（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)） 點(diǎn)估計(jì)

一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)下頁參數(shù)估計(jì)

問題：若總體X的分布函數(shù)F(x)的類型已知，但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知,如何估計(jì)總體的未知參數(shù)？

想法：用X的一組樣本觀察值(x1,x2,…,xn)來估計(jì)總體中未知參數(shù)的值,即用樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體中未知參數(shù)的值.

估計(jì)量：設(shè)q為總體X的未知參數(shù)，用樣本(X1,X2,…,Xn)構(gòu)成的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)q的真值，稱為q的估計(jì)量.

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)(方法):指用樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)未知參數(shù)的值.本節(jié)介紹①

矩估計(jì)法；②

極大似然估計(jì)法.

估計(jì)值：對(duì)應(yīng)于樣本的一組觀測(cè)值(x1,x2,…,xn),估計(jì)量的值(x1,x2,…,xn)稱為q的估計(jì)值，仍記作.§7.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)下頁○、基本概念mk=E(Xk)ck=E[X-E(X)]k總體矩總體矩的估計(jì)值樣本矩==顯然,通常取:理論根據(jù)：格利文科定理.一、矩估計(jì)法下頁

矩估計(jì)法：是用樣本矩估計(jì)相應(yīng)的總體矩，用樣本矩函數(shù)估計(jì)總體矩的同一函數(shù)的一種估計(jì)方法.例1．設(shè)總體X~N(m,s2

)，試求m,s2的矩估計(jì)量.解得m,s2

的矩計(jì)量分別為即下頁解：設(shè)(X1,…,Xn)為X的一個(gè)樣本，依題意知

E(X)=

m,D(X)=

s2，據(jù)矩估計(jì)法有解得q1,q2的矩估計(jì)量為即例2．設(shè)總體X~U[q1,q2]，試求q1,q2的矩估計(jì)量.下頁解：設(shè)(X1,…,Xn)為X的一個(gè)樣本，依題意知

據(jù)矩估計(jì)法有E(X)=q,根據(jù)矩估計(jì)法有(k=0,1,2…；0<q<+∞)同樣，又由于D(X)=q，故可得q的另一個(gè)矩估計(jì)量為由此可見一個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)量是不唯一的.例3．設(shè)總體X服從參數(shù)為q的泊松分布，即問題：哪一個(gè)作為估計(jì)量更好呢？下頁試求q的矩估計(jì)量.解：設(shè)(X1,…,Xn)為X的一個(gè)樣本，依題意知

二、極大似然估計(jì)法

極大似然原理：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有若干種可能的結(jié)果A，B，C，…．若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大．

引例．設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱有99個(gè)紅球1個(gè)藍(lán)球，乙箱有1個(gè)紅球99個(gè)藍(lán)球，今隨機(jī)地取出一箱，再從該箱中任取一球，結(jié)果取得紅球，問這球是從哪一個(gè)箱子中取出的？解：從甲箱中取得紅球的概率：P(紅/甲)=99/100；從乙箱中取得紅球的概率：P(紅/乙)=1/100.

顯然，從甲箱中取得紅球的概率，比從乙箱中取得紅球的概率大得多.既然在一次抽樣中取得紅球，當(dāng)然可以認(rèn)為是從抽取概率大的箱子中抽出的，故可作出統(tǒng)計(jì)推斷：紅球是從甲箱中取出的(合理).

這就是－極大似然原理！下頁⒊求極大似然估計(jì)步驟(1)寫出似然函數(shù);稱為樣本的似然函數(shù).使似然函數(shù)取得最大值的稱為q的極大似然估計(jì)值.這種方法稱為極大似然估計(jì)法.⒉極大似然函數(shù)下頁(2)取對(duì)數(shù);(3)求導(dǎo)數(shù);(4)由導(dǎo)數(shù)=0,解得估計(jì)值.

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;q)，[若X是離散型,f(x;q)是分布律]q為未知參數(shù)(q也可以是向量)，則函數(shù)

解：設(shè)x1,…,xn為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為兩邊取對(duì)數(shù)得對(duì)l求導(dǎo)數(shù)，并使其等于0得解這一方程得l的極大似然估計(jì)為

比如，n=10,樣本觀測(cè)值為：10，13，65，18，79，42，65，77，88，123.則下頁例4．X~P(l)，求l極大似然估計(jì).例5．X服從參數(shù)為l的指數(shù)分布，求l的極大似然估計(jì)量.下頁解：設(shè)x1,…,xn為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為解得l的估計(jì)值為由所以l的估計(jì)量為例6．設(shè)X~N(m,s2）,求m,s2的極大似然估計(jì).解得m,s2的極大似然估計(jì)值為下頁解：設(shè)x1,…,xn為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為例7．設(shè)總體X具有均勻分布，密度函數(shù)為求未知參數(shù)q的極大似然估計(jì).顯然L是q的一個(gè)單值遞減函數(shù)，而另一方面，xi

≤q(i=1,2,3…,n),下頁解：設(shè)x1,…,xn為樣本的一組觀測(cè)值，則似然函數(shù)為所以q的極大似然估計(jì)值為三、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)⒈一致性則稱為q的一致估計(jì)量.下頁⒉

無偏性無偏估計(jì)量.設(shè)為未知參數(shù)q的估計(jì)量，若E(

)=q，則稱為q的為未知參數(shù)q的估計(jì)量序列，設(shè)對(duì)于任意ε>0,有則稱較有效.⒊有效性設(shè)是q

的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若解：因?yàn)橄马?/p>

問哪個(gè)是

的無偏估計(jì)量？

例8．設(shè)X1,X2,X3是來自均值為

的指數(shù)分布總