高二(理)數(shù)學(xué)《二項(xiàng)式定理市賽》

二項(xiàng)式定理主講：胡波 完成教材P32“探究”部分的表格，

通過(guò)計(jì)算填表，你能發(fā)現(xiàn)什么？探究：ab1-----------------------------11

ab2---------------------------121

ab3-------------------------1331

ab4-----------------------14641

ab5---------------------15101051

ab6-------------------1615201561

……性質(zhì)1：對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等系數(shù)取得最大值；性質(zhì)2：增減性與最大值二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知

它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最

大值。因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式相等，且同時(shí)取得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)3：性質(zhì)4：和Cnr-1Cnrab1-----------------------------11

ab2---------------------------121

ab3-------------------------1331

ab4-----------------------14641

ab5---------------------15101051

ab6-------------------1615201561

……這個(gè)表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，也稱“楊輝三角”類似上面的表，早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家

楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書

里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角

在書中，還說(shuō)明了表里“一”以外的每一

個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出

這個(gè)方法出于《釋鎖》算書，且我國(guó)北宋

數(shù)學(xué)家賈憲約公元11世紀(jì)已經(jīng)用過(guò)它這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)

在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡

1623－1662首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫

做帕斯卡三角這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)

要比歐洲早五百年左右，由此可見我國(guó)古代

數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的例1有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的證明題例2二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)

的區(qū)別1求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式

系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)最大．2注意展開式中某一項(xiàng)，某一項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)，某一項(xiàng)的系數(shù)三者的區(qū)別．方法規(guī)律總結(jié)例3與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題如圖所示，在楊輝三角中，

斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成

一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,

10,…,記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為

Sn，則S16等于A144 B146C164 D461

【答案】C【分析】由題目可獲取以下主要信息：該數(shù)列從第3項(xiàng)開始每隔一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，解

答本題可觀察數(shù)列的各項(xiàng)在楊輝三角中的位置，把各項(xiàng)

還原為各二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，然后利用組合數(shù)的

性質(zhì)求和．【練習(xí)】將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行數(shù)都為1的是第1行，第2次全行數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行數(shù)都為1的是第____行；第61行中的1的個(gè)數(shù)是______如圖所示，滿足：①第n行首尾兩數(shù)均為n；②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，將第nn≥2行的第m個(gè)數(shù)記作an，m，則a100,2＝_____跟蹤訓(xùn)練【答案】4951例4整除、余數(shù)問(wèn)題 今天是星期三，那么8100天后的這一天是星期幾？例5近似計(jì)算某公司的股票今天的指數(shù)為2，以后每天的指數(shù)都比上一天的指數(shù)增加02%，則100天后這公司的股票指數(shù)為_________精確到0001【練習(xí)】求09986的近似值，使誤差小于0001課堂小結(jié)解決與楊輝三角有關(guān)或類似問(wèn)題的一般

思路是：通過(guò)觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互

聯(lián)系以及行與行間