2023-2024學年人教B版選擇性必修第一冊 1-2-4 二面角 學案_第1頁
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1.2.4二面角新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.理解二面角的定義直觀想象2.能用向量方法解決二面角的計算問題,體會向量方法在研究幾何問題中的作用數(shù)學運算同學們可能經常談論某某同學是白羊座的,某某同學是雙子座的,可是你知道十二星座的由來嗎?我們知道,地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)約為23°26′,它與天球相交的大圓為“黃道”,黃道及其附近的南北寬8°以內的區(qū)域為黃道帶,黃道帶內有十二個星座,稱為“黃道十二宮”,從春分(節(jié)氣)點起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、金牛座、雙子座等等,這便是星座的由來……[問題]你知道二面角是如何定義的嗎?知識點一二面角1.定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,如圖.2.范圍:我們約定,二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°,而且,兩個平面相交時,它們所成角的大小,指的是它們所形成的四個二面角中,不小于0°且不大于90°的角的大小,平面角是直角的二面角稱為直二面角.找二面角的三種方法定義法在棱上取一點,分別在兩平面內過此點引兩條射線與棱垂直,這兩條射線所成的角就是二面角的平面角垂面法已知二面角內一點到兩個面的垂線時,過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角的平面角垂線法過二面角的一個面內異于棱上的A點向另一個平面作垂線,垂足為B,由點B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補角,如圖,∠AOB為二面角α-l-β的平面角知識點二空間向量與二面角如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個法向量,設α1與α2所成角的大小為θ,則θ=〈n1,n2〉或θ=π-〈n1,n2〉,如圖.特別地sinθ=sin〈n1,n2〉.若二面角α-l-β的兩個半平面的法向量分別為n1,n2,那么二面角的平面角與兩法向量夾角〈n1,n2〉一定相等嗎?提示:不一定.可能相等,也可能互補.1.在一個二面角的兩個面內都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個二面角的余弦值為()A.eq\f(\r(15),6) B.-eq\f(\r(15),6)C.eq\f(\r(15),3) D.eq\f(\r(15),6)或-eq\f(\r(15),6)解析:D∵eq\f((0,-1,3)·(2,2,4),\r(1+9)·\r(4+4+16))=eq\f(\r(15),6),∴這個二面角的余弦值為eq\f(\r(15),6)或-eq\f(\r(15),6).2.正方形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則二面角P-CD-A的大小為________,平面PAD與平面PBC所成的角為________.答案:45°45°3.在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,則二面角B-PA-C的大小為________.解析:因為PA⊥平面ABC,所以AC⊥PA,BA⊥PA,所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角,又∠BAC=90°,所以二面角B-PA-C的大小為90°.答案:90°題型一幾何法求二面角【例1】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°.求二面角A-A1C-B解設A1C的中點為M,連接BM,AM,因為BA1=BC,AA1=AC,所以BM⊥A1C,AM⊥A1所以∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角由直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB?平面ABC可得AB⊥AA1,由∠BAC=90°,可得AB⊥AC,且AC∩AA1=A,所以AB⊥平面ACC1A1又因為AM?平面ACC1A1,所以AB⊥AM在Rt△ABM中,AB=2,AM=eq\r(2),可得tan∠AMB=eq\f(AB,AM)=eq\r(2),所以二面角A-A1C-B的正切值為eq\r(2).|通性通法|求二面角大小的步驟(一作二證三求)如圖,空間四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,對角線AC=a,BD=eq\r(2)a,求二面角A-BD-C的大小.解:如圖,取BD的中點O,分別連接AO,CO,∵AB=AD,BC=CD,∴AO⊥BD,CO⊥BD.∴∠AOC為二面角A-BD-C的平面角.∵AB=AD=a,BD=eq\r(2)a,∴AO=eq\f(\r(2),2)a.∵BC=CD=a,BD=eq\r(2)a,∴OC=eq\f(\r(2),2)a.在△AOC中,OC=eq\f(\r(2),2)a,OA=eq\f(\r(2),2)a,AC=a,OA2+OC2=AC2.∴∠AOC=90°.即二面角A-BD-C的大小為90°.題型二向量法求二面角【例2】(2021·天津高考節(jié)選)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱BC的中點,F(xiàn)為棱CD的中點(1)求證D1F∥平面A1EC1(2)求二面角A-A1C1-E的正弦值解(1)以A為原點,AB,AD,AA1分別為x,y,z軸,建立如圖空間直角坐標系,則A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),C1(2,2,2),D1(0,2,2),因為E為棱BC的中點,F(xiàn)為棱CD的中點,所以E(2,1,0),F(xiàn)(1,2,0),所以eq\o(D1F,\s\up6(―→))=(1,0,-2),eq\o(A1C1,\s\up6(―→))=(2,2,0),eq\o(A1E,\s\up6(―→))=(2,1,-2),設平面A1EC1的一個法向量為m=(x1,y1,z1),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1C1,\s\up6(―→))=2x1+2y1=0,,m·\o(A1E,\s\up6(―→))=2x1+y1-2z1=0,))令x1=2,則m=(2,-2,1),因為eq\o(D1F,\s\up6(―→))·m=2-2=0,所以eq\o(D1F,\s\up6(―→))⊥m,因為D1F?平面A1EC1,所以D1F∥平面A1EC(2)由正方體的特征可得,平面AA1C1的一個法向量為eq\o(DB,\s\up6(―→))=(2,-2,0),則cos〈eq\o(DB,\s\up6(―→)),m〉=eq\f(\o(DB,\s\up6(―→))·m,|\o(DB,\s\up6(―→))|·|m|)=eq\f(8,3×2\r(2))=eq\f(2\r(2),3),所以二面角A-A1C1-E的正弦值為eq\r(1-cos2〈\o(DB,\s\up6(―→)),m〉)=eq\f(1,3).|通性通法|向量法求二面角的三個步驟(1)建立適當?shù)淖鴺讼?,寫出相應點的坐標;(2)求出兩個半平面的法向量n1,n2;(3)設兩平面的夾角為θ,則cosθ=|cos〈n1,n2〉|.[注意](1)若要求的是二面角,則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角,從而用法向量求解;(2)要注意兩平面所成的角與二面角的區(qū)別.1.如圖,點A,B,C分別在空間直角坐標系O-xyz的三條坐標軸上,eq\o(OC,\s\up6(―→))=(0,0,2),eq\o(OA,\s\up6(―→))=(1,0,0),eq\o(OB,\s\up6(―→))=(0,2,0),設二面角C-AB-O的大小為θ,則cosθ=()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(3),4)解析:B因為eq\o(OC,\s\up6(―→))=(0,0,2),eq\o(OA,\s\up6(―→))=(1,0,0),eq\o(OB,\s\up6(―→))=(0,2,0),所以eq\o(AB,\s\up6(―→))=(-1,2,0),eq\o(AC,\s\up6(―→))=(-1,0,2),設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(―→))·n=0,,\o(AB,\s\up6(―→))·n=0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x+2z=0,,-x+2y=0,))取n=(2,1,1),又因為平面ABO的法向量為eq\o(OC,\s\up6(―→))=(0,0,2),所以cosθ=eq\f(\o(OC,\s\up6(―→))·n,|\o(OC,\s\up6(―→))||n|)=eq\f(2,2×\r(6))=eq\f(\r(6),6),故選B.2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長都相等,E為BB1的中點,則二面角E-AC-B的大小為________解析:設正三棱柱的棱長為2,以AC的中點O為坐標原點,OA,OB所在直線分別為x軸,y軸,AC的垂直平分線為z軸,建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,eq\r(3),0),E(0,eq\r(3),1),eq\o(AC,\s\up6(―→))=(-2,0,0),eq\o(AE,\s\up6(―→))=(-1,eq\r(3),1).設平面AEC的法向量為n1=(x,y,z),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AC,\s\up6(―→))=-2x=0,,n1·\o(AE,\s\up6(―→))=-x+\r(3)y+z=0,))令z=eq\r(3),得n1=(0,-1,eq\r(3)).平面ABC的一個法向量為n2=(0,0,1),則cos〈n1,n2〉=eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)=eq\f(\r(3),2).所以〈n1,n2〉=eq\f(π,6),故二面角E-AC-B的大小為eq\f(π,6).答案:eq\f(π,6)立體幾何中的翻折問題如圖,把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,O是原正方形ABCD的中心,求折紙后∠EOF的大小.此問題涉及到平面圖形的翻折問題,求解平面圖形翻折成立體圖形有以下規(guī)律:確定翻折前后變與不變的關系畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形,分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關系的變與不變.一般地,位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變,而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化;對于不變的關系應在平面圖形中處理,而對于變化的關系則要在立體圖形中解決確定翻折后關鍵點的位置所謂的關鍵點,是指翻折過程中運動變化的點.因為這些點的位置移動,會帶動與其相關的其他的點、線、面的關系變化,以及其他點、線、面之間位置關系與數(shù)量關系的變化.只有分析清楚關鍵點的準確位置,才能以此為參照點,確定其他點、線、面的位置,進而進行有關的證明與計算1.寫出上述問題的解答.解:如圖,以OB,OC,OD所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz.設原正方形的邊長為1,則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(\r(2),4),\f(\r(2),4))),F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4),\f(\r(2),4),0)),cos〈eq\o(OE,\s\up6(―→)),eq\o(OF,\s\up6(―→))〉=eq\f(\o(OE,\s\up6(―→))·\o(OF,\s\up6(―→)),|\o(OE,\s\up6(―→))||\o(OF,\s\up6(―→))|)=-eq\f(\f(1,8),\f(1,2)×\f(1,2))=-eq\f(1,2),∴∠EOF=120°.2.如圖①,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2BC=4,過A點作AE⊥CD,垂足為E,現(xiàn)將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.取AD的中點F,連接BF,CF,EF,如圖②.(1)求證:BC⊥平面DEC;(2)求二面角C-BF-E的余弦值.解:(1)證明:∵DE⊥EC,DE⊥AE,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE,又∵BC?平面ABCE,∴DE⊥BC,又∵BC⊥EC,DE∩EC=E,∴BC⊥平面DEC.(2)如圖,以點E為坐標原點,分別以EA,EC,ED所在直線為x,y,z軸建立空間坐標系Exyz,∴E(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D(0,0,2),A(2,0,0),F(xiàn)(1,0,1),設平面EFB的法向量n1=(x1,y1,z1),由eq\o(EF,\s\up6(―→))=(1,0,1),eq\o(EB,\s\up6(―→))=(2,2,0),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1+z1=0,,2x1+2y1=0,))∴取x1=1,得平面EFB的一個法向量n1=(1,-1,-1),設平面BCF的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),由eq\o(CF,\s\up6(―→))=(1,-2,1),eq\o(CB,\s\up6(―→))=(2,0,0),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2=0,,x2-2y2+z2=0,))取y2=1,得平面BCF的一個法向量n2=(0,1,2),設二面角C-BF-E的大小為α,由圖可知,α為銳角,則cosα=eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)=eq\f(|-1-2|,\r(5)×\r(3))=eq\f(\r(15),5).故二面角C-BF-E的余弦值為eq\f(\r(15),5).1.三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若〈n1,n2〉=eq\f(π,3),則二面角A-BD-C的大小為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D.eq\f(π,6)或eq\f(π,3)解析:C當二面角A-BD-C為銳角時,它等于〈n1,n2〉=eq\f(π,3).當二面角A-BD-C為鈍角時,它等于π-〈n1,n2〉=π-eq\f(π,3)=eq\f(2π,3).2.如圖,AB是圓的直徑,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圓上一點(不同于A,B),且PA=AC,則二面角P-BC-A的平面角為()A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB解析:C∵C是圓上一點(不同于A,B),AB是圓的直徑,∴AC⊥BC,PA⊥BC,AC∩PA=A,即BC⊥面PAC,而PC?面PAC,∴BC⊥PC,又面ABC∩面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定義∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.故選C.3.在正四面體A-BCD中,二面角A-CD-B的平面角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),3)解析:B由A-BCD為正四面體知:記E為CD中點,連接AE,BE,則AE⊥CD,BE⊥CD而AE∩BE=E,∴CD⊥面ABE,即有∠AEB為二面角A-CD-B的平面角,設正四面體的棱長為1,即AE=BE=eq\f(\r(3),2),AB=1,∴在△ABE中,作AH⊥BE于H,則cos∠AEB=eq\f(HE,AE),而AB2-BH2=AE2-HE2且BH=BE-HE,可得HE=eq\f(\r(3),6),∴cos∠AEB=eq\f(1,3).故選B.4.(多選)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,以D為原點,eq\o(DC,\s\up6(―→)),eq\o(DA,\s\up6(―→)),eq\o(DD1,\s\up6(―→))的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系,則下列說法正確的是()A.B1的坐標為(2,2,3)B.eq\o(BC1,\s\up6(―→))=(-2,

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