（原創(chuàng)）北師大版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第一章三角函數(shù)§41單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義PPT

§4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一.起源于對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對(duì)天文的測(cè)量，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期里隸屬于天文學(xué).直到1464年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯著《論各種三角形》，才獨(dú)立于天文學(xué)之外對(duì)三角知識(shí)作了較系統(tǒng)的闡說(shuō).

1631年，三角學(xué)傳入中國(guó)，三角學(xué)在中國(guó)早期比較通行的名稱是“八線”和“三角”.“八線”是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線：正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線、正矢線、余矢線。隨著科學(xué)的發(fā)展，三角函數(shù)成為研究自然界和生產(chǎn)實(shí)踐中周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具，它在測(cè)量、力學(xué)工程和無(wú)線電學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.1.了解單位圓與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系．2.掌握任意角的正弦、余弦函數(shù)定義.通過(guò)正弦、余弦函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求初中我們學(xué)過(guò)，在直角三角形ABC中，∠C=90°，sinα，cosα，tanα分別叫做銳角α的正弦、余弦和正切，它們的值分別等于什么？ABCα探究點(diǎn)1銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)當(dāng)角α不是銳角時(shí)，我們必須對(duì)sinα，cosα，tanα的值進(jìn)行推廣，以適應(yīng)任意角的需要.如何定義任意角的三角函數(shù)呢?

對(duì)于銳角α，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u,v),故u是由銳角唯一確定的，v也是由銳角α唯一確定的.

過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為M.在Rt?OMP中,OP=1,OM=u,MP=v,有

由此可知，對(duì)于銳角α來(lái)說(shuō)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v是該角的正弦函數(shù)值，記作v=sinα;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u是該角的余弦函數(shù)值，記作u=cosα.

給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(u,v),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的.仿照上述銳角三角函數(shù)的定義，把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦值，記作v=sinα;把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦值,記作u=cosα.探究點(diǎn)2任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)

如果角的大小用弧度表示，那么，正弦v=sinα，余弦u=cosα分別是以角的大小為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù)，其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，其值域?yàn)閷?shí)數(shù)的子集合.這樣定義的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就與高中引入的函數(shù)概念一致了.例1已知任意角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x,y),求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.解

先考慮角α的終邊不在坐標(biāo)軸上的情況.設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα,sinα),且OP=1.

點(diǎn)Q(x,y)在角α的終邊上,則OQ=.分別過(guò)點(diǎn)P,Q作x軸的垂線PM，QN垂足為M,N.易知△POM∽△QON.所以

，即.因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)Q在同一象限，所以sinα和y的符號(hào)相同，于是得到.同理,.當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，容易驗(yàn)證上述等式仍然成立.抽象概括設(shè)角終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q（x，y），則例2在單位圓中，

.(1)畫(huà)出角α；(2)求角α的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值.解(1)以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為始邊，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

.與單位圓交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M.于是

即為所作的角.(2)設(shè)點(diǎn)P(u,v),則1.角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,b),則()A.sinα=0B.sinα=1C.sinα=-1