第01講 整數(shù)和整除的意義（教師版）

第01講整數(shù)和整除的意義回’【知識(shí)梳理】一、整數(shù)的意義和分類（1）自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)；（2）整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù).負(fù)整數(shù)二、整除的意義整除：整數(shù)a除以整數(shù)b,若除得的商是整數(shù)且余數(shù)為零.即稱：a能被b整除；或b能整除a.整除的條件:除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù);商是整數(shù)且余數(shù)為零.整除的條件:除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù);商是整數(shù)且余數(shù)為零.，三整一零.lq"整除：被除數(shù)、除數(shù)、商都是整數(shù)，旦余數(shù)為零；整除與除盡的關(guān)系 1除盡：被除數(shù)、除數(shù)、商不一定是整數(shù)，沒(méi)有余數(shù).聯(lián)系：整除是除盡的特殊形式.【考點(diǎn)剖析】一、整數(shù)的意義和分類例1.判斷題（若是正確的，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是錯(cuò)誤的，請(qǐng)把它改正確）.（1）最小的自然數(shù)是1；（2）最小的整數(shù)是0：（3）非負(fù)整數(shù)是自然數(shù)：（4）有最大的正整數(shù)，但沒(méi)有最小的負(fù)整數(shù)；（5）有最小的正整數(shù)，但沒(méi)有最大的負(fù)整數(shù).【答案】（1）X；（2）X；（3）V；（4）x；（5）X.【解析】（1）錯(cuò)誤，最小的自然數(shù)是0; （2）錯(cuò)誤，不存在最小的整數(shù)；（3）正確：（4）錯(cuò)誤，既沒(méi)有最大的正整數(shù)，也沒(méi)有最小的負(fù)整數(shù);（5）錯(cuò)誤，最小的正整數(shù)是1,最大的負(fù)整數(shù)是一1.【答案】9,26；-53,-1；9,0,26；【解析】解：在9,0,0.23,-53,—,26,-1中，其中正整數(shù)有：9,26；負(fù)整數(shù)有：-53,-1：自然9數(shù)有9,0,26.2().先把下列各數(shù)放入正確的圈內(nèi)，然后把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并說(shuō)明其中最小的正整數(shù)，最小的自然數(shù)，最大的負(fù)整數(shù)分別是哪個(gè)？正整數(shù) 負(fù)整數(shù)【答案】整數(shù)：一1，2,15,0,1,-8,10；自然數(shù)：2,15,0,1,10；正整數(shù)：2,15,1,10； 負(fù)整數(shù)：一1,-8；從小到大排序?yàn)椋阂?,-1,-0.7,-0.3,0,0.3,1,2,3.83,4.732732......,10,15；其中最小的正整數(shù)是1,最小的自然數(shù)是0,最大的負(fù)整數(shù)是一1..是否存在最小的的正整數(shù)，負(fù)整數(shù)，自然數(shù)；是否存在最大的止整數(shù)，負(fù)整數(shù)，自然數(shù)？如果有，請(qǐng)寫出是哪個(gè)數(shù).【答案】最小的正整數(shù)是1，最小的負(fù)整數(shù)不存在，最小的自然數(shù)是0,不存在最大的正整數(shù)，最大的負(fù)整數(shù)是一1,不存在最大的自然數(shù)..把表示下列算式的序號(hào)填入適當(dāng)?shù)目崭駜?nèi).(1)304-10；(1)304-10；(3)35?0.1：(5)0.4+2；27?9；(2)74-25；(4)18?3；3.9+0.3；16+4.除數(shù)能整除被除數(shù)的:能夠除盡的： 【答案】除數(shù)能整除被除數(shù)的:(1)(4)(7)(8)；能夠除盡的：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別..有15位同學(xué)參加學(xué)校組織的夏令營(yíng)活動(dòng)，老師準(zhǔn)備把她們平均分成若干小組，有幾種分法？有可能把他們平均分成4個(gè)小組嗎？為什么？【答案】一組、三組、五組、十五組均可.不能平均分成4個(gè)小組，因?yàn)?不能整除15.【解析】因?yàn)?5=1x15=3x5,所以可分為一組、三組、五組或者十五組.【總結(jié)】本題主要考查數(shù)的整除在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用..一班同學(xué)分成四個(gè)小組糊紙盒，每組糊的個(gè)數(shù)同樣多，小馬虎統(tǒng)計(jì)時(shí)說(shuō)：全班共糊紙盒342個(gè).小馬虎的統(tǒng)計(jì)對(duì)嗎？為什么？【答案】不對(duì)，因?yàn)?不能整除342.【解析】342+4=85......2,余數(shù)不為0.【總結(jié)】本題主要考查數(shù)的整除在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用..在1?600這600個(gè)數(shù)中，不能被2整除的數(shù)有多少個(gè)？不能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？既不能被2整除，又不能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？【答案】300,400,200【解析】在廣600這600個(gè)數(shù)中，能被2整數(shù)的數(shù)有2,4,6,8600,共有300個(gè)，則不能被2整除的數(shù)有600-300=300個(gè)；能被3整除的數(shù)有3,6,9,12,600,共有200個(gè)，則不能被3整除的數(shù)有600-200=400個(gè)：既能被2整除,又能被3整除的數(shù)有6,12,18600,共有100個(gè).能被2或3整除的數(shù)有300+200-100=400個(gè)，所以既不能被2整除，又不能被3整除的數(shù)有600-400=200個(gè).【總結(jié)】本題主要考查整除在數(shù)字問(wèn)題中的應(yīng)用，注意思考方式的改變.【總結(jié)】本題主要考查與整數(shù)有關(guān)的概念.例2.把卜.列各數(shù)放入相應(yīng)的圈內(nèi)：整數(shù)整數(shù)自然數(shù)【答案】整數(shù)：15,—1,0,-63,13；自然數(shù)：15,0,13：正整數(shù)：15,13； 負(fù)整數(shù)：一1,-63.【解析】整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)：自然數(shù)包括正整數(shù)和零.【總結(jié)】本題主要考查整數(shù)的分類.例3.（1）試說(shuō)說(shuō)正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零、自然數(shù)、整數(shù)之間的關(guān)系：（2）試比較正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零的大小：（3）試比較負(fù)整數(shù)、自然數(shù)的大小.【答案】（1）整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)；自然數(shù)包括正整數(shù)和零；（2）正整數(shù)大于0,負(fù)整數(shù)小于0,正整數(shù)大于負(fù)整數(shù)；（3）自然數(shù)大于負(fù)整數(shù)；例4.五個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，已知中間數(shù)是a,那么其余四個(gè)數(shù)分別是這五個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是20,試求這五個(gè)數(shù).【答案】。一2、。一1、。+1、6/4-2.這五個(gè)數(shù)是：2、3、4、5、6.【解析】列方程：（々-2）+（4-1）+〃+（。+1）+（〃+2）=20解得：4=4，這五個(gè)數(shù)是：2、3、4、5、6.【總結(jié)】本題主要考杳如何利用已知的字母去表示與其連續(xù)的整數(shù).例5.有三個(gè)自然數(shù)，其和是13,將它們分別填入下式的三個(gè)括號(hào)中，滿足等式要求：()-1=()+5=()+2,試求這三個(gè)自然數(shù).【答案】3,10,0.【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為左+1,5k,k-2；則Z+1+5Z+攵-2=13解得：k=2這三個(gè)數(shù)是3,10,0.【總結(jié)】本題主要是對(duì)題目中條件的理解?，同?個(gè)數(shù)可以用不同的形式去表示.二、整除的意義例6.下列各組數(shù)中，第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除的是( )A.5和2()；B.7和2；C.34和17； I).1.2和3.【答案】C；【解析】解：A、20能被5整除，故A不符合題意；B、沒(méi)有整除關(guān)系，故B不符合題意；C、34能被17整除，故C符合題意；D、1.2不是整數(shù)，故D不符合題意；因此答案選C.3例7.在數(shù)18,-24,0,2.5, 2005,3.14,TO中，整數(shù)有( )4A.2個(gè)；B.3個(gè)；C.4個(gè)；D.5個(gè).【答案】D；【解析】解：在上述數(shù)中，其中整數(shù)有18,-24,0,2005,-10共5個(gè)，故答案選D.例8.老師問(wèn)：“當(dāng)。=4.5時(shí)，〃=0.9時(shí)，。能被〃整除嗎？'‘一個(gè)同學(xué)回答：“因?yàn)樯淌?,是整數(shù)，所以a能被〃整除你認(rèn)為對(duì)嗎？【答案】不對(duì)【解析】整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；本題只滿足了商是整數(shù)，余數(shù)是0,忽略了對(duì)被除數(shù)、除數(shù)的要求；【總結(jié)】本題主要考查整除所滿足的條件.例9.下列各組數(shù)中，如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，請(qǐng)?jiān)谙旅娴? )內(nèi)打7"，不能整除的打“x”.18和9( ) 15和30( ) 0.4和4( )14和6( ) 17和35( ) 9和0.5( )【答案】橫向：VXXXXX【解析】整除的意義：整數(shù)。除以整數(shù)。，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說(shuō)。能被人整除:者說(shuō)能整除只有18和9滿足；【總結(jié)】本題主要考查整除所滿足的條件.二、整除與除盡例10.已知下列除法算式：574-7=8……1： 214-7=3； 224-0.2=110：224-5=4.4； 0+3=0； 24-4=0.5.(1)表示能除盡的算式有哪幾個(gè)？(2)哪些算式中可以說(shuō)被除數(shù)能被除數(shù)整除？【答案】(1)21+7=3； 22+0.2=110； 22+5=4.4；0+3=0； 2+4=05(2)214-7=3； 0+3=0.【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別.例II.把表示下列算式的序號(hào)填入適當(dāng)?shù)目崭駜?nèi).(1)30+10；(3)35+0.(1)30+10；(3)35+0.1：(5)0.4+2；(7)27?9；(4)18-5-3；(6)3.9+0.3：(8)16?4.除數(shù)能整除被除數(shù)的:能夠除盡的： 【答案】除數(shù)能整除被除數(shù)的:(1)(4)(7)(8);能夠除盡的：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】除盡只要求余數(shù)為零即可，整除要求被除數(shù)、除數(shù)、商是整數(shù)，且余數(shù)是零；【總結(jié)】本題主要考查整除和除盡的區(qū)別.四、整除的實(shí)際應(yīng)用例12.若兩個(gè)整數(shù)〃、都能被整數(shù)c整除，它們的和、差、積也能被c整除嗎？為什么？【答案】能，原因略;【解析】設(shè)。="7C,b=nc（m、〃是整數(shù),且〃7W〃）：則：a+b=（m+n）c：a-b={tn-n）c；ab=nvic；J它們的和、差、積也能被c整除.【總結(jié)】本題主要是對(duì)整除的概念的考查及運(yùn)用.例13.15支鉛筆分給幾個(gè)學(xué)生，每人發(fā)的一樣多且不止1支，并且正好分完，可以分給幾個(gè)人？每人幾支？有幾種分法？【答案】?jī)煞N分法：（1）3個(gè)人，每人5支；（2）5個(gè)人，每人3支.【解析】將15分解可得：15=1x15=3x5=5x3=15x1題目要求每人不止1支，排除掉1和15,故有兩種分法：（1）3個(gè)人，每人5支；（2）5個(gè)人，每人3支.【總結(jié)】本題主要考查如何利用整除解決實(shí)際問(wèn)題.例14.2015年的教師節(jié)是星期四，老師們可以好好慶祝一下自己的節(jié)日了，同學(xué)們，明年呢？我們能否不查日歷，就能知道2016年的教師節(jié)是星期幾呢？【答案】星期六【解析】2016是閏年，故2016年的二月有29天，2015年的教師節(jié)與2016年的教師節(jié)間隔366天,則:366+7=52…2,???2016年的教師節(jié)是星期四后面兩天，是星期六.【總結(jié)】本題主要考查如何利用整除解決實(shí)際問(wèn)題.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1.（2021秋?上海奉賢?六年級(jí)校聯(lián)考期末）下列各式中，是整除的算式是（）A.114-5=2 1B.27+3=9 C.18+4=4.5D.2.44-0.6=4【答案】B【分析】根據(jù)整除的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：A選項(xiàng)，11+5=2 1中有余數(shù)，不是整除的算式，不合題意；B選項(xiàng)，27+3=9是整除的算式，符合題意；C選項(xiàng)，18+4=4.5中商不是整數(shù)，不合題意；D選項(xiàng)，24+0.6=4中被除數(shù)與除數(shù)不是整數(shù)，不合題意；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查整除算式的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是掌握整除的定義，若整數(shù)」除以非零整數(shù)界商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說(shuō)4能被人整除（或說(shuō)》能整除4）.（2022秋?上海?六年級(jí)專題練習(xí)）下面各組數(shù)中，第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除的是（）A.14和7 B.2.5和5 C.9和18 D.0.4和8【答案】A【分析】由整除的定義，可得14?7=2.【詳解】解：因?yàn)?4+7=2,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的除法：熟練掌握有理數(shù)的整除的意義是解題的關(guān)鍵.（2022秋?上海?六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）第一個(gè)數(shù)能整除第二個(gè)數(shù)的是（）A.2和9； B.12和3； C.5和10； D.6和2.4【答案】B【分析】根據(jù)整除的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案.【詳解】解：由題意可知，12+3=4,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整除定義，熟記整除定義是解決問(wèn)題的的關(guān)鍵.（2022秋?上海徐匯?六年級(jí)校考階段練習(xí)）用0,1,4,7組成的所有四位數(shù)都能被（）A.3整除 B.2整除 C.5整除 D.7整除【答案】A【分析】利用所有位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除【詳解】團(tuán)組成的四位數(shù)如果是1047,團(tuán)就不能被2或5、7整除，團(tuán)組成的四位數(shù)各個(gè)位上的數(shù)的和都為12,團(tuán)組成的所有四位數(shù)能被3整除，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，掌握數(shù)的整除是解決問(wèn)題的關(guān)鍵（2023秋?上海徐匯?六年級(jí)上海市徐匯中學(xué)校考期末）M能整除19,那么A7是（ ）A.19 B.38 C.19的倍數(shù) D.19的因數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)整除的概念，即可求解.【詳解】解：M能整除19,那么M是19的因數(shù)，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了整除的概念，掌握整除的概念是解題的關(guān)鍵，整除是指整數(shù)〃除以自然數(shù)加除得的商正好是整數(shù)而余數(shù)是零，就說(shuō)。能被b整除（或說(shuō)b能整除a）.（2022秋?上海徐匯?六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）①能夠除盡的算式，被除數(shù)一定能被除數(shù)整除②最小的素?cái)?shù)是2③合數(shù)?定是偶數(shù)④沒(méi)有最大的素?cái)?shù)A.①、② B.②、③ C.②、@D.③、④【答案】C【分析】利用整除的定義、素?cái)?shù)定義及合數(shù)定義判斷即可【詳解】解：能夠除盡的算式，商為整數(shù)，叫做被除數(shù)能被除數(shù)整除，故①錯(cuò)誤；最小的素?cái)?shù)是2,故②正確；合數(shù)不一定是偶數(shù)，例如：15是合數(shù)但是15不是偶數(shù)，故③錯(cuò)誤；沒(méi)有最大的素?cái)?shù)，故④正確，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，整除，素?cái)?shù)，合數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的除法和整除，理解素?cái)?shù)和合數(shù)的定義二、填空題（2022秋?上海?六年級(jí)專題練習(xí)）4.8+3=1.6,填"能"或"不能〃）說(shuō)3能整除4.8【答案】不能【分析】整除是指整數(shù)。除以自然數(shù)b除得的商正好是整數(shù)而余數(shù)是零，就說(shuō)。能被匕整除（或說(shuō)〃能整除。）.【詳解】解：因?yàn)?.8,1.6都是小數(shù)，不是整數(shù)，故不能說(shuō)3能整除4.8.故答案為：不能.【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)的整除性問(wèn)題，理解整除的概念是解題的關(guān)鍵.（2022秋?上海?六年級(jí)校考階段練習(xí)）如果15+3=5,那么能整除.【答案】 3 15【分析】整數(shù)〃除以整數(shù)〃（人工0），除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)〃能被〃整除（也可以說(shuō)力能整除。），根據(jù)整除的意義解答.【詳解】解用如果15+3=5,那么3能整除15,故答案為國(guó)3、15.【點(diǎn)睛】此題主要考查整除的意義，掌握整除的意義是解決有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵.（2022秋?上海寶山?六年級(jí)統(tǒng)考期中）如果〃表示一個(gè)正整數(shù)，那么4〃+3被4除的余數(shù)是.【答案】3【分析】根據(jù)4"+3表示〃的4倍加3,可知4〃+3被4除的余數(shù).【詳解】因?yàn)椤ū硎疽粋€(gè)正整數(shù)，所以（4〃+3）+4=〃3,即4〃+3被4除的余數(shù)是3,故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了整除問(wèn)題，掌握4〃+3的含義是解題的關(guān)鍵..最小的自然數(shù)是.【答案】0；【解析】解：最小的自然數(shù)為0..最小的正整數(shù)是.【答案】1.數(shù)23具有下列性質(zhì)：被2除余1,被3除余2,被4除余3,求具有這個(gè)性質(zhì)的最小三位數(shù)是.【答案】107；.如果8能被a整除，那么a的值是【答案】1,2,4,8；TOC\o"1-5"\h\z7 15.在+5,-9「g，-6.5，w中，是非負(fù)正整數(shù)的是 .o 5【答案】+5,梳；【解析】解：因?yàn)椤?3,