專題23立體幾何初步及空間幾何體的表面積和體積

專題23立體幾何初步及空間幾何體的表面積和體積№專題23立體幾何初步及空間幾何體的表面積和體積№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習專題23立體幾何初步及空間幾何體的表面積和體積命題解讀命題預測復習建議立體幾何的考察是高考必考知識點，對于幾何體的體積和表面積的考察往往在空間線面位置關(guān)系問題中出現(xiàn)，依托于某一個幾何體，因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及求解公式，在求解中要學會等價轉(zhuǎn)化思想，等體積轉(zhuǎn)化問題，以及立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題等等。預計2024年的高考對于立體幾何表面積和體積考察，還是以多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積和體積為主，注意公式的運用。集合復習策略：1.掌握空間幾何體特征，多面體與旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)知識；2.會運用公式求解旋轉(zhuǎn)體或多面體的體積和表面積?！?考點精析←一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形結(jié)構(gòu)特征有兩個面互相平行且全等,其余各個面都是平行四邊形;

每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形的多面體

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面

相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)二、空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=13S底臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S=4πR2V=43π→?真題精講←1.（2023全國理科甲卷11）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.2.（2023全國理科乙卷10）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A3.（2023全國文科甲卷3）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.30【答案】D【解析】【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.【詳解】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4.（2023天津卷8）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B5.（2023全國Ⅱ卷9）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知球O的直徑，，是球的球面上兩點，，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為為球的直徑，，是球的球面上兩點，所以，又，，所以，，所以為等邊三角形且，設的外接圓的半徑為，則，所以，則球心到平面的距離，所以點到平面的距離，又，所以.故選：A7.（2023全國文科甲卷8）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B8.（2023全國理科甲卷15）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有____________個公共點．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故答案為：129.（2023全國Ⅱ卷14）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.10.（2023全國Ⅰ卷14）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.11.（2023全國理科乙卷16）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】當球是正方體的外接球時半徑最大，當邊長為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時半徑達到最小.【詳解】設球的半徑為.當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；分別取側(cè)棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為.綜上，.故答案：12.（2023全國文科乙卷19）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．若，求三棱錐的體積．【答案】【解析】【分析】作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.→?模擬精練←1．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預測）在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明,為直角三角形后可得的中點為外接球的球心，為半徑,分別計算外接球的表面積與三棱錐的體積即可.【詳解】取的中點,連接，因為面面面所以，所以，所以，，因為面面所以面，又因為面，所以，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球的表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D2．（2023·江蘇南通·二模）如圖，正三棱錐APBC和正三棱錐DPBC的側(cè)棱長均為，BC2．若將正三棱錐APBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)，則（

）A．B．平面BDCC．多面體的外接球的表面積為D．點A，P旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等【答案】BC【分析】由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關(guān)系和外接球表面積.【詳解】正三棱錐APBC和正三棱錐DPBC的側(cè)棱長均為，BC2，則正三棱錐APBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，正三棱錐DPBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，則正三棱錐可以放到正方體中，當點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)時，如圖所示，連接，，如圖所示正方體中且，四邊形為平行四邊形，則有為等邊三角形，則與夾角為，，有與夾角為，選項A錯誤；，平面BDC，平面BDC，平面BDC，選項B正確；多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項C正確；點A，P旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，所以運動的軌跡長不相等，選項D錯誤.故選：BC【點睛】思路點睛：本題的關(guān)鍵在于作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)圖形研究相關(guān)的性質(zhì)，而正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直，圖形放到正方體中，又使判斷線面位置關(guān)系和運算變得更簡便.3．（2023·江蘇·二模）已知是棱長均為的三棱錐，則（

）A．直線與所成的角B．直線與平面所成的角為C．點到平面的距離為D．能容納三棱錐的最小的球的半徑為【答案】ACD【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直判定及性質(zhì)、線面角定義逐一計算或判斷各項正誤即可．【詳解】A：若為中點，連接，由題設知：各側(cè)面均為等邊三角形，所以，，面，則面，又面，故，正確；B：若為面中心，連接，則面，面，所以直線與平面所成的角為，且，而，故，顯然不為，錯誤；C：由B分析，即該正棱錐的體高為，故到平面的距離為，正確；D：顯然正棱錐的外接球半徑最小，令其外接球半徑為，則，所以，正確.故選：ACD4．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預測）如圖1，在中，，，，DE是的中位線，沿DE將進行翻折，連接AB，AC得到四棱錐（如圖2），點F為AB的中點，在翻折過程中下列結(jié)論正確的是（

）A．當點A與點C重合時，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為B．四棱錐的體積的最大值為C．若三角形ACE為正三角形，則點F到平面ACD的距離為D．若異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C兩點間的距離為2【答案】AB【分析】根據(jù)圓錐的表面積公式即可判斷A,由銳角三角函數(shù)結(jié)合錐體的體積公式可表達出體積關(guān)系式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B,根據(jù)長度關(guān)系可得垂直以及平行，結(jié)合等面積法得即可求解C,由線線角的幾何法求解，結(jié)合余弦定理即可判斷D.【詳解】由題意，在中，，，，DE是的中位線，∴，，，∴，，對于A項，當點A與點C重合時，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為底面半徑為，高為的半個圓錐，∴三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：，故A正確；對于B項，設，則，設點到的距離為，則，∴四棱錐的體積為：，在中，，∴，∴四棱錐的體積的最大值為，故B正確；對于C，D項，當三角形ACE為正三角形時，，，取中點為,的中點，連接，，連接，在中，，點F為AB的中點，由于分別是的中點，所以,,,因此四邊形為平行四邊形，故由于平面,所以平面,平面,所以,因此四邊形為矩形，則由于,所以平面,平面,所以，在中，，∴，為的中點，在中，為的中點，點F為AB的中點，，∴，而平面，即有平面，又平面，因此平面平面，而平面平面，所以點F到平面ACD的距離等于點F到直線DG的距離，則，，在中，在矩形中，，，，設點F到平面ACD的距離為，在中，，即，解得：，故C錯誤，對于D,由于,所以四邊形為平行四邊形，故，又，此時即為異面直線AC與BD所成的角或補角，由于，,,由余弦定理，解得，則A,C兩點間的距離為，故D錯誤；故選：AB.5．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2，.將沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當三棱錐的表面積最大時，三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：均為邊長為2的等邊三角形，為全等的等腰三角形，則三棱錐的表面積，當且僅當，即時，三棱錐的表面積取最大值，此時為直角三角形，，取的中點，連接，由直角三角形的性質(zhì)可得：，即三棱錐的外接球的球心為，半徑為，故外接球體積為.故選：D.6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A7．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學?？级＃┰谡睦馀_中，，，M為棱的中點，當正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是__________.【答案】【分析】設，上底面和下底面的中心分別為，，過作，該四棱臺的高，可求得該四棱臺的體積為，利用基本不等式可得該四棱臺的體積的最大值，此時，，.取，的中點，，連接，，可得平面就是截面，求解即可.【詳解】設，上底面和下底面的中心分別為，，過作，該四棱臺的高，在上下底面由勾股定理可知，.在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當且僅當，即時取等號，此時，，.取，的中點，，連接，，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設，，則，，所以梯形的面積為.故答案為:.【點睛】總結(jié)點睛：解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進而確定線面以及面面關(guān)系，（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.→?專題訓練←1．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學?？级＃┤鐖D，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出圓錐的母線，進而根據(jù)圓錐、圓臺的軸截面，即可得出答案.【詳解】假設圓錐半徑，母線為，則.設圓臺上底面為，母線為，則.由已知可得，，所以.如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面則有，所以.所以圓臺的側(cè)面積為.故選：C.2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設，則，依題意可得旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體為圓錐，根據(jù)外接球的表面積求出球的半徑，設外接球的球心為，則球心在直線上，利用勾股定理得到方程，即可求出.【詳解】設，因為，所以，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個幾何體為圓錐，設圓錐外接球的半徑為，所以，解得，設外接球的球心為，則球心在直線上，所以，解得.故選：D3．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】取的中點，連接，因為，所以到的距離相等，故即為球心．由球的表面積等于，設外接球半徑為，故，解得，過作垂直于于點，因為，，所以，同理，過點作，且，則，是二面角的平面角，，過點作，垂足為點.因為，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．故選：B.4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取、中點、，正方形中心，中點，連接，根據(jù)題意可得平面，，點是的中點，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當點在線段的延長線（含點）時，

視為非負數(shù)，若點在線段的延長線（不含點）時，

視為負數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.5．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓錐的高為，如圖，由可得：，∴，∴,圓柱側(cè)面積，圓錐側(cè)面積，.故選：D．6．（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）在平面四邊形中，，，，現(xiàn)將沿著折起，得到三棱錐，若二面角的平面角為135°，則三棱錐的外接球表面積為__________.【答案】【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接，，因為，所以，因為，，所以，；過點作平面，過點作平面，，因為點，分別是和的外心，所以點是三棱錐的外接球的球心；由，得，，，所以，，，，，則三棱錐的外接球的半徑，所以外接球的表面積；故答案為：.7．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）三棱錐中，PA⊥平面ABC，，則三棱錐外接球的表面積為__________.【答案】【詳解】由PA⊥平面ABC，面，則，又，所以兩兩垂直，故可將三棱錐補全為長方體，故三棱錐外接球，即為長方體外接球，令三棱錐外接球半徑為，則滿足，所以外接球表面積為.故答案為：8．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側(cè)面都相切，則球的表面積為__________.【答案】/【詳解】如圖所示：依題意得，底面的外接圓半徑為，點到平面的距離為，所以，所以設球的半徑為，所以則，得設球的半徑為，則，又得所以球的表面積為故答案為：.9．（多選）（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖所示，已知點A為圓臺下底面圓周上一點，S為上底面圓周上一點，且，則（