高考中的數(shù)列問題

高考專題突破三高考中的數(shù)列問題大一輪復(fù)習(xí)講義命題點1數(shù)列與數(shù)學(xué)文化例112019·樂山模擬《張丘建算經(jīng)》中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月按30天計共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織多少尺布？等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的運算多維探究題型一√解析由題意可知每天織布的多少構(gòu)成等差數(shù)列，其中第一天為首項a1＝5，一月按30天計可得S30＝390，從第2天起每天比前一天多織的即為公差d22020·北京市房山區(qū)模擬《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍問幾何日而長等？意思是今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間為結(jié)果精確到01，參考數(shù)據(jù)：lg2≈03010，lg3≈04771A22天B24天C26天D28天√莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn∴蒲、莞長度相等大約需要26天故選C對于數(shù)學(xué)文化中所涉及到的數(shù)列模型，解題時應(yīng)認(rèn)真審題，從問題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納，然后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型，再根據(jù)等差或等比數(shù)列的有關(guān)公式求解作答，必要時要進行檢驗思維升華SIWEISHENGHUA跟蹤訓(xùn)練112019·湖南省長沙市第一中學(xué)模擬《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為315尺，前九個節(jié)氣日影長之和為855尺，則芒種日影長為A15尺B25尺C35尺D45尺√解析設(shè)這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列{an}，Sn是其前n項和，由題意知a1＋a4＋a7＝3a4＝315，所以a4＝105，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝25，故選B2中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨?，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還粟√解析因為5斗＝50升，設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還的量分別為a1，a2，a3，由題意可知其構(gòu)成了公比為2的等比數(shù)列，且S3＝50，故選D命題點2等差數(shù)列、等比數(shù)列的交匯例2記Sn為等比數(shù)列{an}2＝2，S3＝－61求{an}的通項公式；解設(shè){an}的公比為q解得q＝－2，a1＝－2故{an}的通項公式為an＝－2n2求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項公式、前n項和公式求解求解時，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡化運算過程思維升華SIWEISHENGHUA跟蹤訓(xùn)練22019·桂林模擬已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1＋1，S3，S4成等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列1求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d2若S4，S6，Sn成等比數(shù)列，求n及此等比數(shù)列的公比解由1知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，數(shù)列的求和題型二多維探究命題點1分組求和與并項求和例32019·湖南省張家界慈利縣期中已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b41求{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1，又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋n－1×d＝1＋2n－1＝2n－12設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和解由題意知cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，則數(shù)列{cn}的前n項和為＋1＋3＋9＋…＋3n－1命題點2錯位相減法求和例4記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2＋a4＝6，S4＝101求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＋a4＝6，S4＝10，故所求等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2令bn＝an·2nn∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn解依題意，bn＝an·2n＝n·2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n－1·2n－1＋n·2n，又2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n－1·2n＋n·2n＋1，兩式相減得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝1－n·2n＋1－2，∴Tn＝n－1·2n＋1＋2命題點3裂項相消法求和例52020·三明質(zhì)檢已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且t＋1Sn＝＋3an＋2t∈R1求數(shù)列{an}的通項公式；所以an＋an－1an－an－1－3＝0，因為an>0，所以an－an－1＝3，又因為a1＝1，所以{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以an＝3n－2n∈N*解因為bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝ann≥2，n∈N*，所以當(dāng)n≥2時，bn＝bn－bn－1＋bn－1－bn－2＋…＋b2－b1＋b11一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時可從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息2根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法等思維升華SIWEISHENGHUA②求數(shù)列{an}的通項公式與前n項和Sn22019·天津市南開區(qū)模擬已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－an－＋2n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan①求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；化為2nan＝2n－1an－1＋1，∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1，即當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝1，又b1＝2a1＝1，∴數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列∵n∈N*，∴n的最大值為4數(shù)列的綜合問題答題模板例10分2019·全國Ⅱ已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－41證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；規(guī)范解答證明∵4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4∴4an＋1＋bn＋1＝2an＋bn，∵a1＋b1＝1＋0＝1≠0，∵4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4，∴4an＋1－bn＋1＝4an－bn＋8，∴an＋1－bn＋1－an－bn＝2為常數(shù)，又∵a1－b1＝1－0＝1，∴{an－bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列2求{an}和{bn}的通項公式規(guī)范解答答題模板DATIMUBAN第一步：根據(jù)定義法、等差等比中項法、通項公式法等判定數(shù)列為等差等比數(shù)列；第二步：由等差等比數(shù)列基本知識求通項，或者由遞推公式求通項；第三步：根據(jù)和的表達(dá)式或通項的特征，選擇合適的方法分組轉(zhuǎn)化法、錯位相減法、裂項相消法求和；第四步：反思解題過程，檢驗易錯點、規(guī)范解題步驟12345課時精練基礎(chǔ)保分練12020·山東模擬在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求的值；若不存在，說明理由設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，__________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在，使得S>S＋1且S＋1<S＋2注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分12345解因為在等比數(shù)列{bn}中，b2＝3，b5＝－81，所以其公比q＝－3，從而bn＝b2－3n－2＝3×－3n－2，從而a5＝b1＝－1若存在，使得S>S＋1，即S>S＋a＋1，從而a＋1<0；同理，若使S＋1<S＋2，即S＋1<S＋1＋a＋2，從而a＋2>012345若選①：由b1＋b3＝a2，得a2＝－1－9＝－10，所以an＝3n－16，當(dāng)＝4時滿足a5<0且a6>0成立；若選②：由a4＝b4＝27且a5＝－1，所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故不存在a＋1<0，且a＋2>0；解得a3＝－5，從而an＝2n－11，所以當(dāng)＝4時，能使a5<0，a6>0成立22019·重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)月考已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝121求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；解由a1＝b1，a4＝b2，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12，所以d＝2所以an＝3＋2n－1＝2n＋1，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意知b2＝a4＝9，即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝＝3n則S4－T2＝a1＋a2＋a3＋a4－b1＋b2＝a2＋a3＝12，123452求數(shù)列{an＋bn}的前n項和12345解an＋bn＝2n＋1＋3n，所以{an＋bn}的前n項和為a1＋a2＋…＋an＋b1＋b2＋…＋bn＝3＋5＋…＋2n＋1＋3＋32＋…＋3n1234532019·天津市南開區(qū)模擬數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且a5＝3a2，S7＝14a2＋71求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d由a5＝3a2得d＝2a1， ①由S7＝14a2＋7得d＝a1＋1， ②由①②解得a1＝1，d＝2所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1123452設(shè)數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bnan＋bn}的前n項和Tn解由數(shù)列{an＋bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，得an＋bn＝2n－1，即2n－1＋bn＝2n－1所以bn＝2n－1－2n＋1，所以bnan＋bn＝2n－1·2n－1－2n＋1＝4n－1－2n－12n－1，Qn＝1·20＋3·21＋5·22＋…＋2n－3·2n－2＋2n－1·2n－1， ③則2Qn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋2n－3·2n－1＋2n－1·2n， ④③－④得－Qn＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n－1－2n－1·2n＝3－2n2n－3，所以Qn＝2n－3·2n＋3，12345技能提升練123451234512345拓展沖刺練1，a2，a3，a4的公比為q，等差數(shù)列b1，b2，b3，b4的公差為d，且q≠1，d≠＝ai＋bii＝1,2,3,41求證：數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列；證明假設(shè)數(shù)列c1，c2，c3是等差數(shù)列，則2c2＝c1＋c3，即2a2＋b2＝a1＋b1＋a3＋b3因為b1，b2，b3是等差數(shù)列，所以2b2＝b1＋b3又因為a1，a2，a3是等比數(shù)列，所以＝a1a3所以a1＝a2＝a3，這與q≠1矛盾，從而假設(shè)不成立所以數(shù)列c1，c2，c3不是等差數(shù)列從而2a2＝a1＋a3123452設(shè)a1＝1，q＝1，c2，c3是等比數(shù)列，求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域；解因為a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1因為＝c1c3，所以2＋b22＝1＋b2－d4＋b2＋d，即b2＝d2＋3d，由c2＝2＋b2≠0，得d2＋3d＋2≠0，所以d≠－1且d≠－