高中人教A版數(shù)學選修11課件第二章習題課-雙曲線的綜合問題

習題課——雙曲線的綜合問題課標闡釋思維脈絡1.掌握利用雙曲線的定義解決有關(guān)問題的方法;2.理解直線與雙曲線的位置關(guān)系及其判斷方法.1.雙曲線的焦點三角形問題

【思考】直線與圓(橢圓)有且只有一個公共點,則直線與圓(橢圓)相切,那么,直線與雙曲線相切,能用這個方法判斷嗎?提示:不能.2.直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)判定方法:直線:Ax+By+C=0,兩方程聯(lián)立消去y,得mx2+nx+q=0.位置關(guān)系公共點個數(shù)判定方法相交2個或1個m=0或相切1個m≠0,且Δ=0相離0個m≠0,且Δ<0(2)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,這時,直線一定與雙曲線的漸近線平行.特別提醒

直線與雙曲線只有一個公共點時,直線不一定與雙曲線相切,也可能相交,這時,直線一定與雙曲線的漸近線平行.答案:A解析:由已知得2a=2×4=8,所以|MF1|-|MF2|=8.又|MF1|=3|MF2|,所以|MF2|=4.答案:B答案:C【做一做4】

已知雙曲線E的中心為原點,F(3,0)是E的焦點,過點F的直線l與E相交于A,B兩點,且AB的中點為N(-12,-15),則雙曲線E的標準方程為(

)答案:B答案:3探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測利用雙曲線的定義解決求值問題分析(1)可直接利用雙曲線的定義求解;(2)利用雙曲線的定義以及余弦定理、三角形面積公式求解.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解:(1)由已知可得a2=36,b2=64,所以c2=100,即c=10.因為雙曲線左支上的點到右焦點F2的距離的最小值為a+c=6+10=16,而|PF2|=14<16,所以點P只能在雙曲線的右支上.根據(jù)雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a=12,所以|PF1|=26.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟雙曲線定義的應用①若點P在左支上,則|PF1|的最小值為c-a,|PF2|的最小值為c+a;②若點P在右支上,則|PF1|的最小值為c+a,|PF2|的最小值為c-a.(2)解決雙曲線的焦點三角形問題時,通常也是利用雙曲線的定義并結(jié)合余弦定理、三角形面積公式,通過配方等變形,解決面積計算等相關(guān)問題.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測利用雙曲線定義解決軌跡問題例2若動圓與圓A:(x+5)2+y2=49和圓B:(x-5)2+y2=1都外切,求動圓的圓心P的軌跡方程.分析由動圓與定圓A和B都相外切,找到動點P與兩個定點A,B的距離之間的關(guān)系,再對照雙曲線的定義進行判斷求解.解:設動圓P的半徑為R,且P(x,y),則|PA|=R+7,|PB|=R+1.所以|PA|-|PB|=(R+7)-(R+1)=6<10=|AB|,根據(jù)雙曲線的定義可知,點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的右支.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟與雙曲線有關(guān)的軌跡問題的求解策略解決軌跡問題時,如果在題目的條件中出現(xiàn)了定點(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(當然也可以是某定圓的圓心),應注意考察動點到兩個定點的距離之差(絕對值)是不是一個定值,如果是一個定值,并且這個定值小于兩個定點之間的距離,那么動點的軌跡就是雙曲線(或其某一支).探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測延伸探究

若本例條件改為動圓與圓A和圓B都內(nèi)切,其他條件不變,如何求動圓圓心的軌跡方程?解:設動圓P的半徑為R,且P(x,y),則|PA|=R-7,|PB|=R-1,∴|PB|-|PA|=6<10=|AB|,∴點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的左支.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測直線與雙曲線的位置關(guān)系(2)若l與C有兩個不同的交點,求雙曲線C的離心率e的取值范圍.分析(1)將l與C的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù),得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長;(2)由l與C相交,知Δ>0,從而求出a的取值范圍,可得離心率的取值范圍.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為一元二次方程,在二次項系數(shù)不為零的情況下考察方程的判別式.(1)Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的交點.(2)Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點.(3)Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點.當二次項系數(shù)為0時,直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個公共點.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測2.求弦長的兩種方法(1)距離公式法:當弦的兩端點坐標易求時,可直接求出交點坐標,再利用兩點間距離公式求弦長.(2)弦長公式法:當弦的兩端點坐標不易求時,可利用弦長公式求解,即若直線l:y=kx+b(k≠0)與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測變式訓練2已知點A(-,0)和點B(,0),動點C到A,B兩點的距離之差的絕對值為2,點C的軌跡與直線y=x-2交于D,E兩點,求線段DE的長.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測一題多解——中點弦問題典例已知雙曲線

-y2=1,求過點A(3,-1)且被點A平分的弦MN所在直線的方程.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解:(方法一)由題意知直線的斜率存在,故可設直線方程為y+1=k(x-3),探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測方法點睛

解決中點弦問題常用判別式法和點差法,注意所求參數(shù)的取值范圍問題.探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解析:設雙曲線右焦點為F2,連接AF2,BF2,由圖形的對稱性知四邊形AFBF2為矩形,則有|AF|-|AF2|=2a,|AF|·|AF2|=3a2,∴|AF|=3a,|AF2|=a,在Rt△AFF2中,kAF=tan∠AFF2=,故選A.答案:A探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測答案:AC探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測答案:C探究一探究二探究三思維辨析當