第43講 絕對值函數(shù)（解析版）

第43講絕對值函數(shù)1．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為，求的值【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即，即；因?yàn)?，若，即時(shí)，在，單調(diào)遞減，則（舍，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，上遞減，在，上遞增，且，所以，即，解得．故選：．2．已知，，若函數(shù)在，上的最大值和最小值分別記為，，求的值【解答】解：，，，，，，當(dāng)，時(shí)，恒成立，故函數(shù)在，上為減函數(shù)，故（1），故選：．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間，上的最大值為（a）．當(dāng)（a）最小時(shí)，求的值．【解答】解：（Ⅰ），由得，得．又，，和，即和；（Ⅱ）證明：欲證，只需證，令，，，則，可知在，為正，在為負(fù)，在為正，在，遞增，在，遞減，在遞增，又，，，（4），，；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，在，上，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，時(shí)，的最大值（a）的問題了，①當(dāng)時(shí)，（a），此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（a）取得最小值3；②當(dāng)時(shí)，（a），，（a），也是時(shí)，（a）最小為3．綜上，當(dāng)（a）取最小值時(shí)的值為．4．已知，函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)，時(shí)，求的最大值．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，故?），又（1），所以所求的切線方程為；（2）由于，．故當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在，上單調(diào)遞減，故，（2）．當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在，上單調(diào)遞增，故，（2）．當(dāng)時(shí)，由，得，．所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以函數(shù)的極大值，極小值．故，．從而．所以，（2），．當(dāng)時(shí)，（2）．又故．當(dāng)時(shí)，（2）（2），且（2）．又．所以當(dāng)時(shí)，（2）．故．當(dāng)時(shí)，（2）．故（2）．綜上所述．5．設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）證明：．【解答】解：．當(dāng)時(shí)，，因此．當(dāng)時(shí)，，令，則是在，上的最大值，，（1），且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，（二次函數(shù)在對稱軸處取得極值）令，得（舍或．①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)，，（1），（1），，②當(dāng)時(shí)，由（1），得（1），又，，綜上，．證明：由可得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，綜上：．6．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）若，即：．可得，當(dāng)時(shí)，，可得，．當(dāng)時(shí)，，恒成立．綜上．的取值范圍：；（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為：，在時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對稱軸為：，在時(shí)是增函數(shù)，（3），，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，，所以，函?shù)在上是增函數(shù)．（a）．當(dāng)時(shí)，（2），此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，（a），（a）．所以在上是減函數(shù)，所以（a），即（a），當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．7．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，滿足條件，當(dāng)時(shí)，不等式為，，綜上所述的取值范圍為，；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其對稱軸為，此時(shí)在時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其對稱軸為：，在時(shí)是增函數(shù)，綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，其對稱軸為，當(dāng)時(shí)，其對稱軸為，當(dāng)時(shí)，其對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，（a），又，（a）在上單調(diào)遞減，（a）（2），在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．8．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分別記為（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）設(shè)，若對，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），，①時(shí)，，，在上是增函數(shù)，（a）（1），（a），（a）（a）；②時(shí)，，，在上是增函數(shù)；，，在上是減函數(shù)，（a）（1），，（a）（a），（1），時(shí)，（a）（a）；時(shí)，（a）（a）；③時(shí)，有，在上是減函數(shù)，（a），（a）（1），（a）（a）；（Ⅱ）令，則，，對，恒成立，對，恒成立，由（Ⅰ）知，①時(shí)，在上是增函數(shù)，最大值（1），最小值，則且矛盾；②時(shí)，最小值（a），最大值（1），且，令（a），則（a），（a）在，上是增函數(shù)，（a），；③時(shí)，最小值（a），最大值，則且，；④時(shí)，最大值，最小值（1），則且，．綜上，的取值范圍是．9．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)在，內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出最值；（Ⅱ）記，求函數(shù)在，上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求滿足條件時(shí)的最大值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，在，遞增，即有，，①當(dāng)時(shí)，，遞減，即遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，即遞增．即有或時(shí)，不存在極值．②當(dāng)時(shí)，，，遞減；，，遞增．有極小值；（Ⅱ）時(shí)，當(dāng)時(shí)，取，等號成立；當(dāng)時(shí)，取，等號成立．由此可知，在，上的最大值為．（Ⅲ）即為，此時(shí)，，從而取，，則，并且．由此可知，滿足條件的最大值為1．10．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分別記為（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）設(shè)，若對，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），①當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，則（a），（a）（1），此時(shí)（a）（a）；②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，則（a）（1），（a），此時(shí)（a）（a）；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，則（a）（a），（a），（1），，此時(shí)（a）（a）；因此（a）（a），（Ⅱ）原問題等價(jià)于，由（Ⅰ）知①當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，則（a）（a），，即，此時(shí)；由得和，此時(shí)，因此．11．函數(shù)．（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知函數(shù)在上不單調(diào)．①記在，上的最大值、最小值分別為（a），（a），求（a）（a）；②設(shè)，若對任意實(shí)數(shù)，都成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，遞增；當(dāng)時(shí)，，，由題意可得時(shí)，在恒成立，故的取值范圍是，；（2）①由在在上不單調(diào)，可得．當(dāng)時(shí)，，，，在，遞減，可得取得最大值，（1）取得最小值．即有（a），（a），則（a）（a）；當(dāng)時(shí)，在，遞減，，遞增，則的最小值為，最大值為1；當(dāng)時(shí)，在，遞減，，遞增，，（1）即有（1），則的最小值為（a），最大值為；當(dāng)時(shí)，在，遞減，，遞增，即有（1），則的最小值為（a），最大值為．綜上可得，（a）（a）；②設(shè)，若對任意實(shí)數(shù)，都成立，即有，對任意實(shí)數(shù)，都成立．當(dāng)時(shí)，，且，即有，即，的范圍是，；當(dāng)時(shí)，可得，且，即有，可得的范圍是，；當(dāng)時(shí)，可得，且，即有，可得的范圍是，．綜上可得的范圍是，．12．函數(shù)，在，上的最大值為（a），最小值為（a）．（1）求（a）（a）（a）；（2）設(shè)，若對，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）；①當(dāng)時(shí)，在，上，，（a），（a）（1）；（a）（a）（a）；②當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)減，且（1），，（2）；故（a），（a）（1）；則（a）（a）（a）；③當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)減，且（a），，（2）；故（a），（a）（a）；則（a）（a）（a）；④當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)減，且（a），，（2）；故（a）（2），（a）（a）；則（a）（a）（a）；⑤當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)減，且，，（2）；故（a）（2），（a）；則（a）（a）（a）；⑥當(dāng)時(shí)，在，上，，（a）（2），（a）；（a）（a）（a）；綜上所述，（a）．（2）可化為，故對，恒成立可化為對，恒成立，①時(shí)，（a），（a）（1）；故，且，從而解得，，②當(dāng)時(shí)，（a），（a）（a）；故，且，則；③當(dāng)時(shí)，（a）（2），（a）（a）；故，且，故，④當(dāng)時(shí)，（a）（2），（a）；故，且，則，綜上所述，．13．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間（2）設(shè)在，上的最大值為（a），最小值為（a），若（a）（a），求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，的圖象是開口朝上且以為對稱軸的拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，為遞增；的圖象是開口朝下且以為對稱軸的拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，綜上所述：時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的圖象是開口朝上且以為對稱軸的拋物線，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的圖象是開口朝下且以為對稱軸的拋物線，函數(shù)為減函數(shù)；故在，上的最大值為（a），最小值為（a）（1），此時(shí)（a）（a）恒成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的圖象是開口朝上且以為對稱軸的拋物線，函數(shù)在，上為減函數(shù)，在，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的圖象是開口朝下且以為對稱軸的拋物線，函數(shù)為減函數(shù)；由，（1），若，（1），故在，上的最大值為（a），最小值為（a）（1），此時(shí)（a）（a）恒成立，若，（1），故在，上的最大值為（a），最小值為（a），此時(shí)（a）（a）無解，綜上所述，14．已知函數(shù)（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個(gè)不同的解，①求的取值范圍；②若，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值分別為（a），（a），求（a）（a）（a）的表達(dá)式．【解答】解：（1）由，，，得．①作出函數(shù)圖象，由函數(shù)的最小值為1，最大值為．在區(qū)間，上有兩個(gè)不同的解，可得，故的取值范圍是．②，，，則有，即，又，，，故的取值范圍