( 線性代數(shù))二次型和對稱矩陣

二次型與對稱矩陣(一)二次型及其矩陣(二)線性變換(一)二次型及其矩陣定義5

1(二次型)

只含有二次項的n元多項式稱為x1

x2

xn的一個n元二次型

由二次型的系數(shù)可以構成一個n階矩陣二次型的矩陣

由二次型的系數(shù)構成的n階矩陣稱為二次型的矩陣

顯然

A是一個n階對稱矩陣

即AT

A

二次型的矩陣形式

我們常用

f(x)

xTAx(AT

A)表示二次型

稱為二次型的矩陣形式

對稱矩陣A的秩稱為二次型f(x)

xTAx的秩

二次型與對稱矩陣一一對應

(二)線性變換定義5

2(線性變換)

關系式稱為由變量x1

x2

xn到變量y1

y2

yn的一個線性變量替換

簡稱線性變換

矩陣稱為線性變換的矩陣

線性變換的矩陣形式設x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

則由變量x1

x2

xn到變量y1

y2

yn的線性變換可以寫成矩陣形式

x

Cy說明

此時有y

C

1x

二次型的線性變換把式x

Cy代入二次型f(x)

xTAx

得其中yTBy是以B為矩陣的y的n元二次型

xTAx

yTBy

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)

當|C|

0時稱線性變換為非退化的線性變換或可逆的線性變換

說明

BT

(CTAC)T

B

CTAC

CTAC

B

線性變換的矩陣形式設x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

則由變量x1

x2

xn到變量y1

y2

yn的線性變換可以寫成矩陣形式

x

Cy二次型的線性變換把式x

Cy代入二次型f(x)

xTAx

得其中yTBy是以B為矩陣的y的n元二次型

xTAx

yTBy

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)二次型的標準形如果線性變換x

Cy是非退化的

yTBy有下面的形狀

其中di

0(i

1

2

r

r

n)

我們稱這個形狀的二次型為二次型f(x)

xTAx的一個標準形

線性變換的矩陣形式設x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

則由變量x1

x2

xn到變量y1

y2

yn的線性變換可以寫成矩陣形式

x

Cy二次型的線性變換把式x

Cy代入二次型f(x)

xTAx

得其中yTBy是以B為矩陣的y的n元二次型

xTAx

yTBy

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)易知

r

r(A)

r(B)

通過配方法將二次型改寫成

解

通過配方法將二次型改寫成

解

得原二次型的標準形

說明

定義5

3(合同矩陣)

設A

B為兩個n階矩陣

如果存在n階非奇異矩陣C

使得

CTAC

B則稱矩陣A合同于矩陣B

或A與B合同

記為A~B

二次型的矩陣A與經(jīng)過非退化線性變換x

Cy得出的二次型的矩陣CTAC是合同的

合同關系的性質

(1)對于任意一個方陣A

都有A~A

說明

定義5

3(合同矩陣)

設A

B為兩個n階矩陣

如果存在n階非奇異矩陣C

使得

CTAC

B則稱矩陣A合同于矩陣B

或A與B合同

記為A~B

因為ITAI

A

I為n階單位矩陣

合同關系的性質

(1)對于任意一個方陣A

都有A~A

(2)如果A~B

則B~A

說明

定義5

3(合同矩陣)

設A

B為兩個n階矩陣

如果存在n階非奇異矩陣C

使得

CTAC

B則稱矩陣A合同于矩陣B

或A與B合同

記為A~B

因為CTAC

B

則(C

1)TBC

1

A

合同關系的性質

(1)對于任意一個方陣A

都有A~A

(2)如果A~B

則B~A

(3)如果A~B且B~C

則A~C

說明

定義5

3(合同矩陣)

設A

B為兩個n階矩陣

如果存在n階非奇異矩陣C

使得

CTAC

B則稱矩陣A合同于矩陣B

或A與B合同

記為A~B

因為C1TAC1

B

C2TBC2

C

則

(C1C2)TA(C1C2)

C2TBC2

C而|C1C2