2024屆上海市楊浦區(qū)交大附中數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆上海市楊浦區(qū)交大附中數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，為邊的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.2．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上為增函數(shù)的函數(shù)是（）A. B.C. D.3．函數(shù)在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是A. B.C. D.4．“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．定義：對于一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在兩條距離為的直線和，使得時(shí)，恒有，則稱在內(nèi)有一個(gè)寬度為的通道．下列函數(shù)：①；②；③；④.其中有一個(gè)寬度為2的通道的函數(shù)的序號(hào)為A.①② B.②③C.②④ D.②③④6．某幾何體的三視圖如圖所示，數(shù)量單位為cm，它的體積是（）A. B.C. D.7．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B.C. D.8．的值域是（）A. B.C. D.9．已知向量，向量，則的最大值，最小值分別是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，010．設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B.C. D.1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．兩條直線與互相垂直，則______12．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是__13．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為__________14．中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長分別為、、，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為______15．已知命題：，都有是真命題，則實(shí)數(shù)取值范圍是______16．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求的值.18．某藥物研究所開發(fā)了一種新藥，根據(jù)大數(shù)據(jù)監(jiān)測顯示，病人按規(guī)定的劑量服藥后，每毫升血液中含藥量y（微克）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系滿足：前1小時(shí)內(nèi)成正比例遞增，1小時(shí)后按指數(shù)型函數(shù)y=max?1（m,a為常數(shù)，且0<a<1）圖象衰減.如圖是病人按規(guī)定的劑量服用該藥物后，每毫升血液中藥物含量隨時(shí)間變化的曲線.（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的解析式，并求使得y≥1的x的取值范圍；（2）研究人員按照M=的值來評估該藥的療效，并測得M≥時(shí)此藥有療效.若病人某次服藥后測得x=3時(shí)每毫升血液中的含藥量為y=8，求此次服藥有療效的時(shí)長.19．已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若為第三象限角，且，求的值.20．已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．在①；②函數(shù)為偶函數(shù)：③0是函數(shù)的零點(diǎn)這三個(gè)條件中選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面問題中，并解答下面的問題問題：已知函數(shù)，，且______（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】由平面向量的三角形法則和數(shù)乘向量可得解【題目詳解】由題意，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題2、B【解題分析】對四個(gè)選項(xiàng)依次判斷最小正周期及單調(diào)區(qū)間,即可判斷.【題目詳解】對于A,,最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)不單調(diào),所以A錯(cuò)誤;對于B,的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以B正確;對于C,的最小正周期為,所以C錯(cuò)誤;對于D,的最小正周期為,所以D錯(cuò)誤.綜上可知,正確的為B故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的判斷,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】是奇函數(shù)，故；又是增函數(shù)，，即則有，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】解本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化化歸思想，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，從而求得正解.4、B【解題分析】利用充分條件，必要條件的定義即得.【題目詳解】由可推出，由，即或，推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.5、D【解題分析】②③可由作圖所得，④作圖可知有一個(gè)寬度為1的通道，由定義可知比1大的通道都存在.6、C【解題分析】由三視圖可知，此幾何體為直角梯形的四棱錐，根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出結(jié)果.【題目詳解】由三視圖復(fù)原幾何體為四棱錐，如圖：它高為，底面是直角梯形，長底邊為，上底為，高為，棱錐的高垂直底面梯形的高的中點(diǎn)，所以幾何體的體積為：故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解答此類問題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀以及幾何尺寸，同時(shí)需熟記錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】運(yùn)用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用中間值法進(jìn)行比較即可.【題目詳解】，因此可得.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了對數(shù)式、指數(shù)式之間的大小比較問題，考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了中間值比較法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】先求得的范圍，再由單調(diào)性求值域【題目詳解】因，所以，又在時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，所以值域是，故選：A.9、D【解題分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到|2用θ的三角函數(shù)表示化簡求最值【題目詳解】解：向量，向量，則2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分別是：16，0；所以|2的最大值，最小值分別是4，0；故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)解析式的化簡；利用了兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的有界性10、A【解題分析】根據(jù)給定條件依次計(jì)算并借助特殊角的三角函數(shù)值求解作答.【題目詳解】因函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩條直線垂直的充要條件是斜率乘積等于，即可求出結(jié)果【題目詳解】直線的斜率，直線的斜率，且兩直線與互相垂直，，，解得，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩直線垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.在兩條直線的斜率都存在的條件下，兩條直線垂直的充要條件是斜率乘積等于12、【解題分析】本題已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍，難度中等．由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，注意到，即，所以取，得考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì)【方法點(diǎn)晴】已知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得變量的取值范圍，其必包含區(qū)間，從而可得參數(shù)的取值范圍，本題還需挖掘參數(shù)的隱含范圍，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知，因此，綜合題13、【解題分析】設(shè)與直線平行的直線，將點(diǎn)代入得.即所求方程為14、【解題分析】計(jì)算得出，利用海倫—秦九韶公式可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【題目詳解】，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且此時(shí)三邊可以構(gòu)成三角形.因此，該三角形面積的最大值為.故答案為：.15、【解題分析】由于，都有，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【題目詳解】解：因?yàn)槊}：，都有是真命題，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：16、【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出和的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.【題目詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，則，所以，，所以，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解題分析】（1）由解得P的坐標(biāo)，再求出直線斜率，即可求直線的方程；（2）若直線與圓：相交由垂徑定理列方程求解即可.【題目詳解】（1）由得所以.因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，即.（2）由已知可得：圓心到直線的距離為，因?yàn)椋?，所以，所以?【題目點(diǎn)撥】直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過圓心作直線垂線時(shí)長度最小18、（1），（2）小時(shí)【解題分析】（1）根據(jù)圖像求出解析式；令直接解出的取值范圍；（2）先求出，得到，根據(jù)單調(diào)性計(jì)算出解集即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，與成正比例，設(shè)為，則；所以，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，令解得：，當(dāng)時(shí)，令得：，綜上所述，使得的的取值范圍為：【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，解得所以，則令，解得，由單調(diào)性可知的解集為，所以此次服藥產(chǎn)生療效的時(shí)長為小時(shí)19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】（Ⅰ）由誘導(dǎo)公式化簡得，代入即可得解；（Ⅱ）由誘導(dǎo)公式可得，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，代入即可得解.【題目詳解】（Ⅰ）由于，又，所以.（Ⅱ）因?yàn)?，所?又因?yàn)榈谌笙藿?，所以，所?20、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與對應(yīng)一元二次不等式的關(guān)系，求出a的值，再解不等式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求出解集即可.【題目詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋瑒t方程的兩個(gè)根為1和2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集為；（2）由題知函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式(組)的解法與應(yīng)用問題，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.21、（1）（2）單調(diào)遞增，證明見解析【解題分析】（1）若選條件①，根據(jù)及指數(shù)對數(shù)恒等式求出的值，即可求出函數(shù)解析式；若選條件②，根據(jù)，即可得到，從而求出的值，即可求出函數(shù)解析