重慶第二外國語學校高2024屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

重慶第二外國語學校高2024屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．可以化簡成（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的零點在區(qū)間上，則（）A. B.C. D.3．下列哪一項是“”的必要條件A. B.C. D.4．若不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A. B.或C. D.或5．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6．已知的定義域為，則函數(shù)的定義域為A. B.C. D.7．設集合，，則（）A B.C. D.8．已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若方程有8個相異實根，則實數(shù)的取值范圍A. B.C. D.10．已知，，則的大小關系是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．密位廣泛用于航海和軍事，我國采用“密位制”是6000密位制，即將一個圓圈分成6000等份，每一個等份是一個密位，那么600密位等于___________rad.12．設函數(shù)，若關于x方程有且僅有6個不同的實根.則實數(shù)a的取值范圍是_______.13．已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是__________14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是_____________15．函數(shù)的零點為______16．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為___________平方步.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求值：（1）（2）已知，求的值18．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值.19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若關于的方程在上有2個不等的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍20．為迎接黨的“十九大”勝利召開與響應國家交給的“提速降費”任務，某市移動公司欲提供新的資費套餐（資費包含手機月租費、手機撥打電話費與家庭寬帶上網(wǎng)費）．其中一組套餐變更如下：原方案資費手機月租費手機撥打電話家庭寬帶上網(wǎng)費（50M）18元/月0.2元/分鐘50元/月新方案資費手機月租費手機撥打電話家庭寬帶上網(wǎng)費（50M）58元/月前100分鐘免費，超過部分元/分鐘（>0.2）免費（1）客戶甲（只有一個手機號和一個家庭寬帶上網(wǎng)號）欲從原方案改成新方案，設其每月手機通話時間為分鐘（），費用原方案每月資費-新方案每月資費，寫出關于函數(shù)關系式；（2）經(jīng)過統(tǒng)計，移動公司發(fā)現(xiàn)，選這組套餐的客戶平均月通話時間分鐘，為能起到降費作用，求的取值范圍21．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別為棱AC和A1B1的中點，且AB＝BC（1）求證：平面BMN⊥平面ACC1A1；（2）求證：MN∥平面BCC1B1

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)指數(shù)冪和根式的運算性質轉化即可【題目詳解】解：，故選：B2、C【解題分析】根據(jù)解析式，判斷的單調性，結合零點存在定理，即可求得零點所在區(qū)間，結合題意，即可求得.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，且在上單調遞增，故其至多一個零點；又，，故的零點在區(qū)間，故.故選：3、D【解題分析】根據(jù)必要條件的定義可知：“”能推出的范圍是“”的必要條件，再根據(jù)“小推大”的原則去判斷.【題目詳解】由題意，“選項”是“”的必要條件，表示“”推出“選項”，所以正確選項為D.【題目點撥】推出關系能滿足的時候，一定是小范圍推出大范圍，也就是“小推大”.4、C【解題分析】根據(jù)題意，直接求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，由，得，因為不等式的解集為，所以由，知，解得，故不等式的解集為.故選：C.5、A【解題分析】由函數(shù)的奇偶性質可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結合時函數(shù)的符號即可得答案.【題目詳解】解：由題知函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關于軸對稱，故排除B，D，當時，，故排除C，得A為正確選項.故選：A6、B【解題分析】因為函數(shù)的定義域為，故函數(shù)有意義只需即可，解得，選B考點：1、函數(shù)的定義域的概念；2、復合函數(shù)求定義域7、C【解題分析】利用集合的交集運算求解.【題目詳解】因為集合，，所以，故選：C8、D【解題分析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積，故選D.考點：正四棱柱的幾何特征；球的體積.9、D【解題分析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示．由題意知，當時，；當時，設，則原方程化為，∵方程有8個相異實根，∴關于的方程在上有兩個不等實根令，則，解得∴實數(shù)的取值范圍為．選D點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解，對于一些比較復雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解．本題中在結合函數(shù)圖象分析得基礎上還用到了方程根的分布的有關知識10、D【解題分析】因為，故，同理，但，故，又，故即，綜上，選D點睛：對于對數(shù)，如果或，那么；如果或，那么二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據(jù)周角為，結合新定義計算即可【題目詳解】解：∵圓周角為，∴1密位，∴600密位，故答案為：12、或或【解題分析】作出函數(shù)的圖象，設，分關于有兩個不同的實數(shù)根、，和兩相等實數(shù)根進行討論，當方程有兩個相等的實數(shù)根時，再檢驗，當方程有兩個不同的實數(shù)根、時，或，再由二次方程實數(shù)根的分布進行討論求解即可.【題目詳解】作出函數(shù)的簡圖如圖，令，要使關于的方程有且僅有個不同的實根，（1）當方程有兩個相等的實數(shù)根時，由，即，此時當，此時，此時由圖可知方程有4個實數(shù)根，此時不滿足.當，此時，此時由圖可知方程有6個實數(shù)根，此時滿足條件(2)當方程有兩個不同的實數(shù)根、時，則或當時，由可得則的根為由圖可知當時，方程有2個實數(shù)根當時，方程有4個實數(shù)根，此時滿足條件.當時，設由，則，即綜上所述：滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是或或故答案為：或或【題目點撥】關鍵點睛：本題考查利用復合型二次函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結合思想的應用，解答本題的關鍵由條件結合函數(shù)的圖象，分析方程的根情況及其范圍，再由二次方程實數(shù)根的分布解決問題，屬于難題.13、【解題分析】，是的子集，故.【題目點撥】本題主要考查集合的研究對象和交集的概念，考查指數(shù)不等式的求解方法，考查二次函數(shù)的值域等知識.對于一個集合，首先要確定其研究對象是什么元素，是定義域還是值域，是點還是其它的元素.二次函數(shù)的值域主要由開口方向和對稱軸來確定.在解指數(shù)或對數(shù)不等式時，要注意底數(shù)對單調性的影響.14、【解題分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，則函數(shù)的零點個數(shù)，轉化為函數(shù)與有三個交點，結合函數(shù)圖象判斷即可；【題目詳解】解：因為，函數(shù)圖象如下所示：依題意函數(shù)恰有三個不同的零點，即函數(shù)與有三個交點，結合函數(shù)圖象可得，即；故答案為：15、1和【解題分析】由，解得的值，即可得結果【題目詳解】因為，若，則，即，整理得：可解得：或，即函數(shù)的零點為1和，故答案為1和.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)零點的計算，意在考查對基礎知識的理解與應用，屬于基礎題16、120【解題分析】利用扇形的面積公式求解.【題目詳解】由題意得：扇形弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：120三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0；（2）【解題分析】（1）由指數(shù)冪的運算性質及對數(shù)的運算性質可求解；（2）由誘導公式即同角三角函數(shù)關系可求解.【題目詳解】（1）原式；（2）原式.18、（1）（2）【解題分析】（1）運用兩角和（差）的正弦公式、二倍角的正余弦公式、輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，最后根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式進行求解即可；（2）運用換元法，結合正弦函數(shù)的性質進行求解即可.【小問1詳解】故的最小正周期為,由得，所以增區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）知由得：，因為，所以，所以19、（1）（2）【解題分析】（1）利用三角恒等變換化簡，由周期公式求解即可；（2）先求出的解析式，再把所求轉化為方程在上有2個不等的實數(shù)解，令，根據(jù)圖象即可求得結論【小問1詳解】解：，即，所以函數(shù)的最小正周期為【小問2詳解】解：由已知可得，方程在上有2個不等的實數(shù)解，即方程在上有2個不等的實數(shù)解令，因為，，，，，令，則，，作出函數(shù)圖象如下圖所示：要使方程在上有2個不等的實數(shù)解，則20、（1）；（2）.【解題分析】（1）關鍵是求出原資費和新資費，原資費為68＋0.2x，新資費是分段函數(shù)，x≤100時，為58，當x＞100時，為，相減可得結論；（2）只要（1）中的y＞0，則說明節(jié)省資費，列出不等式可得，注意當100＜x≤400時，函數(shù)y為減函數(shù)，因此在x=400時取最小值，由此最小值＞0，可解得范圍試題解析：（1）i)當，ii)當，綜上所述（未寫扣一分）（2）由題意，恒成立，顯然，當，，當，因為，為減函數(shù)所以當時，解得從而21、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】（1）由面面垂直的性質定理證明平面，再由面面垂直的判定定理得證面面垂直；（2）取BC中點P，連接B1P和MP，可證MN∥PB1，從而可證線面平行【題目詳解】（1）因為M為棱AC的中點，且AB＝BC，所以BM⊥AC，又因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC因為BM?平面ABC，所以AA1⊥BM又因為AC，A1A?平面ACC1A1且AC∩A1A＝A，所以BM⊥平面ACC1A1因為BM?平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1（2）取BC的中點P，連接B1P和MP，因為M、P為棱AC、BC的中點，所以MP∥AB，且MPAB，因為ABC﹣A1B1C1