8.6 空間直線、平面的垂直(學(xué)生版)

空間直線、平面的垂直1線面垂直①直線與直線垂直(1)異面直線所成的角(i)范圍:θ∈(0(ii)作異面直線所成的角:平移法.如圖，在空間任取一點(diǎn)O，過O作a'//a,b'//b，則a',b'所成的θ角為異面直線(2)如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說兩條異面直線相互垂直.②直線與平面垂直(1)定義若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面.符號(hào)表述:若任意a?α都有l(wèi)⊥a，則l⊥α.(2)判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.a,b?αa∩b=Ol⊥al⊥b?l⊥α((3)性質(zhì)(i)l⊥α,a?α?l⊥a(線面垂直?線線垂直(ii)垂直同一平面的兩直線平行(4)證明線面垂直的方法定義法(反證)判定定理(常用)a//bα//βα⊥βa∩β=ba?αa⊥b?a⊥β(③線面所成的角(1)定義如下圖，平面的一條斜線(直線l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直平面，則θ=90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則(2)范圍直線和平面所成的角θ的取值范圍是0°2面面垂直①二面角(1)定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.在二面角的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)范圍二面角的平面角α的取值范圍是[0②面面垂直(1)定義若二面角α-l-β的平面角為90°，則α⊥β(2)判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.a?αa⊥β?α⊥β(線面垂直?(3)性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.α⊥βα∩β=ABa?αa⊥AB?a⊥β(判斷(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ(√)(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β(√)(3)如果平面α⊥平面β，過α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，那么此垂線必垂直于β(×)(4)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β(√)【題型一】線面垂直的判定與性質(zhì)【典題1】如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證:(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB【典題2】P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面ABC上的射影．(1)若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O點(diǎn)是(2)若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC內(nèi)部，則點(diǎn)O是△ABC的心；(3)若PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB，則點(diǎn)O是△ABC的心；(4)若PA、PB、PC與底面ABC成等角，則點(diǎn)O是【典題3】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E為DC邊的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起，在折起過程中，有幾個(gè)正確()①ED⊥平面ACD②CD⊥平面BED③BD⊥平面ACD④AD⊥平面BED．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型二】面面垂直的判定與性質(zhì)【典題1】如圖，已知四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD【典題2】如圖，直角△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=4，D、E分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，沿DE將△BDE折起至△(Ⅰ)求四棱錐F－ADEC的體積；(Ⅱ)求證:平面ADF⊥平面【典題3】長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，F(xiàn)是線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，且0<FC<1．將△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)作DK⊥AB于K，設(shè)AK=t，則t的值可能為()A．43 B．34 C．13鞏固練習(xí)1(★★)如圖：PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論①AE⊥BC，②AE⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正確命題的序號(hào)是()A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④2(★★)PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB,PC,PD,AC,BD，則下列垂直關(guān)系正確的是（）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面A．①② B．①③ C．②③ D．②④3(★★)已知邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，現(xiàn)將△AED沿DE翻折為△A'ED，如圖是翻折過程中的一個(gè)圖形，則下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)直線A'F與直線DE互相垂直；②恒有平面A'GF⊥平面BCED；③四棱錐A'－BCED的體積有最大值；④三棱錐其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44(★★)如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A,B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)A．一條線段 B．一條直線C．一個(gè)圓 D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)5(★★)如圖，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn)，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)PA．24 B．32 C．12 D．486(★★)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1(1)求證：AC⊥B1D；(2)若B1D⊥7(★★★)如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合，EF⊥AC,EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF(1)求證：BD⊥平面POA；(2)當(dāng)PB取得最小值時(shí)，求四棱錐P－8(★★★)如圖，四棱錐