CE分別是邊AC,AB上的高,∴∠BDC=∠BEC=90°.∴∠DBC=90°-75°=15°,∠ECB=90°-60°=30°.在△BHC中,∠BHC=180°-15°-30°=135°.【方法歸納】已知三角形三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可根據(jù)份數(shù)設(shè)未知數(shù),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,可得到一個方程,解方程即可求得三角形三個內(nèi)角的度數(shù).1.如圖,∠1=100°,∠2=145°,則∠3=()A.55°B.65°C.75°D.85°2.一個三角形的兩邊a=2,b=15,試確定第三邊c的范圍,當(dāng)各邊均為整數(shù)時,有幾個三角形?有等腰三角形嗎?等腰三角形的各邊長各是多少?考點二命題與證明【例3】用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中()A.有一個內(nèi)角大于60°B.有一個內(nèi)角小于60°C.每一個內(nèi)角都大于60°D.每一個內(nèi)角都小于60°【分析】用反證法證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°.故選C.【解答】C【方法歸納】用反證法證明時，要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.3.把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果…，那么…”的形式是：.4.已知命題“若a＞b，則a2＞b2”.(1)此命題是真命題還是假命題？若是假命題，請舉出一個反例；(2)寫出此命題的逆命題，并判斷此逆命題的真假；若是假命題，請舉出一個反例.考點三等腰三角形【例4】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，試求∠A的度數(shù).【分析】設(shè)∠A=x，把邊相等轉(zhuǎn)化為角相等，則有∠AED=∠A=x，∠EDB=∠EBD=x，∠C=∠BDC=x，∠ABC=∠C=x，在△ABC中，根據(jù)內(nèi)角和定理建立關(guān)于x的方程求解即可.【解答】設(shè)∠A=x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x.∵DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=x.又∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=∠A+∠EBD=x.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=4x=180°，∴∠A=x=45°.【方法歸納】題中給出了多組相等的邊，求角的度數(shù)，往往可由邊相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為角相等關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理利用方程求解.5.如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由.考點四線段的垂直平分線【例5】如圖,在△ABC中,DM,EN分別垂直平分AB和AC,交BC于點D,E,若△ADE的周長為24cm,求BC的長度.【分析】因為DM,EN分別垂直平分AB和AC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),則有AD=BD,AE=CE,因此線段BC上BD的長可以轉(zhuǎn)化為AD,CE可以轉(zhuǎn)化為AE,即線段BC的長可轉(zhuǎn)化為△ADE的周長.【解答】∵DM,EN分別垂直平分AB和AC,∴AD=BD,AE=CE,∴BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE.又∵△ADE的周長為AD+DE+AE,∴BC=24cm.【方法歸納】當(dāng)題目中出現(xiàn)線段垂直平分線求某些線段或周長的值時,往往要考慮對相等的線段進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.6.如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線EF交BC于點E,交AB于點F,點D為線段CE的中點,∠CAD=20°,∠ACB的外角等于110°.求證：BE=AC.考點五全等三角形【例6】如圖所示,△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.求證：AB=AC+CD.【分析】本題要證的結(jié)論也是兩條線段長度之和等于一條線段的長度,我們要考慮將不共線的兩條線段AC、CD組合成一條線段,延長AC是必然的.由于有條件∠1＝∠2,然后再證明△ABD≌△AED就輕而易舉.【解答】證明：延長AC至E,使AE=AB,連接DE.在△ABD和△AED中,∴△ABD≌△AED(SAS).∴∠B=∠E.∵∠ACD=∠E+∠CDE,∠ACD=2∠B,∴∠ACD=2∠E.∴∠E=∠CDE.∴CD=CE.∵AB=AC+CE，∴AB=AC+CD.【方法歸納】本例中用到的方法叫“補短法”,是將較短的線段AC補長,構(gòu)造全等三角形,從而達到求解目的.也可采用“截長法”,即在AB上截取AF=AC,連接DF,構(gòu)造三角形全等,這兩種方法通常適合于證明一條線段等于兩條線段的和.7.已知：如圖,AB∥ED,點F,點C在AD上,AB=DE,AF=DC.求證：BC=EF.一、選擇題(每小題3分，共24分)1.若三角形的兩邊長分別為6cm，9cm，則其第三邊的長可能為()A.1cmB.3cmC.7cmD.16cm2.若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1∶3∶4，那么這個三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形3.命題“兩條直線相交只有一個交點”的條件是()A.兩條直線B.相交C.只有一個交點D.兩條直線相交4.如圖，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，則∠ABD的度數(shù)是()A.20°B.30°C.35°D.40°5.如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的角平分線,交AC于點D,若CD=4,AB=10,則△ABD的面積為()A.10B.20C.30D.406.下列判斷中錯誤的是()A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩三角形全等B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等7.如圖,△ABD與△ACE均為等邊三角形,且AB＜AC,則BE與CD之間的大小關(guān)系是()A.BE=CDB.BE＞CDC.BE＜CDD.大小關(guān)系不確定8.如圖,已知兩個全等直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合,將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置,其中A′C交直線AD于點E,A′B′分別交直線AD,AC于點F,G.則旋轉(zhuǎn)后的圖中,全等三角形共有()A.2對B.3對C.4對D.5對二、填空題(每小題3分，共24分)9.“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的逆命題是.10.(2013·黔東南)在△ABC中，三個內(nèi)角∠A，∠B，∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，則∠B=度.11.用反證法證明“若|a|≠|(zhì)b|，則a≠b.”時，應(yīng)假設(shè).12.如果等腰三角形兩邊長分別是3和6,那么第三邊的長是.13.如圖，DE是三角形ABC的邊AB的垂直平分線，分別交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，則∠C=°.14.如圖,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°,則∠OAD=.15.如圖,AB=DC,AC與BD相交于點O,要使△ABC≌△DCB,應(yīng)添加條件.(添加一個條件即可)16.(2013·紹興)如圖的鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數(shù)是.三、解答題(共52分)17.(8分)已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4,求這個等腰三角形頂角的度數(shù).18.(10分)如圖,在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD,CE交于點H,已知EH=EB=3,AE=4,求CH的長.19.(10分)已知,如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD和BE交于H,且BE=AE.求證:AH=2BD.20.(10分)如圖,已知BE⊥AC,垂足為E,CF⊥AB,垂足為F,BE與CF相交于點D,且BD=CD.求證：AE=AF.21.(14分)如圖，在△ABC中，AB=AC，點D,E,F分別在BC,AB,AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB.(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)；(3)△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？(4)請你猜想：當(dāng)∠A為多少度時，∠EDF+∠EFD=120°，并請說明理由.參考答案變式練習(xí)1.B2.當(dāng)一個三角形的兩邊a=2,b=15時,第三邊的c范圍為15-2<c<15+2,即13<c<17.又因為c為整數(shù),所以第三邊可能為14,15,16,因此有3個三角形.有一個等腰三角形,當(dāng)c=15時,這個三角形為等腰三角形,其各邊長分別為2,15,15.3.如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形4.(1)假命題.反例：a=2，b=-3，有a＞b，但a2＜b2.(2)逆命題：若a2＞b2，則a＞b.此命題為假命題.反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b.5.△AFC是等腰三角形.理由如下：在△BAD與△BCE中，∵∠B=∠B，∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE(AAS).∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，∴∠BAC=∠BCA.∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE，即∠FAC=∠FCA.∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形.6.證明：連接AE.∵EF是AB的垂直平分線,∴AE=BE.∵∠CAD=20°,∠ACB的外角等于110°,∴∠ADC=90°.又∵D為線段CE的中點,∴AD垂直平分CE,∴AE=AC,∴BE=AC.7.證明：∵AB∥ED,∴∠A=∠D.又∵AF=DC,∴AF+FC=CD+CF,即AC=DF.在△ABC與△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS).∴BC=EF.復(fù)習(xí)測試1.C2.A3.D4.B5.B6.B7.A8.C9.內(nèi)錯角相等，兩直線平行10.6011.a=b12.613.9014.95°15.∠ABC=∠DCB或AC=DB等16.12°17.設(shè)兩內(nèi)角的度數(shù)為x°,(4x)°.當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫閤°時,x+4x+4x=180.解得x=20；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?4x)°時,4x+x+x=180.解得x=30，4x=120.因此等腰三角形的頂角度數(shù)為20°或120°.18.∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEH=∠ADB=90°.∵∠EAH+∠AHE=90°,∠DHC+∠ECB=90°,∠EHA=∠DHC,∴∠EAH=∠ECB.在△AEH和△CEB中,∴△AEH≌△CEB(AAS)，∴AE=CE.∵EH=EB=3,AE=4,∴CH=1.19.證明：∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADB=90°,∴∠EBC=∠EAH,∵BE=AE,∴△AHE≌△BCE.∴AH=BC.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD.∴AH=2BD.20.證明：∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°,∠AFD=∠AED=90°.又∵BD=CD,∠BDF=∠CDE,∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE,∠B=∠C.∴BE=CF.又∵∠A=∠A,∴△AFC≌△AEB(AAS).∴AE=AF.21.(1)證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵AD+BD=AB,AD+EC=AB,∴BD=EC.在