第60講-概率2(習題導學案教案)(奧數實戰(zhàn)演練習題)

第20講概率(二)本節(jié)主要內容有：幾何概型，期望．各種概率問題選講概率的基本知識．1.隨機變量：隨機變量x是樣本空間I上的函數，即對樣本空間I中的每一個樣本點e，有一個確定的實數X(e)與e對應，X=X(e)稱為隨機變量．2.數學期望：設X是隨機變量，則E(x)=X(e)P(e)稱為X的數學期望．其中e跑遍樣本空間I的所有樣本點，P(e)是e的概率．如果a是常數，那么E(aX)=aE(X)．如果X、Y是兩個隨機變量，那么E(X+Y)=E(X)+E(y)．A類例題例1(2004年福建理科卷)甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格．（1）求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望；（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．分析利用隨機事件的概率公式確定概率分布列，利用互斥事件的概率加法公式及相互獨立事件的概率乘法公式解決此類問題．解（1）依題意，甲答對試題數ξ的概率分布如下：ξ0123P甲答對試題數ξ的數學期望Eξ=0×＋1×＋2×＋3×=．（2）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)===，P(B)===．因為事件A、B相互獨立，∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為：P()=P()P()=1－)(1－)=．∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為：P=1－P()=1－=．答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為．例2.(2004年全國高考湖北卷)某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為0．3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失．現有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用．單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0．9和0．85．若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少． （總費用=采取預防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值．）分析優(yōu)選決策型概率問題是指通過概率統(tǒng)計來判斷實施方案的優(yōu)劣的問題．這類問題解決的關鍵是要分清各方案實施的區(qū)別，處理好概率與統(tǒng)計的綜合．此部分內容實際意義較濃，所以解決這類問題必須密切聯(lián)系生活實際，才能從中抽象出一些切合實際的數學模型．解①不采取預防措施時，總費用即損失期望為400×0．3=120（萬元）； ②若單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0．9=0．1，損失期望值為400×0．1=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0．85=0．15，損失期望值為400×0．15=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，則預防措施費用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1－0．9）（1－0．85）=0．015，損失期望值為400×0．015=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）．綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費用最少．情景再現1.(2004年全國理Ⅲ) 某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分．假設這名同學每題回答正確的概率均為0．8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數學期望；（2）求這名同學總得分不為負分（即≥0）的概率．2．(2004年全國高考湖北文史卷)為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費用如下表：預防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6費用（萬元）90603010預防方案可單獨采用一種預防措施或聯(lián)合采用幾種預防措施，在總費用不超過120萬元的前提下，請確定一個預防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.B類例題例3（2003年全國高考遼寧、天津理科卷）A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1、A2、A3，B隊隊員是B1、B2、B3．按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率A1對B1eq\o(\s\up5(2),\s\do3(3))eq\o(\s\up5(1),\s\do3(3))A2對B2eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))eq\o(\s\up5(3),\s\do3(5))A3對B3eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))eq\o(\s\up5(3),\s\do3(5))現按表中對陣方式出場,每場勝隊得1分,負隊得0分設A隊B隊最后總分分別為xh．(Ⅰ)求xh的概率分布；(Ⅱ)求ExEh．分析本題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力．解(Ⅰ)xh的可能取值分別為3,2,1,0.P(x=3)= （即A隊連勝3場）P(x=2)= （即A隊共勝2場）P(x=1)=（即A隊恰勝1場）P(x=0)= （即A隊連負3場）根據題意知xh=3，所以P(h=0)=P(x=3)=eq\o(\s\up5(8),\s\do3(75))， P(h=1)=P(x=2)=eq\o(\s\up5(28),\s\do3(75))，P(h=2)=P(x=1)=eq\o(\s\up5(2),\s\do3(5))， P(h=3)=P(x=0)=eq\o(\s\up5(3),\s\do3(25)).(Ⅱ)Ex=；因為xh=3，所以Eh=3–Ex=． 例4(2005年全國高考遼寧卷)某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有Ａ、Ｂ兩個等級，對每種產品，兩道工序的加工結果都為Ａ級時，產品為一等品，其余均為二等品．（1）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為Ａ級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙； （2）已知一件產品的利潤如表二所示，用、分別表示一件甲、乙產品的利潤，在（Ⅰ）的條件下，求、的分布列及、；（3）已知生產一件產品需用的工人數和資金如表三所示，該工廠有工人40名，可用資金60萬，設、分別表示生產甲、乙產品的數量，在（2）的條件下，、為何值時最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）分析本題主要考查相互獨立事件的概率、隨機變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等基礎知識，考查通過建立簡單的數學模型以解決實際問題的能力．解（1） （2）隨機變量、的分別列是（3）由題設知目標函數為 作出可行域（如圖）作直線將l向右上方平移至l1位置時，直線經過可行域上的點M點與原點距離最大，此時取最大值．解方程組 得即時，z取最大值，z的最大值為25．2．說明線性規(guī)劃與概率都是新課程中增加的內容,概率與線性規(guī)劃牽手，給人耳目一新的感覺，這種概率與其他的交匯使概率內容平添了新的靈氣，煥發(fā)出新的活力．例5街道旁邊有一游戲:在鋪滿邊長為9cm的正方形塑料板的寬廣地而上,擲一枚半徑為1cm的小圓板.規(guī)則如下:每擲一次交5角錢.若小圓板壓在邊上.可重擲一次;若擲在正方形內.須再交5角錢可玩一次;若擲在或壓在塑料板的頂點從上.可獲得一元錢.試問:(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少?(2)小圓板壓在塑料板頂點從上的概率是多少?分析小圓板中心用O表示,考察O落在BCD的哪個范圍時,能使圓板與塑料板ABCF的邊相交接,又O落在哪個范圍時能使圓板與ABCD的頂點從相交接.解(1)因為O落在正方形ABCD內任何位置是等可能的，圓板與正方形塑料ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1時，而它與正方形相接觸的邊對于一個正方形來說是一邊或兩邊.所以O落在圖1陰影部分時,小圓板就能與塑料板ABCD邊相交,這個范圍面積等于92－72=32,因此所求概率是eq\f(32,92)=eq\f(32,81).(2)小圓板與正方形的頂點相交接是在中心O與正方形的頂點從的距離不超過圓板的半徑1時，如圖2陰影部分，四塊合起來而積為,故所求概率是eq\f(,81).例6(1)一次數學測驗，由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選擇項，其中有且僅有一個是正確的.若某學生在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇1個，求該生在這次測驗中答對多少個題的概率最大?(2)將一枚骰子任意地拋擲500次，問一點出現多少次的概率最大?解(1)設該生在測驗中，答對題的個數為ξ，由題意知，ξ服從二項分布，即ξ～B(20,eq\f(1,4))所以Eξ=np=20×eq\f(1,4)=5(恰為整數)故該生在這次測驗中答對5個題的概率最大.(2)設ξ表示將一骰子拋擲500次一點出現的次數，由題意知ξ服從二項分布，即ξ～B(500,eq\f(1,6))，則Eξ=np=500×eq\f(1,6)=83eq\f(1,3).所以出現次數概率最大的ξ取值可能是83或84.比較p(ξ=83)與p(ξ=84)得P(ξ=83)>P(ξ=84).因此一點出現83次的概率最大.情景再現3．(2005年全國高考湖南卷)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值.（1）求ξ的分布及數學期望；（2）記“函數f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞上單調遞增”為事件A，求事件A的概率.4．(2002年安徽省高中數學競賽題)甲乙兩人相約10天之內在某地會面.約定先到的人等候另一個人經過3天以后方可離開.若他們在限期內到達目的地是等可能的.則此兩人會面的概率為.C類例題例7已知圓O，任作它的三條切線．圓O是這三條切線所成三角形的內切圓與是傍切圓的概率的比為eq\f(1,3)．解設PA、PB為兩條切線，切點為A，B．它們的對徑點分別為A'，B'．當且僅當切點在eq\o(\s\up6(⌒),A'B')上，第三條切線與PA，PB組成的三角形以⊙O為內切圓．于是，設eq\o(\s\up6(⌒),AB)的弧度數為，則若第三個切點在一個弧度數為的弧上，⊙O是內切圓．而在一個弧度數為2－的弧上，⊙O是傍切圓．在eq\o(\s\up6(⌒),AB)的弧度數為－時，若第三個切點在一個弧度數為－的弧上，⊙O是內切圓．而在一個弧度數為2－(－)=＋的弧上，⊙O是傍切圓．將這兩種情況合在一起，即得使⊙O為內切圓的切點所在弧為＋(－)=，而使⊙O為傍切圓的切點所在弧為(2－)+(＋)=3,兩者之比為eq\f(1,3),對每一一對弧均是如此．所以概率之比為eq\f(1,3)例8在長為a+b+c的線段上，隨意量出長為a，b的兩段．求證：(1)這兩段沒有公共點的概率為eq\f(c2,(c+a)(c+b))(2)這兩段的公共部分不超過d的概率為eq\f((c+d)2,(c+a)(c+b))(d＜a,b)解如圖(1)，(2)，設一段為CD=a，一段為EF=b，而AC=x，AE=y，則0＜x＜b+c，0＜y＜a+c．(1)兩段沒有公共點，則y＞a+x或x＞y+b．它們構成圖(3)中的陰影部分，這兩個三角形的面積和為c2，所述概率為eq\f(c2,(c+a)(c+b))(2)兩段的公共部分不超過d，則y+d＞a+x或x+d＞y+b．則它們構成圖(4)中的陰影部分，所述概率為eq\f((c+d)2,(c+a)(c+b))情景再現5．某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如下圖（例如，A→C→D算作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為）．（1）請你為其選擇一條由A到B的路線，便得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；（2）若記路線A→C→F→B中遇到堵車次數為隨機變量，求的數學期望E．6．在一條長為a+b的線段上，隨機量出長為a、b的兩段．證明這兩段的公共部分不超過c的概率為eq\f(c2,ab)(c＜a，b)，而較短的一段(長為b)完全落在較長的一段(長為a)內的概率是eq\f(a－b,a)．習題20A類題1.事件A出現的概率是,事件B出現的概率是.設p是A和B同時出現的概率.那么包含p的區(qū)間是A、.B、.C、.D、.2.設P在［0,5］上隨機地取值，則方程x2+px+=0有實根的概率為.3.一套重要資料鎖在一個保險柜中，現有把鑰匙依次分給名學生依次開柜，但其中只有一把真的可以打開柜門，平均來說打開柜門需要試開的次數為（）A．B．C．D．4.(2005年全國高考江西理科卷)A、B兩位同學各有五張卡片，現以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設表示游戲終止時擲硬幣的次數.（1）求的取值范圍；（2）求的數學期望E.5.(2005年全國高考北京卷)甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為（Ⅰ）記甲擊中目標的次數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多擊中目標2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.6.對三種型號的計算器進行質量檢驗，它們出現故障的概率分別是0．1、0．2、0．15，檢驗時，每種計算器選取一臺，設表示出現故障的計算器的臺數．（I）求的概率分布；（II）求．B類題7.(2005年全國高考廣東卷)箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數量比為s:t．現從箱中每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并繼續(xù)從箱中任意取出一個球，但取球的次數最多不超過n次，以ξ表示取球結束時已取到白球的次數．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的數學期望．8.(2005年全國高考重慶理科卷)在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎，某顧客從此10張券中任抽2張，求：（Ⅰ）該顧客中獎的概率；（Ⅱ）該顧客獲得的獎品總價值（元）的概率分布列和期望.9.設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內利潤期望.10.某市出租車的起步價為6元，行駛路程不超過3km時，租車費為6元，若行駛路程過3km，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．設出租車一天行駛的路程數（按整km數計算，不足1km的自動計為1km）是一個隨機變量，則其收費數也是一個隨機變量．已知一個司機在某個月中每次出車都超過了3km，且一天的總路程數可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它們出現的概率依次是0．12、0．18、0．20、0．20、100a2＋3a、4a．（1）求作這一個月中一天行駛路程的分布列，并求的數學期望和方差；（2）求這一個月中一天所收租車費的數學期望和方差．C類題11.一副紙牌共N張，其中有三張A.現隨機地洗牌，然后從頂上開始一張接一張地翻牌，直翻到第二張A出現為止．求證：翻過的牌數的數學期望是eq\f(N+1,2)．12.eq\f(n(n+1),2)不同的數排列成一個三角形☆☆☆☆☆☆…☆☆☆…☆☆設Mk是從上往下第k行中最大數,求Mk是M1＜M2＜…＜Mn是的概率.本節(jié)“情景再現”解答：1.（1）的可能值為－300，－100，100，300．P（=－300）=0．23=0．008，P（=－100）=3×0．22×0．8=0．096，P（=100）=3×0．2×0．82=0．384，P（=300）=0．83=0．512，所以的概率分布為－300－100100300P0．0080．0960．3840．512根據的概率分布，可得的期望E=（－300）×0．08＋（－100）×0．096＋100×0．384＋300×0．512=180．（2）這名同學總得分不為負分的概率為P（≥0）=0．384＋0．512=0．896．2.方案1：單獨采用一種預防措施的費用均不超過120萬元.由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.方案2：聯(lián)合采用兩種預防措施，費用不超過120萬元，由表可知.聯(lián)合甲、丙兩種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3：聯(lián)合采用三種預防措施，費用不超過120萬元，故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預防措施，此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.綜合上述三種預防方案可知，在總費用不超過120萬元的前提下，聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.3.（1）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點” 為事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5， P（A3）=0.6. 客人游覽的景點數的可能取值為0，1，2，3.相應地，客人沒有游覽的景點數的可能取 值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3. P（=3）=P（A1·A2·A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P（=1）=1－0.24=0.76. 所以的分布列為 E=1×0.76+3×0.24=1.48.（2）解法一因為所以函數上單調遞增，要使上單調遞增，當且僅當從而解法二：的可能取值為1，3.當=1時，函數上單調遞增，當=3時，函數上不單調遞增.0所以4.解設甲乙兩人分別在第x,y天到達某地.0≤x≤10,0≤y≤10.他們會而的充要條件是｜x－y｜≤3.則點(x,y)分布在如圖正方形OABC內,其基木事件S為介于兩直線x－y=±3之間的陰影內.故所求概率p=eq\f(100－(10－3)2,100)=eq\f(51,100)5.(1)記路段MN發(fā)生堵車事件為MN．因為各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C→D→B中遇到堵車的概率P1為1－P（··）=1－P（）·P（）·P（）=1－[1－P（AC）][1－P（CD）[1－P（DB）]=1－··=同理：路線A→C→F→B中遇到堵車的概率為P2為1－P（··）=（小于）路線A→E→F→B中遇到堵車的概率P3為1－P（··）=（小于）顯然要使得由A到B的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇．因此選擇路線A→C→F→B，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最?。?）路線A→C→F→B中遇到堵車次數可取值為0，1，2，3．P（=0）=P（··）=．P（=1）=P（AC··）＋P(·CF·)＋P(··FB) =··＋··＋··=，P（=2）=P（AC·CF·）＋P（AC··FB）＋P（·CF·FB）=··＋··＋··=P（=3）=P（AC·CF·）=··=∴E=0×．答：路線A→C→F→B中遇到堵車次數的數學期望為．6.如圖(1)，(2)，設一段為CD=a，一段為EF=b，而AC=x，AE=y，則0≤x≤b，0≤y≤a．(1)公共部分不超過c，即x+a－y＜c或y+b－x＜c它們構成圖(3)中的兩個三角形．面積的和為c2．所以所述概率為eq\f(c2,ab)(2)較短的一條完全落在較長的一條內，即x＜y并且a－y＞b－x它們構成圖(4)中的平行四邊形．面積與長方形的比為eq\f(a－b,a),即所述概率為eq\f(a－b,a).本節(jié)“習題20”解答：1.選D.設P(E)表示事件E出現的概率.由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B),∴p=P(A∩B)=P(A)+P(B)－P(A∪B)=－P(A∪B),其中1≥P(A∪B)≥max{P(A),P(B)}=.因而－1≤p≤－,即≤p≤.2.一元二次方程有實數根Δ≥0而Δ=P2－4()=P2－P－2=(P+1)(P－2),解得P≤－1或P≥2,故所求概率為P=3.C提示：當=2時，打開柜門需要的次數為，故答案為C或已知每一位學生打開柜門的概率為，所以打開柜門次數的平均數（即數學期望）為，故答案為C4.（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則，可得：（2）5.（I） 的概率分布如下表：0123P或（II）乙至多擊中目標2次的概率為（III）設甲恰比乙多擊中目標2次為事件A,甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件,甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件,則為互斥事件.所以,甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為.6.設三臺計算器出現故障的事件分別為A、B、C，則A、B、C相互獨立（I）由已知于是，