上海市同濟大學一附中2024屆高一數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析

上海市同濟大學一附中2024屆高一數(shù)學第一學期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上為增函數(shù)的函數(shù)是（）A. B.C. D.2．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與3．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）A. B.C. D.4．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A.1 B.2C.3 D.45．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的圖象，若，且，則的最大值為A. B.C. D.6．函數(shù)，x∈R在（）A.上是增函數(shù)B.上是減函數(shù)C.上是減函數(shù)D.上是減函數(shù)7．已知集合，集合，則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.8．函數(shù)f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的圖象大致為（）A. B.C. D.9．已知是第四象限角，是角終邊上的一個點，若，則（）A.4 B.-4C. D.不確定10．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移 B.向右平移C.向右平移 D.向左平移二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)即_____12．要制作一個容器為4，高為無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）13．計算=_______________14．若函數(shù)(，且)，在上的最大值比最小值大，則______________.15．各條棱長均相等的四面體相鄰兩個面所成角的余弦值為___________.16．已知函數(shù)則不等式的解集是_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的零點，不寫步驟，直接用列舉法表示的值組成的集合.18．已知函數(shù)（1）求函數(shù)最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值19．已知函數(shù)（且）的圖像過點.（1）求a的值；（2）求不等式的解集.20．如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.21．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】對四個選項依次判斷最小正周期及單調(diào)區(qū)間,即可判斷.【題目詳解】對于A,,最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)不單調(diào),所以A錯誤;對于B,的最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,即,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以B正確;對于C,的最小正周期為,所以C錯誤;對于D,的最小正周期為,所以D錯誤.綜上可知,正確的為B故選:B【題目點撥】本題考查了函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間的判斷,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同且對應(yīng)關(guān)系也相同，逐項判斷即可【題目詳解】由于函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，所以與不是同一個函數(shù)，故A錯誤；由于的定義域為，函數(shù)且定義域為，所以與是同一函數(shù)，故B正確；在函數(shù)中，，解得或，所以函數(shù)的定義域為，在函數(shù)中，，解得，所以的定義域為，所以與不是同一函數(shù)，故C錯誤；由于函數(shù)的定義域為，函數(shù)定義域為為，所以與不是同一函數(shù)，故D錯誤；故選：B.3、D【解題分析】取，利用不等式性質(zhì)可判斷ABC選項；利用不等式的性質(zhì)可判斷D選項.【題目詳解】若，則，所以，，，ABC均錯；因為，則，因為，則，即.故選：D.4、B【解題分析】函數(shù)的定義域為，且，即函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，設(shè)，則：，據(jù)此可得：，據(jù)此有：，即函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，由函數(shù)的解析式可知：，則函數(shù)在區(qū)間上有一個零點，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)在R上有2個零點.本題選擇B選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點5、A【解題分析】分析：利用三角函數(shù)的圖象變換，可得，由可得，取，取即可得結(jié)果.詳解：的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到，，且，，，因為，所以時，取為最小值；時，取為最大值最大值為，故選A.點睛：本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學生對所學知識理解的深度.6、B【解題分析】化簡，根據(jù)余弦函數(shù)知識確定正確選項.【題目詳解】，所以在上遞增，在上遞減.B正確，ACD選項錯誤.故選：B7、B【解題分析】由題意得，結(jié)合各選項知B正確．選B8、D【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性排除部分選項，再利用特殊值判斷.【題目詳解】因為，所以是奇函數(shù)，排除BC，又因為，排除A，故選：D9、B【解題分析】利用三角函數(shù)的定義求得.【題目詳解】依題意是第四象限角，所以，.故選：B10、B【解題分析】根據(jù)左右平移的平移特征（左加右減）即可得解.【題目詳解】解：要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位即可.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-1【解題分析】結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【題目詳解】由題意可得：，則.【題目點撥】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值12、160【解題分析】設(shè)底面長方形的長寬分別為和,先求側(cè)面積，進一步求出總的造價，利用基本不等式求出最小值.【題目詳解】設(shè)底面長方形的長寬分別為和,則，所以總造價當且僅當?shù)臅r區(qū)到最小值則該容器的最低總造價是160.故答案為：160.13、【解題分析】原式考點：三角函數(shù)化簡與求值14、或.【解題分析】分和兩種情況，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定最大值和最小值，根據(jù)已知得到關(guān)于實數(shù)的方程求解即得.【題目詳解】若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，由題意得，又，故；若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，由題意得，又，故.所以的值為或.【題目點撥】本題考查函數(shù)的最值問題，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和分類討論思想，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵在于根據(jù)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的不同情況確定函數(shù)的單調(diào)性.15、【解題分析】首先利用圖像作出相鄰兩個面所成角，然后利用已知條件求出正四面體相鄰兩個面所成角的兩邊即可求解.【題目詳解】由題意，四面體為正三棱錐，不妨設(shè)正三棱錐的邊長為，過作平面，垂足為，取的中點，并連接、、、，如下圖：由正四面體的性質(zhì)可知，為底面正三角形的中心，從而，，∵為的中點，為正三角形，所以，，所以為正四面體相鄰兩個面所成角∵，∴易得，，∵平面，平面，∴，故.故答案為：.16、【解題分析】分和0的大小關(guān)系分別代入對應(yīng)的解析式即可求解結(jié)論.【題目詳解】∵函數(shù)，∴當，即時，，故；當，即時，，故；∴不等式的解集是：.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解題分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期公式計算可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）先求出函數(shù)的零點，是或中的元素，在分類討論計算可得.【小問1詳解】的最小正周期為：對于函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；【小問2詳解】因，即所以函數(shù)的零點滿足：或即或所以是或中的元素當時，則當(或，)時，則當，則所以的值的集合是18、（1），單調(diào)增區(qū)間（2），【解題分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，可得函數(shù)的最小正周期與的單調(diào)區(qū)間；（2）利用整體法求函數(shù)的最值.【小問1詳解】解：，函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】，，，即，所以，.19、（1）（2）【解題分析】（1）代入點坐標計算即可；（2）根據(jù)定義域和單調(diào)性即可獲解【小問1詳解】依題意有∴.【小問2詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，∴解得.∴不等式的解集為.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）先證明AC⊥BE,再取的中點，連接，經(jīng)計算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用線面垂直的判定定理證得結(jié)論；（2）利用線面垂直的判定定理證得CM⊥平面BEF,即為所求三棱錐的高，進而計算得到其體積.【題目詳解】解：（1）證明：∵四邊形為矩形∴∵平面∴平面∵平面∴.如圖，取的中點，連接，∴∵，，∴四邊形是正方形.∴∴，∵∴∴是直角三角形∴.∵，、平面∴平面（2）由（1）知：∵