江蘇專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用分層作業(yè)蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步需要驗(yàn)證的不等式是()A. B.C. D.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí),左邊增加的項(xiàng)為()A. B.C. D.3.凸邊形有條對(duì)角線,則凸邊形對(duì)角線的條數(shù)()A. B. C. D.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被3整除”的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將變形為()A. B.C. D.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證時(shí)的情況,只需展開(kāi)()A. B.C. D.6.請(qǐng)你從下列兩個(gè)遞推公式中，任意選擇一個(gè)填入題中橫線上，并解答題后的兩個(gè)問(wèn)題：①；②.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.（1）求,,;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.B層能力提升練7.已知數(shù)列中，,,,用數(shù)學(xué)歸納法證明能被4整除，假設(shè)能被4整除，然后應(yīng)該證明()A.能被4整除 B.能被4整除 C.能被4整除 D.能被4整除8.已知數(shù)列滿足，，,則下列結(jié)論成立的是()A. B.C. D.9.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，初始值應(yīng)等于.10.平面內(nèi)有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過(guò)同一點(diǎn)，求證：它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù).11.先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？12.一個(gè)計(jì)算裝置有一個(gè)數(shù)據(jù)入口和一個(gè)運(yùn)算結(jié)果的出口，將正整數(shù)數(shù)列中的各數(shù)依次輸入口，從口得到輸出數(shù)據(jù)組成數(shù)列,結(jié)果表明：①?gòu)目谳斎霑r(shí)，從口得到；②當(dāng)時(shí)，從口輸入,從口得到的結(jié)果是將前一個(gè)結(jié)果先乘正整數(shù)數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)，再除以正整數(shù)數(shù)列中的第個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：（1）從口輸入2和3時(shí)，從口分別得到什么數(shù)？（2）從口輸入100時(shí)，從口得到什么數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,，.（1）求,;（2）已知,,試比較,的大小.C層拓展探究練14.（多選題）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值為()A.1 B.2 C.3 D.4第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.B2.D3.C4.A5.A6.（1）解選擇條件①，因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),，即,當(dāng)時(shí),，所以，即,當(dāng)時(shí),，即，故,,分別為3，5，7.選擇條件②,，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故,,分別為3，.（2）猜想,理由如下：選擇條件①，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由題知，，猜想成立，假設(shè)時(shí)，，則，所以，兩式相減,得，即,所以當(dāng)時(shí)，成立.綜上，對(duì)任意的，.選擇條件②，.當(dāng)時(shí)，由題知，，猜想成立.假設(shè)時(shí)，,則,所以當(dāng)時(shí)，成立.綜上，對(duì)任意的，.B層能力提升練7.C8.A9.610.證明①當(dāng)時(shí)，兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，又，所以當(dāng)時(shí),命題成立.②假設(shè)，且時(shí)，命題成立,即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，任取一條直線，除以外其他條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，與其他條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，從而條直線共有個(gè)交點(diǎn)，即，所以當(dāng)時(shí)，命題成立.由①②可知，對(duì),命題都成立.11.解當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式,當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式,這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想可以被6整除，也可以被1，2,3整除.證明：①當(dāng)時(shí)，，命題顯然成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被6整除．當(dāng)時(shí)，，其中兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除.由假設(shè)知能被6整除,故，，6分別能被6整除，所以當(dāng)時(shí)，命題也成立.根據(jù)①②，可知可以被6整除．故能被自然數(shù)1，2，3，6整除.12.（1）解當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),.（2）因?yàn)?,，，故猜想.理由:當(dāng)時(shí),顯然猜想成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立,即，則當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，所以，故從口輸入100時(shí)，從口得到的數(shù)為.13.（1）解設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,依題意,得整理得解得所以,.（2）由（1）知,,數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,則.因?yàn)?所以,則.用數(shù)學(xué)歸納法證明,.①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，即原不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則，即時(shí)，原不等式成立.由①②知,，成立.因此，，即，所以.C層拓展探究練14.CD[解析]取，則,,不成立；取，則,,不成立；取，則,