福建省福州市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷

福建省福州市2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（完卷120分鐘

滿分160分）參考公式：球的表面積公式（R為球的半徑）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C．4 D．52．已知向量，，若，則實數(shù)（

）．A．1 B． C． D．3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則角的最大值為（

）A． B． C． D．4．P是所在平面內(nèi)一點，若，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，是單位向量，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．已知正方體棱長為2，M，N，P分別是棱、、的中點，則平面截正方體所得的多邊形的周長為（

）A． B． C． D．7．表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，則這個正四棱柱的表面積等于（

）A．567 B．576 C．240 D．8．中，已知，設(shè)D是邊的中點，且的面積為，則等于(

)A．2 B．4 C．-4 D．-2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．m，n是空間中不同的直線，，，y是不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，則D．若l，m是兩條異面直線，且，，，，則10．設(shè)，，為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．如圖所示，設(shè)、是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與、軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對叫做向量的仿射坐標(biāo)，記為．在的仿射坐標(biāo)系中，，．則下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為12．在中，，，，為所在平面內(nèi)的一點，，則的值可能為（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若平面向量、滿足，，則的取值范圍是_________．14．在中，，，若此三角形恰有兩解，則邊長度的取值范圍為_________．15．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，利用細(xì)沙全部流到下部容器所需要的時間進(jìn)行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細(xì)沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細(xì)管長度忽略不計）.假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h(yuǎn)的比值為______.16．已知等邊，D是外的一點，且，，則平面四邊形的面積的最大值是_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知復(fù)數(shù)，若存在實數(shù)，使成立．(1)求的值；(2)求的最小值18．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且_________．(1)求角C的大?。?2)若，，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19．已知梯形中，，，E為的中點，F(xiàn)為與的交點，．(1)求和的值；(2)若，，，求與所成角的余弦值．20．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點，平面與棱交于點F．(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點；(3)在棱上是否存在點N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21．已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點D在邊上，為的角平分線．．(1)求；(2)若，求的大?。?2．如圖為一塊邊長為8km的等邊三角形地塊，為改善市民生活環(huán)境，當(dāng)?shù)卣杏媱潓@塊地進(jìn)行改造，在、、上分別選取點D、E、F使，在四邊形區(qū)域內(nèi)種植草坪，其余區(qū)域修建停車場，設(shè)．(1)當(dāng)D為中點且時，求草坪的面積；(2)若在改造的過程中，因?qū)嶋H需要，D與B、C的距離都不少于2km，求草坪的面積的最大值，并求出此時的值．

答案1-8BCBABCBA9.ACD10.ABC11.AD12.BD13．14．15．16．17．(1)，，解得(2)即的最小值為18．(1)選①：由正弦定理得：，而，所以，整理得：，又，可得，而，則.選②：由正弦定理得：，而，所以，則，而，可得，而，則.選③：由正弦定理得：，而且，則，又，所以，則，即.(2)由，則，故，而，則，可得，又，整理得，則，可得，所以的面積為.19．（1）根據(jù)題意，梯形中，，，E為的中點則又由可得，（2）是與所成的角，設(shè)向量與所成的角為，則，則則，因為所以所以與所成角的余弦值為.20．（1）連接交于，連接，如下圖：由為平行四邊形，則為中點，又E為棱的中點，所以為中位線，則，又面，面，故平面；（2）由題設(shè)知：，面，面，所以面，又面，面面，所以，又E為棱的中點，即是△的中位線，故F為的中點；（3）存在N使得平面且，理由如下：為中點，連接，由題設(shè)且，由（2）知且，所以且，即為平行四邊形，所以，而面，面，所以面，故所求點即為點，則上存在點N使得平面，且.21．（1），，即由正弦定理可得，即（2），即設(shè)，則，解得22．（1）因為為等邊三角形，且邊長為8，D為中點，所以,，又,所以，在由正弦定理可得，所以，又，所以，所以的面積，因為，，所以,在由正弦定理可得，所以，所以，所以的面積，所以草坪的面積（2）