2020屆高一下期4月月考數(shù)學(xué)試題（卷）與答案解析

./2020屆高一下期4月月考數(shù)學(xué)試題題號一二三總分得分一、選擇題〔本大題共12小題,共60.0分已知集合A={1,2,3},B={x|〔x+1〔x-2＜0,x∈Z},則A∪B=〔A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}冪函數(shù)f〔x=〔m2-2m+1x2m-1在〔0,+∞上為增函數(shù),則實數(shù)m的值為〔A.0B.1C.2D.1或2△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a=,c=2,cosA=,則b=〔A.B.C.2D.3在△ABC中,,A=75°,B=45°,則△ABC的外接圓面積為〔A.B.πC.2πD.4π方程2x+x=2的解所在區(qū)間是〔A.〔0,1B.〔1,2C.〔2,3D.〔3,4角α的終邊經(jīng)過點〔2,-1,則sinα+cosα的值為〔A.-B.C.-D.已知向量=〔,,=〔,,則∠ABC=〔A.30°B.45°C.60°D.120°已知向量,的夾角為60°,且||=||=1,則|+|等于〔A.3B.C.2D.1已知,是不共線向量,=2+,=-+3,=λ-,且A,B,D三點共線,則實數(shù)λ等于〔A.3B.4C.5D.6已知D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點,且=、=、=、則

①；

②；

③；

④=其中正確的等式個數(shù)為〔A.1B.2C.3D.4向量,,且∥,則cos2α=〔A.B.C.D.函數(shù)y=sinx+cosx的最小值為〔A.1B.2C.D.-2二、填空題〔本大題共4小題,共20.0分已知,若∥,則k=______．向量=〔2,3在向量=〔3,-4方向上的投影為______．函數(shù)f〔x=logcos〔2x-的單調(diào)遞增區(qū)間為______．已知函數(shù)f〔x=x2-|x|+a,若存在x1,x2,x3,x4〔x1,x2,x3,x4互不相同,使f〔x1=f〔x2=f〔x3=f〔x4=1,則a的取值范圍是______．三、解答題〔本大題共6小題,共72.0分已知向量,滿足||=2,||=1,向量=2-,=+3．

〔1若與的夾角為60°,求|-|的值；

〔2若⊥,求向量與的夾角θ的值．如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=．

〔Ⅰ求cos∠CAD的值；

〔Ⅱ若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長．已知函數(shù)．

〔1判斷函數(shù)f〔x在區(qū)間[0,+∞上的單調(diào)性,并用定義證明其結(jié)論；

〔2求函數(shù)f〔x在區(qū)間[2,9]上的最大值與最小值．設(shè)向量=〔sinx,-1,=〔cosx,-,函數(shù)f〔x=〔+?．

〔1求函數(shù)f〔x的單調(diào)遞增區(qū)間；

〔2當(dāng)x∈〔0,時,求函數(shù)f〔x的值域．在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC+ccosA=2bcosA．

〔1求角A的值；

〔2若,求△ABC的面積S．如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距6海里,漁船乙以5

海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時追上．

〔1求漁船甲的速度；

〔2求sinα的值．答案和解析[答案]1.C2.C3.D4.B5.A6.D7.A8.B9.C10.B11.D12.D13.614.15.〔kπ+,kπ+〔k∈Z16.〔1,17.解：〔1=2×1×cos60°=1．∴|-|2=2-2+2=3．∴|-|=．

〔2∵⊥,∴?=0,即〔2-?〔+3=22+5-32=8+10cosθ-3=0．

∴cosθ=-．∴θ=120°．18.解：〔Ⅰcos∠CAD===．

〔Ⅱ∵cos∠BAD=-,

∴sin∠BAD==,

∵cos∠CAD=,

∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin〔∠BAD-∠CAD=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×+×=,

∴由正弦定理知=,

∴BC=?sin∠BAC=×=319.〔1解：f〔x在區(qū)間[0,+∞上是增函數(shù)．

證明如下：

任取x1,x2∈[0,+∞,且x1＜x2,

==．

∵x1-x2＜0,〔x1+1〔x2+1＞0,

∴f〔x1-f〔x2＜0,即f〔x1＜f〔x2．

∴函數(shù)f〔x在區(qū)間[0,+∞上是增函數(shù)．

〔2由〔1知函數(shù)f〔x在區(qū)間[2,9]上是增函數(shù),

故函數(shù)f〔x在區(qū)間[2,9]上的最大值為,

最小值為．20.解：〔1∵=〔sinx,-1,=〔cosx,-,

∴f〔x=〔+?=〔sinx+cosx,-?〔sinx,-1=sin2x+sinxcos+=〔1-cos2x+sin2x+=sin2x-cos2x+2

=sin〔2x-+2,

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,

解得：kπ-≤x≤kπ+,

故函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-,kπ+]；

〔2∵x∈〔0,,

∴2x-∈〔-,,

故sin〔2x-的最大值是1,sin〔2x-＞sin〔-=-,

故函數(shù)的最大值是3,最小值大于,

即函數(shù)的值域是〔,3]．21.解：〔1在△ABC中,∵acosC+ccosA=2bcosA,

∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,

∴sin〔A+C=sinB=2sinBcosA,

∵sinB≠0,

∴,可得：．

〔2∵,,

∴b2+c2=bc+4,可得：〔b+c2=3bc+4=10,可得：bc=2．

∴．22.解：〔1依題意,∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10,∠BCA=α．

在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC

=62+102-2×6×10×cos120°=196．

解得BC=14,所以漁船甲的速度為海里/小時．

答：漁船甲的速度為7海里/小時．

〔2在△ABC中,因為AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α,

由正弦定理,得．

即．

答：sinα的值為．[解析]1.解：∵集合A={1,2,3},

B={x|〔x+1〔x-2＜0,x∈Z}={0,1},

∴A∪B={0,1,2,3}．

故選：C．

先求出集合A,B,由此利用并集的定義能求出A∪B的值．

本題考查并集的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意并集定義的合理運用．2.解：∵冪函數(shù)f〔x=〔m2-2m+1x2m-1在〔0,+∞上為增函數(shù),

∴,

解得m=2．

故選：C．

利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列出方程組,由此能求出實數(shù)m的值．

本題考查實數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意冪函數(shù)的定義及性質(zhì)的合理運用．3.解：∵a=,c=2,cosA=,

∴由余弦定理可得：cosA===,整理可得：3b2-8b-3=0,

∴解得：b=3或-〔舍去．

故選：D．

由余弦定理可得cosA=,利用已知整理可得3b2-8b-3=0,從而解得b的值．

本題主要考查了余弦定理,一元二次方程的解法在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．4.解：在△ABC中,,A=75°,B=45°,

∴C=180°-A-B=60°,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,

則由正弦定理可得2R==,解得R=1,

故△ABC的外接圓面積S=πR2=π,

故選：B．

由三角形的知識和正弦定理可得外接圓的半徑,可得面積．

本題考查正弦定理,求出外接圓的半徑是解決問題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題．5.解：令f〔x=2x+x-2,

A、由f〔0=-1,f〔1=2+1-2=1知,f〔0f〔1＜0,故A正確；

B、由f〔2=4+2-2=4,f〔1=2+1-2=1知,f〔2f〔1＞0,故B不正確；

C、由f〔2=4+2-2=4,f〔3=8+3-2=9知,f〔2f〔3＞0,故C不正確；

D、由f〔4=16+4-2=18,f〔3=8+3-2=9知,f〔2f〔3＞0,故D不正確；

故選A．

構(gòu)造函數(shù)f〔x=2x+x-2,分別計算區(qū)間端點的函數(shù)值,再驗證是否符合函數(shù)零點存在的判定內(nèi)容．

本題考查了函數(shù)零點的判定定理應(yīng)用,一般的方法是把方程轉(zhuǎn)變?yōu)閷?yīng)的函數(shù),求出區(qū)間端點的函數(shù)值,并驗證它們的符號即可．6.解：∵已知角α的終邊經(jīng)過點〔2,-1,則x=2,y=-1,r=,

∴sinα=-,cosα=,

∴sinα+cosα=-,

故選D．

由題意可得x=2,y=-1,r=,可得sinα和cosα的值,從而求得sinα+cosα的值．

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,屬于中檔題．7.解：,；

∴；

又0°≤∠ABC≤180°；

∴∠ABC=30°．

故選A．

根據(jù)向量的坐標(biāo)便可求出,及的值,從而根據(jù)向量夾角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根據(jù)∠ABC的范圍便可得出∠ABC的值．

考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法,以及向量夾角的余弦公式,向量夾角的范圍,已知三角函數(shù)值求角．8.解：∵向量,的夾角為60°,且||=||=1,

∴|+|====．

故選：B．

由已知結(jié)合,展開平方,代入平面向量數(shù)量積公式得答案．

本題考查平面向量的數(shù)量積運算,是基礎(chǔ)的計算題．9.解：∵A,B,D三點共線,

∴=β,〔β為實數(shù),

∵=2+,=-+3,=λ-,

∴=〔λ-1,

∴=,

解得,λ=5．

故選：C．

由A,B,D三點共線,得=β,〔β為實數(shù),由此能求出實數(shù)λ．

本題考查實數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意平面向量運算法則、共線向量的性質(zhì)的合理運用．10.解：①∵E、F分別為△ABC的邊CA、AB的中點,

∴==〔+

=+

,故①錯誤,

②==+,故②正確,

③==+,故③錯誤,

④=〔-+〔-+〔-=,故④正確,

故正確是②④,共有2個,

故選：B根據(jù)向量加法和減法的運算法則進(jìn)行化簡即可．

本題主要考查向量的加法和加法的運算,根據(jù)三角形法則是解決本題的關(guān)鍵．11.解：∵,,且∥,

∴,

即,化簡得sinα=,

∴cos2α=1-2sin2α=1-=故選：D根據(jù)向量平行的條件建立關(guān)于α的等式,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sinα=,再由二倍角的余弦公式加以計算,可得cos2α的值．

本題給出向量含有三角函數(shù)的坐標(biāo)式,在向量互相平行的情況下求cos2α的值．著重考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的三角函數(shù)公式和向量平行的條件等知識,屬于基礎(chǔ)題．12.解：∵y=sinx+cosx=2〔sinx+cosx=2sin〔x+．

∵-1≤sin〔x+≤1,

∴當(dāng)sin〔x+=-1時,函數(shù)y取得最小值-2．

故選：D．

利用兩角和的正弦公式即可化為asinx+bcosx=sin〔x+θ,進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值即可得出．

本題屬于基礎(chǔ)題,熟練掌握兩角和的正弦公式化asinx+bcosx=sin〔x+θ、及正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值是解題的關(guān)鍵．13.解：∵∴=〔2,1+2〔k,3=〔2+2k,7=2〔2,1-〔k,3=〔4-k,-1∵∥∴〔2+2k×〔-1=7〔4-k,

∴k=6

故答案為6．

先根據(jù)向量的線性運算可求得與,再由∥可得到〔2+2k×〔-1=7〔4-k,進(jìn)而可求得k的值．

本題主要考查向量的線性運算和向量平行的坐標(biāo)運算．考查基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用和靈活能力．考查對向量的掌握程度和計算能力．14.解：根據(jù)投影的定義可得：

在方向上的投影為||cos＜,＞===-．

故答案為：．

根據(jù)投影的定義,應(yīng)用公式在方向上的投影為||cos＜,＞=求解．

本題主要考查向量投影的定義及求解的方法,公式與定義兩者要靈活運用．解答關(guān)鍵在于要求熟練應(yīng)用公式．15.解：∵對于函數(shù)g〔x=cos〔2x-的單調(diào)減區(qū)間為2kπ≤2x-≤2kπ+π,

即kπ+≤x≤kπ+,而cos〔2x-＞0,

故函數(shù)g〔x的單調(diào)減區(qū)間為〔kπ+,kπ+〔k∈Z,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減的原則,

得：f〔x在〔kπ+,kπ+〔k∈Z遞增,

故答案為：〔kπ+,kπ+〔k∈Z．

先根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出單調(diào)遞減時2x-的范圍,進(jìn)而求得x的范圍,求得函數(shù)f〔x的單調(diào)遞增區(qū)間即可．

本題主要考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解和把握．16.解：如圖,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=1與

曲線y=x2-|x|+a,

觀圖可知,a的取值必須滿足,

解得1．

故答案為：〔1,

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=1與曲線y=x2-|x|+a的圖象,觀察有四個交點的情況即可得到．

本小題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法,著重考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．17.〔1求出,對|-|取平方計算；〔2由⊥得?=0,列出方程解出cosθ,得到θ的值．

本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,夾角公式,屬于基礎(chǔ)題．18.〔Ⅰ利用余弦定理,利用已知條件求得cos∠CAD的值．

〔Ⅱ根據(jù)cos∠CAD,cos∠BAD的值分別,求得sin∠BAD和sin∠CAD,進(jìn)而利用兩角和公式求得sin∠BAC的值,最后利用正弦定理求得BC．

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運用,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．19.〔1利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

〔2利用函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最值即可．

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查計算能力．20.〔1利用向量數(shù)量積公式化簡函數(shù),結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,可得f〔x的單調(diào)增區(qū)間；

〔2求出〔2x-的范圍,從而確定f〔x的范圍,化簡函數(shù),可得函數(shù)的值域．

本題考查向量知識的運用,考查三角函數(shù)的化簡,考查學(xué)