數(shù)學(xué)人教A版選修2-3課堂導(dǎo)學(xué)3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、回歸方程及其應(yīng)用【例1】研究某灌溉渠道水的流速Y與水深x之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：水深x/m流速Y/(m·s1)（1）求Y對(duì)x的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為1.95m時(shí)水的流速是多少？思路分析：從散點(diǎn)圖可以直觀地看出變量x與Y之間有無線性相關(guān)關(guān)系，為此把這8對(duì)數(shù)據(jù)描繪在平面直角坐標(biāo)系中，得到平面上8個(gè)點(diǎn)，如圖所示.由圖容易看出，x與Y之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，或者說，可以用一個(gè)回歸直線方程=a+bx來反映這種關(guān)系，這些是我們?cè)诒匦弈K數(shù)學(xué)3中學(xué)過的知識(shí).進(jìn)一步觀察這8個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們并不是“嚴(yán)格地”在一條直線上，對(duì)于某個(gè)xi，由上式能確定一個(gè)=a+bxi，一般地說，由于測(cè)量流速可能存在誤差，或者受某些隨機(jī)因素的影響，或者上面的回歸直線方程本身就不夠精確，與測(cè)得的數(shù)據(jù)yi很可能不相等，即yi=i+ei(i=1,2,…,8),其中ei是隨機(jī)誤差項(xiàng).于是，就有yi=a+bxi+ei(i=1,2,…,8),這就是本題的線性模型.從上述線性模型出發(fā)，我們可以求出a與回歸系數(shù)b的估計(jì)值,，使得全部誤差e1,e2,…,e8,的數(shù)學(xué)公式為=.解析：（1）可采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.序號(hào)xyx2xy12345678∑于是，=×14.00=1.75,=×15.82=1.9775,=≈0.733.=1.9775×1.75≈0.694.Y對(duì)x的回歸直線方程為=+x=0.694+0.733x.回歸系數(shù)=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1m，水的流速平均增加0.733m/s(本例數(shù)據(jù)是以0.1m為水深間隔測(cè)得的），=0.694可以解釋為水的流速中不受水深影響的部分.（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1.95代入，易得=0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s).計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)水深為1.95m時(shí)可以預(yù)測(cè)渠水的流速約為2.12m/s.二、熟悉建立回歸模型的基本步驟，會(huì)分析殘差圖的異常情況【例2】1993年到2002年中國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的數(shù)據(jù)如下：年份GDP1993199419951996199719981999200020012002（1）作GDP和年份的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么？（2）建立年份的解釋變量，GDP為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差.（3）根據(jù)你得到的模型，預(yù)報(bào)2003年的GDP，并查資料，看看你的預(yù)報(bào)與實(shí)際的GDP的誤差是多少？（4）你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.解析：（1）（2）從上圖中可以看出，x與y之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，即可以用一個(gè)回歸直線方程=x+表示通過計(jì)算可得=×19975=1=∴y對(duì)x的回歸直線模型為殘差為：x19931994199519961997yx19981999200020012002y1（3）=7206.5×200314321563.28=113056.22（億元）2003年的實(shí)際GDP為117390億元，誤差為4333.78億元.(4）以樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作殘差圖.從殘差圖可以看出這個(gè)模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系.三、比較擬合效果的基本步驟【例3】一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表1中，試建立y與x之間的回歸方程.表1溫度x/℃21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325解析：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（圖1）.在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=的周圍，其中c1和c2是待定參數(shù).現(xiàn)在，問題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù)c1和c2.我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系.令z=lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周圍.這樣，就可以利用線性回歸模型來建立y和x之間的非線性回歸方程了.由表1的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表2，圖2給出了表2中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.從圖2中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.表2x21232527293235z由表2中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程=0.272x3.843.因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程為=e.(1)另一方面，可以認(rèn)為圖1中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c3x2+c4的附近，其中c3和c4為待定參數(shù).因此可以對(duì)溫度變量做變換，即令t=x2，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程.表3是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖3是相應(yīng)的散點(diǎn)圖.表3t44152962572984110241225Y711212466115325從圖3中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線y=c3x2+c4來擬合y和x之間的關(guān)系.這個(gè)結(jié)論還可以通過殘差分析得到.各個(gè)擊破【類題演練1】在一段時(shí)間內(nèi)：某種商品價(jià)格x（萬元）和需求量Y（t）之間的一組數(shù)據(jù)為價(jià)格x：1.41.61.822.2需求量Y：121075133（1）畫出散點(diǎn)圖；解析：（1）（2）求出Y對(duì)x的回歸直線方程，并在（1）的散點(diǎn)圖中畫出它的圖象；解析：采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.序號(hào)xyx2xy123452121075341610∑93762x=×9=1.8==Y對(duì)x的回歸直線方程為=+（3）如價(jià)格定為1.9萬元，預(yù)測(cè)需求量大約是多少（精確到0.01t)?解析：當(dāng)x=1.9時(shí)，Y=28.111.5×1.9=6.25,所以價(jià)格定為1.9萬元，需求量大約是6.25(t).【變式提升1】彈簧長(zhǎng)度Y(cm)隨所掛物體質(zhì)量x(g)不同而變化的情況如下：物體質(zhì)量x:51015202530（1）畫出散點(diǎn)圖；解析：（1）（2）求Y對(duì)x的回歸直線方程；解析：采用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b序號(hào)xyx2xy1234565101520253025100225400625900198274354∑1052275===Y對(duì)x的回歸直線方程為（3）預(yù)測(cè)所掛物體質(zhì)量為27g時(shí)的彈簧長(zhǎng)度（精確到0.01cm）.解析：當(dāng)質(zhì)量為27g時(shí)，有=6.30+0.183×27≈11.24cm所以當(dāng)掛物體的質(zhì)量為27kg時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度大約為11.24cm.【類題演練2】如果美國10家工業(yè)公司提供了以下數(shù)據(jù)：公司銷售總額x1/百萬美元利潤(rùn)x2/百萬美元通用汽車1269744224福特969333835?？松?66563510IBM634383758通用電氣552643939美孚509761809菲利普·莫利斯390692946克萊斯勒36156359杜邦352092480德士古324162413（1）作銷售總額和利潤(rùn)的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么形式；解析：散點(diǎn)圖如圖所示由圖可猜想它們之間是線性相關(guān)關(guān)系.（2）建立銷售總額的解釋變量，利潤(rùn)的預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差；解析：通過計(jì)算可得：∴回歸模型為由公式=yixi得其殘差為x12697496933866566343855264y42243835351037583939x5097639069361563520932416y1809294635924802413（3）計(jì)算相關(guān)指數(shù)，你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫銷售總額和利潤(rùn)之間的關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.解析：R2=1=1∴這個(gè)模型不能較好地刻畫銷售總額和利潤(rùn)之間的關(guān)系.【類題演練3】某農(nóng)場(chǎng)對(duì)單位面積化肥用量x(kg)和水稻相應(yīng)產(chǎn)量Y（kg）的關(guān)系作了統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下：x:15202530354045Y:330345365405445450455如果x和Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)單位面積化肥用量為32kg時(shí)水稻的產(chǎn)量大約是多少（精確到0.01kg）.解析：用列表的方法計(jì)算a與回歸系數(shù)b.序號(hào)xyx2x12345671520253035404533024536540544545045522540062590012251600202549506900912512150155751800020475∑2102795700087175=×210=30==Y對(duì)x的回歸直線方程為=+當(dāng)x=32時(shí)，答：回歸直線方程為=256.92+4.746x，當(dāng)單位面積化肥為32kg時(shí)，水稻的產(chǎn)量大約為408.79kg.【變式提升3】隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長(zhǎng),個(gè)人購買家庭轎車已不再是一種時(shí)尚.車的使用費(fèi)用,尤其是隨著使用年限的增多,所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長(zhǎng)多少,一直是購車一族非常關(guān)心的問題.某汽車銷售公司做了一次抽樣調(diào)查,并統(tǒng)計(jì)得出某款車的使用年限x與所支出的總費(fèi)用y(萬元)有如下的數(shù)據(jù)資料:使用年限x23456總費(fèi)用y若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:(1)線