ch8 2對面積曲面積分第一類

四、小結(jié)

第二節(jié)數(shù)量值函數(shù)的曲面積分

(第一類曲面積分)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對面積的曲面積分的計算法三、幾何與物理意義概念的引入實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例:

設曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)量M.

“分割,近似,求和,取極限”

的方法,其中,

表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者).1.定義對面積的曲面積分的定義據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為則對面積的曲面積分存在.?對積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面

上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.若

是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面?對稱性(2)若

關(guān)于x,y,z具有輪換對稱性，則(x,y

不動,考慮z

的情況)

1為在xoy面上半部分例1解思考:

若例1中被積函數(shù)改為計算結(jié)果如何?例表示什么?定理:

設有光滑曲面f(x,y,z)在

上連續(xù),存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分“一投,二代,三變換”曲面面積的計算法Dxy(柱面面積)回顧若光滑曲面方程為則有若光滑曲面方程為則有同理可得設光滑曲面故有曲面面積公式說明:1)二重積分是否看作第一類曲面積分的特例?是!可從物理意義來解釋:二重積分可表示為平面型構(gòu)件的質(zhì)量,第一類積分可表示為曲面型構(gòu)件的質(zhì)量.可有類似的公式.2)如果曲面方程為則按照曲面的不同情況：則則注：把積分曲面投影到哪個坐標面上，取決于積分曲面方程的表達式。例1解則解依對稱性知：,

令

例3解(底面)(頂面)(側(cè)面)()

1,2的(對稱性)解有例4三、幾何與物理意義曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為(4)曲面的質(zhì)心坐標綜述P175解1.定義:2.計算:設則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用對稱性、重心公式、(球面坐標、柱面坐標)簡化計算的技巧.對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.四、小結(jié)思考題

在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個因子的幾何意義.思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法向量與z

軸夾角的余弦的倒數(shù)的絕對值.1.求橢圓柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:

取課后練習課后練習答案附注:數(shù)量值函數(shù)在幾何形體上的

積分及其應用綜述１.概念函數(shù)f(M)在J上的積分f(M)是在J上的有界數(shù)量值函數(shù),課后參考

對稱性2.幾何應用平面區(qū)域面積

空間區(qū)域的體積線段長度曲線弧長平面曲線弧微分曲面面積柱面