舊教材適用2023高考數(shù)學一輪總復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及分布列第2講排列與組合

第2講排列與組合1．排列與排列數(shù)(1)排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，eq\o(□,\s\up3(01))按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\o(□,\s\up3(02))所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作eq\o(□,\s\up3(03))Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))．2．組合與組合數(shù)(1)組合從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素eq\o(□,\s\up3(04))合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的eq\o(□,\s\up3(05))所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作eq\o(□,\s\up3(06))Cmn．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式排列數(shù)公式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\o(□,\s\up3(07))n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\o(□,\s\up3(08))eq\f(n！,（n－m）！)組合數(shù)公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝eq\o(□,\s\up3(09))eq\f(n（n－1）…（n－m＋1）,m！)＝eq\o(□,\s\up3(10))eq\f(n！,m！（n－m）！)性質(zhì)(1)Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝eq\o(□,\s\up3(11))n！；(2)0?。絜q\o(□,\s\up3(12))1(1)Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝eq\o(□,\s\up3(13))1；(2)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\o(□,\s\up3(14))eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(\s\up1(n－m),\s\do1(n)))；(3)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))備注n，m∈N*且m≤n解決排列與組合問題的“四項基本原則”(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當直接求解困難時，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行分配．1．若Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2n))＝10Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))，則n＝()A.1 B．8C．9 D．10答案B解析原式等價于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n≥3，整理，得n＝8.2．5名男同學、6名女同學排成一排，要求男同學順序一定且女同學順序也一定，不同排法種數(shù)為()A.Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(11)) B．2Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(11))C．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(11)) D．Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(11))答案A解析共11名同學排成一排有11個位置．從11個位置中選出5個位置，共有Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(11))種選法，每一種選法的5個位置讓男同學按著一定順序去排，余下6個位置讓女同學按一定順序去排．3．(2021·江西吉安聯(lián)考)某大廈一層有A，B，C，D四部電梯，現(xiàn)有3人在同一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有()A.12種 B．24種C．18種 D．36種答案D解析元素相鄰利用“捆綁法”，先從3人中選擇2人乘坐同一電梯有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3種選法，再將2個“元素”安排乘坐四部電梯有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12種安排方法，則不同的乘坐方式有3×12＝36種．故選D.4．若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)錯誤的種數(shù)是()A.20 B．19C．10 D．9答案B解析“error”由5個字母組成，共有3個相同，這相當于5個人站隊，只要給e，o選定位置，其余三個相同的字母r，位置固定，即所有拼寫方式為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))，error拼寫錯誤的種數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))－1＝19.5．(2022·山西長治高三入學摸底)用0～9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()A.324 B．328C．360 D．648答案B解析首先應考慮特殊元素“0”，當0排在末位時，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝9×8＝72個，當0不排在末位時，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))＝4×8×8＝256個，于是由分類加法計算原理，得符合題意的偶數(shù)共有72＋256＝328個．6．(2020·全國Ⅱ卷)4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有________種．答案36解析∵4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，∴先選2名同學作為一組，選法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6種，然后將3組同學分配到3個小區(qū)，分法有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36種．考向一排列問題例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排乙前面；(8)全部排一排，甲不排在左端，乙不排在右端．解(1)Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(7))＝2520種方法．(2)Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))＝5040種方法．(3)解法一：先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))種方法，故共有5×Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝3600種方法．解法二：先排排頭和排尾有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))種方法，其余位置有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝3600種方法．(4)將女生看成一個整體，用捆綁法，共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝576種方法．(5)先排女生有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種，再將男生插空有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440種方法．(6)將甲、乙及中間三人看作一個整體，先排甲、乙有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種方法，再排中間三人有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種方法，最后將他們看作一個整體與剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種方法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝720種方法．(7)eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝2520種方法．(8)Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))－2Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＋Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝3720種方法．1．求解有限制條件排列問題的主要方法直接法分類法選定一個適當?shù)姆诸悩藴?，將要完成的事件分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個適當?shù)臉藴剩瑢⑹录殖蓭讉€步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中定序法對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對于分類過多的問題，一般利用正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法2.解決有限制條件排列問題的策略(1)根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根據(jù)特殊元素當選數(shù)量或特殊位置由誰來占進行分類.1.用0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字，(1)能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復數(shù)字)?解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類：0在個位時，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))個；第二類：2在個位時，千位從1，3，4，5中選定1個，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種，于是有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))個；第三類：4在個位時，與第二類同理，也有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))個．由分類加法計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋2Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝156個．(2)先排0，2，4，再讓1，3，5插空，總的排法共Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝144種，其中0在排頭，將1，3，5插在后3個空的排法共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝12種，此時構(gòu)不成六位數(shù)，故符合要求的六位數(shù)的個數(shù)為144－12＝132.考向二組合問題例2(2021·廣西柳州高三月考)某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中，選取2種有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(34))＝561種取法．所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．(2)從34種可選商品中，選取3種，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(34))種或者Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(35))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(34))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(34))＝5984種取法．所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(15))＝2100種取法．所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同取法有2100種．(4)選取2種假貨有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(15))種，選取3種假貨有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))種，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(15))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))＝2100＋455＝2555種取法．所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同取法有2555種．(5)解法一：(間接法)選取3種的總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(35))，因此共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(35))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))＝6545－455＝6090種取法．所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同取法有6090種．解法二：(直接法)共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(15))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(15))＝6090種取法．所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同取法有6090種．1．組合問題常見的兩類題型(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型；“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．2．有限制條件的組合問題的解題思路從限制條件入手．因組合問題只是從整體中選出部分即可，相對來說較簡單．常見情況有：(1)某些元素必選；(2)某些元素不選；(3)把元素分組，根據(jù)在各組中分別選多少，分類；(4)排除法．2.(2021·山西康杰中學模擬)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學、外語統(tǒng)一考試外，還需從物理、歷史兩科中選考一科，從化學、生物、政治、地理四科中選考兩科，則考生的選考方法共有()A．6種 B．12種C．18種 D．24種答案B解析從物理、歷史兩科中選考一科，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝2種方法，從化學、生物、政治、地理四科中選考兩科，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6種方法，所以考生共有2×6＝12種選考方法．故選B.3．(2022·江西萍鄉(xiāng)湘東中學高三開學考試)某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生、4名護士．現(xiàn)從這9名醫(yī)護人員中選取5名參加醫(yī)院組織的運動會，要求其中至少有2名醫(yī)生、2名護士，則不同的選取方法有________種．答案100解析符合題意的情況有兩種：2名醫(yī)生、3名護士和3名醫(yī)生、2名護士．選取2名醫(yī)生、3名護士的方法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝40種；選取3名醫(yī)生、2名護士的方法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝60種．綜上所述，滿足題意的選取方法共有40＋60＝100種．精準設(shè)計考向，多角度探究突破考向三排列、組合的綜合應用角度特殊元素(位置)問題例3(1)(2021·河南開封一模)中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》；現(xiàn)甲、乙、丙、丁、戊5名同學從中各選一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則5名同學所有可能的選擇有()A．18種 B．24種C．36種 D．54種答案D解析①若甲選《春秋》，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝18種情況；②若甲不選《春秋》，則有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36種情況．所以5名同學所有可能的選擇有18＋36＝54種．故選D.(2)從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)) B．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))C．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9)) D．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))答案C解析先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))種選法，再排剩余的瓶子，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))種方法，故不同的放法共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))種，故選C.角度相鄰、相間問題例4(1)北京APEC峰會期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導人站成一排照相，則女性領(lǐng)導人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導人中有且只有2位相鄰的站法有()A．12種 B．24種C．48種 D．96種答案C解析從3位男性領(lǐng)導人中任取2人“捆”在一起記作A，A共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝6種不同排法，剩下1位男性領(lǐng)導人記作B，2位女性分別記作甲、乙，則女領(lǐng)導人甲必須在A，B之間，此時共有6×2＝12種排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個元素的四個間隔處插入乙，∴共有12×4＝48種不同排法．(2)(2021·安徽亳州模擬)某共享汽車停放點的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來停車點停車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點的車位數(shù)為________．答案10解析設(shè)停車位有n個，這3輛共享汽車都不相鄰的種數(shù)：相當于先將(n－3)個停車位排放好，再將這3輛共享汽車插入到所成的(n－2)個間隔中，故有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n－2))種；恰有2輛相鄰的種數(shù)：先把其中2輛捆綁在一起看作一個復合元素，再和另一個插入到將(n－3)個停車位排放好所成的(n－2)個間隔中，故有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))A2n－2種，因為這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，所以Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n－2))＝Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－2))，解得n＝10.角度分組、分配問題例5(1)(2021·全國乙卷)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()A．60種 B．120種C．240種 D．480種答案C解析根據(jù)題設(shè)中的要求，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，可分兩步進行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1人，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種分法；第二步，將分好的4組安排到4個項目中，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種安排方法．故滿足題意的分配方案共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝240種．(2)某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)答案114解析5個人住3個房間，每個房間至少住1人，則有(3，1，1)和(2，2，1)兩種，當為(3，1，1)時，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝60種，A，B住同一房間有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝18種，故有60－18＝42種，當為(2，2，1)時，有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))·Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝90種，A，B住同一房間有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝18種，故有90－18＝72種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有42＋72＝114種．排列、組合的混合問題是從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上的問題．其基本的解題步驟為：第一步：選，根據(jù)要求先選出符合要求的元素．第二步：排，把選出的元素按照要求進行排列．第三步：乘，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解不同的排列種數(shù)，得到結(jié)果．均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型．解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)；還要充分考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù).4.旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為()A．24 B．18C．16 D．10答案D解析分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝10.故選D.5．(2022·太原模擬)要從甲、乙等8人中選4人在座談會上發(fā)言，若甲、乙都被選中，且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有________種．(用數(shù)字作答)答案120解析先從除了甲、乙以外的6人中選一人，安排在甲乙中間，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12種，把這三個人看成一個整體，與從剩下的五人中選出的一個人全排列，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝10種，故不同的發(fā)言順序共有12×10＝120種．6．習近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略．為配合國家精準扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級教師(不同姓)到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少去1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為________．答案360解析解法一：根據(jù)6名高級教師到甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少去1人，可分四種情況：①甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝150；②甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝140；③甲校安排3名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝60；④甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))＝10；由分類加法計數(shù)原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360種分配方案．解法二：由6名教師到三所學校，每所學校至少去1人，可能的分組情況為4，1，1；3，2，1；2，2，2.①對于第一種情況，由于李老師不去甲校，李老師自己去一個學校有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))種，其余5名分成一人組和四人組有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種，共Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝20種；李老師分配到四人組且該組不去甲校有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝40種，則第一種情況共有20＋40＝60種；②對于第二種情況，李老師分配到一人組有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝40種，李老師分配到兩人組有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝80種，李老師分配到三人組有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝120種，所以第二種情況共有40＋80＋120＝240種；③對于第三種情況，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝60種．綜上所述，共有60＋240＋60＝360種分配方案．自主培優(yōu)(十九)相同元素的分配問題(隔板法)將12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中.(1)若每個盒子中至少有一個小球，則不同的放法有多少種？(2)若每盒可空，則不同的放法有多少種？解(1)將12個小球排成一排，中間有11個間隔，在這11個間隔中選出3個，放上“隔板”，若把“|”看作隔板，則如圖○○|○○○○|○○○○|○○，隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)．這樣每一種隔板的插法，就對應了球的一種放法，即每一種從11個間隔中選出3個間隔的組合對應一種放法，所以不同的放法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(11))＝165種．(2)因為每盒可空，所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應用，現(xiàn)建立如下數(shù)學模型．將三塊隔板與12個球排成一排，則如圖○○○||○○○○○|○○○○中的隔板將這一排球分成四塊．從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即圖中1，2，3，4四個盒子相應放入3個，0個，5個，4個小球．這樣每一種隔板與球的排列法，就對應了球的一種放法．排列的位置有15個，先從這15個位置中選出3個位置放隔板有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))種排法，再在余下的位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))種，即不同的放法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15))＝455種．eq\x(答題啟示)隔板法的解題步驟(1)定個數(shù)：確定名額的個數(shù)、分成的組數(shù)以及各組名額的數(shù)量．(2)定空位：將元素排成一列，確定可插隔板的空位數(shù)．(3)插隔板：確定需要的隔板個數(shù)，根據(jù)組數(shù)要求，插入隔板，利用組合數(shù)求解不同的分法種數(shù)．(4)回顧反思：隔板法的關(guān)鍵在于準確確定空位個數(shù)以及需要的隔板個數(shù)，使用這種方法需要注意兩個方面的問題：一是要根據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至少一個”的問題，以便確定能否利用隔板法；二是要注意準確確定空位數(shù)以及需要的隔板數(shù)，一般來說，兩端不能插隔板．eq\x(對點訓練)1．某市擬成立一個由6名高中學生成立的調(diào)查小組，并準備將這6個名額分配給本市的4所重點中學，要求每所重點中學都有學生參加，那么不同名額分配方法的種數(shù)是()A．10 B．20C．24 D．28答案A解析如圖所示，6個名額排成一列，6個名額之間有5個空，任找3個空插入隔板就是一種名額分配方法，故共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10種分配方法.2．把分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當于將1，2，3，4，5這5個數(shù)用2個板子隔開，在4個空位插2個板子，共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6種情況，再對應到3個人，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種情況，則共有6×6＝36種分法．1．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A．24 B．48C．60 D．72答案D解析因為1，2，3，4，5中共有3個奇數(shù)，所以先排個位，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種排法，再將剩下4個數(shù)字進行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種排法，故共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝3×24＝72種排法．2．甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則坐法種數(shù)為()A．10 B．16C．20 D．24答案C解析一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝20種坐法．故選C.3．(2022·江西萍鄉(xiāng)湘東中學高三開學考試)為了配合創(chuàng)建全國文明城市的活動，我?，F(xiàn)從4名男教師和5名女教師中選取3人，組成創(chuàng)文明志愿者小組，若男、女至少各有一人，則不同的選法共有()A．140種 B．84種C．70種 D．35種答案C解析從4名男教師和5名女教師中選取3人，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))種情況．若全為男生，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種情況；若全為女生，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))種情況．所以若男、女至少各有一人，則不同的選法共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝70種．故選C.4．將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放兩支筆，不同的放法有()A．92種 B．112種C．82種 D．132種答案B解析設(shè)有A，B兩個筆筒，筆放入A筆筒有四種情況，分別為2支，3支，4支，5支，一旦A筆筒的放法確定，B筆筒的放法也隨之確定，且對同一筆筒的筆沒有順序要求，故總的放法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(7))＝112種．故選B.5．(2021·安徽馬鞍山高三第一次教學質(zhì)量監(jiān)測)在“學憲法、講憲法”活動中，將甲、乙、丙、丁四位法律老師分配到A，B，C，D四個班級進行宣講，每個班級分配一位老師．若甲不分配到A班，丁不分配到D班，則分配方案的種數(shù)為()A．12 B.14C.16 D.24答案B解析甲分到D班，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6種分配方案；甲分到B或C班，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝8種分配方案，總共有6＋8＝14種分配方案．故選B.6．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為()A．232 B．252C．472 D．484答案C解析由題意，不考慮特殊情況，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16))種取法，其中同一種顏色的卡片取3張，有4Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種取法，3張卡片中紅色卡片取2張，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))種取法，故所求的取法共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16))－4Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))＝560－16－72＝472種，故選C.7．(2021·黑龍江哈爾濱三中期末)有3名男演員和2名女演員，演出的出場順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則不同的出場順序共有()A．24種 B．36種C．48種 D．56種答案B解析有3名男演員和2名女演員，演出的出場順序要求2名女演員之間恰有1名男演員，則先排2名女演員，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種方法，然后插入1名男演員，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種方法，再把這3個人當作一個整體，和其他2名男演員進行排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的出場順序有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36種．故選B.8．2021年東京夏季奧運會4×100米男女混合泳接力這一新的比賽項目的比賽規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參加比賽，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運動員完成，且每名運動員都要出場，若中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能承擔仰泳或者自由泳，男運動員乙只能承擔蝶泳或者自由泳，剩下的2名運動員四種泳姿都可以承擔，則中國隊的排兵布陣的方式共有()A．144種 B．24種C．12種 D．6種答案D解析由題意，若甲承擔仰泳，則乙運動員有2種安排方法，其他兩名運動員有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種安排方法，共計2×2＝4種方法，若甲承擔自由泳，則乙運動員只能安排蝶泳，其他兩名運動員有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種安排方法，共計2種方法，所以中國隊共有4＋2＝6種不同的安排方法，故選D.9．(2021·安徽蚌埠第三次教學質(zhì)量檢查)某社區(qū)計劃在管轄的東海大道路段內(nèi)，安排志愿者在6個路口勸導市民文明出行，不闖紅燈，不亂穿馬路，每個路口至多設(shè)置1個志愿者服務(wù)站點，任意相鄰的兩個路口至少有一個路口設(shè)置1個志愿者服務(wù)站點，則不同的設(shè)置方案種數(shù)是()A．19 B.20C.21 D.24答案C解析根據(jù)題意，在6個路口最多可以設(shè)置6個，最少需要設(shè)置3個志愿者服務(wù)站點，若設(shè)置6個志愿者服務(wù)站點，有1種設(shè)置方案，若設(shè)置5個志愿者服務(wù)站點，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))＝6種設(shè)置方案，若設(shè)置4個志愿者服務(wù)站點，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝10種設(shè)置方案，若設(shè)置3個志愿者服務(wù)站點，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝4種設(shè)置方案，則一共有1＋6＋10＋4＝21種設(shè)置方案，故選C.10．(2021·甘肅蘭州第一次診斷)《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)14種計算器械的使用方法．某研究性學習小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有()A．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(14))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))種 B．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(14))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))種C．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(14))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))種 D．Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(14))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種答案A解析先將14種計算器械分為三組，方法有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(14))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))種，再分給3個人，方法有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(14))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種，故選A.11．一個盒子里有3個標號分別為1，2，3的小球，每次取出1個，記下它的標號后再放回盒子里，共取三次，則取到的所有小球中，標號的最大值是3的取法有()A．12種 B．15種C．17種 D．19種答案D解析解法一：分三類：第一類，有一次取到3號球，其取法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝12；第二類，有兩次取到3號球，其取法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝6；第三類，三次都取到3號球，其取法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝1.故滿足條件的取法共有12＋6＋1＝19種．故選D.解法二：所有的取法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝27，三次均未取到3號球的取法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝8，故滿足條件的取法種數(shù)為27－8＝19.故選D.12．(2021·河南鄭州第二次質(zhì)量預測)元宵節(jié)是中國傳統(tǒng)佳節(jié)，放煙花、吃湯圓、觀花燈是常見的元宵活動．某社區(qū)計劃舉辦元宵節(jié)找花燈活動，準備在3個不同的地方懸掛5盞不同的花燈，其中2盞是人物燈．現(xiàn)要求這3個地方都有燈(同一地方的花燈不考慮位置的差別)，且人物燈不能掛在同一個地方，則不同的懸掛方法種數(shù)為()A．114 B．92C．72 D．42答案A解析根據(jù)題意，分兩步分析：①將5盞不同的燈分為3組，要求兩盞人物燈不在同一組，若分為3，1，1的三組，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝7種分組方法，若分為2，2，1的三組，有eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝12種分組方法，則有7＋12＝19種分組方法，②將分好的三組全排列，安排到3個不同的地方，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)