立體幾何中的向量方法(課時)

32立體幾何中的向量方法第一課時向量方法的基本原理問題提出1立體幾何研究的主要問題有共點，共線，共面，平行，垂直，夾角，距離等，這些問題都與空間向量有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，從而可以用向量方法解決立體幾何問題2立體幾何研究的基本對象是點、直線、平面以及由它們組成的空間圖形為了用空間向量解決立體幾何問題，首先必須把點、直線、平面的位置用向量表示出來，然后再建立相應(yīng)的解題原理3上一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容是空間向量的基礎(chǔ)知識，如何利用這些基礎(chǔ)知識解決立體幾何中的實際問題，是本節(jié)學(xué)習(xí)的主體內(nèi)容教材自學(xué)教材內(nèi)容：P102～P1041空間點、線、面的位置用向量分別如何表示？2如何用直線的方向向量和平面的法向量，表示空間直線、平面間的平行與垂直關(guān)系？1空間點、線、面的位置用向量分別如何表示？（1）點的向量表示：取定點O作為基點，則空間中任意一點P的位置可以用向量表示(點P的位置向量).（2）直線的向量表示：①若直線l過點A，其方向向量為a，則l＝{P|ta，t∈R}；②若直線l過兩點A，B，則l＝{P|，t∈R}alAP（3）平面的向量表示：①若平面α過點O，a，b為平面α內(nèi)兩個不共線向量，則α＝{P|＝xa＋yb，x，y∈R}②若平面α過點O，l⊥α，a為直線l的方向向量(平面α的法向量)，則α＝{P|·a＝0}aOPα2如何用直線的方向向量和平面的法向量，表示空間直線、平面間的平行與垂直關(guān)系？設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則（1）l//ma//ba＝kb；（2）l//αa⊥ua·u＝0；（3）α∥βu//vu＝kv；（4）l⊥ma⊥ba·b＝0；（5）l⊥αa//ua＝ku；（6）α⊥βu⊥vu·v＝0.拓展探究2如何用向量法求空間兩直線，直線與平面，平面與平面的夾角？1如何用向量法求點到平面的距離？設(shè)平面α的法向量為u，點A在平面α內(nèi)，則點P到平面α的距離OAαduP設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則（1）直線l和m所成的角：（2）直線l和平面α所成的角：（3）平面α和平面β所成的角：aOAαBuθvOAαBuθPβ例1如圖所示,長方體的棱長為2，E為AA1中點直線AC1的一個方向向量坐標為___________平面ABCD的一個法向量坐標為___________平面BDE1的一個法向量的坐標典例展示E因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系用向量方法解決立體問題2空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?_______l1⊥l2n1⊥n2?________直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?_______l⊥αn∥m?______平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?______α⊥βn⊥m?_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=0平行垂直平行四、題目練習(xí)1、根據(jù)方向向量確定兩直線的位置關(guān)系設(shè)分別是不重合的兩直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.設(shè)是平面的法向量，是直線的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷直線和平面的位置關(guān)系垂直平行2、根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量確定線面的位置關(guān)系設(shè)分別是不重合的兩個平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系垂直平行相交3、根據(jù)平面的法向量確定兩平面的位置關(guān)系例1如圖所示,長方體的棱長為2，E為AA1中點直線A1C的一個方向向量坐標為___________平面ABCD的一個法向量坐標為___________平面BDE的一個法向量的坐標典例展示E求證：（1）A1C∥平面BDE（2）A1C⊥平面BDC1（3）平面BDE⊥平面BDC1例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，求證：PA//平面EDBABCDPEXYZG解1立體幾何法證明：連結(jié)AC,AC交BD于點G,連結(jié)EG在中，E，G分別為PC，AC的中點ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1證明：連結(jié)AC,AC交BD于點G,連結(jié)EGABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)DC=1證明：設(shè)平面EDB的法向量為知能檢測1證明：如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行l(wèi)mαaua·u＝0－A1B1C1D1中，E、F分別是AC、A1D上的點，且EF⊥AC，EF⊥A1D，求證：EF//BD1A1B1C1ABCD1DEFzxya小結(jié)作業(yè)1直線的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有兩種可能，其模可以為任意正數(shù)，對平面α內(nèi)的任一向量p，若a·p＝0，則l⊥α3用向量方法研究與平面有關(guān)的問題時，一般利用平面的法向量進行運算作業(yè)：《自主學(xué)習(xí)冊》P105～P107第6課時32立體幾何中的向量方法第二課時向量方法的實際應(yīng)用問題提出1用向量法求空間角有哪些基本原理：設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則（1）直線l和m所成的角：（2）直線l和平面α所成的角：（3）平面α和平面β所成的角：2用向量法求空間距離有哪些基本原理：（1）若＝a1＋a2＋…＋an，則＝(a1＋a2＋…＋an)2（2）若點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2)，則（3）設(shè)平面α的法向量為u，點A在平面α內(nèi)，則點P到平面α的距離3用空間向量表示點、直線和平面，其意義在于空間點、線、面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，可以通過向量運算來解決，從而為立體幾何提供了一種高效的解題方法——向量法教材自學(xué)教材內(nèi)容：P105～P1061利用向量法解決立體幾何問題的“三步曲”有什么含義？幾何問題向量化→向量問題數(shù)量化→數(shù)量結(jié)果幾何化2例1的本質(zhì)是求空間兩點間的距離，解法中利用了哪個向量原理？若＝a1＋a2＋…＋an，則＝(a1＋a2＋…＋an)23例2的解法中利用了哪個向量原理？運用了什么數(shù)學(xué)思想？原理同上；方程思想拓展探究1的長與棱長有什么關(guān)系？2例1中設(shè)六面體的棱長都為1，則上、下兩底面之間的距離如何計算？－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此之間的夾角都為θ，對角線AC1的長為a，則平行六面體的棱長如何計算？－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都等于a，且它們彼此之間的夾角都為θ，則二面角A1―AB―C的余弦值如何計算？知能檢測例如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°（1）求點C1到平面AB1C的距離；（2）求二面角A1－B1C－A的大小ABCA1B1C1xyz60°小結(jié)作業(yè)1用向量法求二面角大小有兩種算法，一種是求二面角的兩個面內(nèi)分別與棱垂直的兩直線的方向向量的夾角，另一種是求二面角的兩個面的法向量的夾角向量的夾角與二面角的平面角相等或互補2平面的法向量就是平面的垂線的方向向量，若不能在圖形中直接找到平面的垂線，則可用待定系數(shù)法求法向量的坐標3數(shù)量積運算是向量法的核心內(nèi)容，解題時應(yīng)根據(jù)圖形特征與題設(shè)條件，選擇幾何法或坐標法計算作業(yè)：《自主學(xué)習(xí)冊》P108～P111第7課時32立體幾何中的向量方法第三課時向量方法的實際應(yīng)用問題提出1用向量法解決立體幾何問題的核心思想是轉(zhuǎn)化，其解題“三步曲”可概述為哪“三化”？幾何問題向量化→向量問題數(shù)量化→數(shù)量結(jié)果幾何化2空間距離有多種形態(tài)，其中兩點距是基礎(chǔ)，用向量法求空間距離的實質(zhì)是什么？求向量的模3空間角有三種形態(tài)，即線線角，線面角和二面角，其中相交直線的夾角是基礎(chǔ)，用向量法求二面角大小有哪兩種算法？（1）求垂棱線的方向向量的夾角；（2）求兩個面的法向量的夾角4物理中的力，速度，位移等也是向量，運用向量方法可以解決物理中的矢量問題教材自學(xué)教材內(nèi)容：P107～P1101在例3中，向量法的解題目標是什么？求三個向量的和向量的模2在例4第（3）問中，求點F的坐標運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？方程思想，待定系數(shù)法3解決立體幾何問題有兩種方法，即幾何法和向量法，二者各有什么特點？幾何法：以幾何原理為依據(jù)，邏輯推理為工具解決問題向量法：以向量原理為依據(jù)，向量運算為工具解決問題拓展探究1不建立坐標系，如何求例3中三個力的合力？DABCOEP