七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題03 絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡(jiǎn)）專(zhuān)項(xiàng)講練-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難題型全歸納及技巧提升專(zhuān)項(xiàng)精練（人教版）（原卷版）

/專(zhuān)題03絕對(duì)值壓軸題（最值與化簡(jiǎn)）專(zhuān)項(xiàng)講練專(zhuān)題1.最值問(wèn)題最值問(wèn)題一直都是初中數(shù)學(xué)中的最難點(diǎn)，但也是高分的必須突破點(diǎn)，需要牢記絕對(duì)值中的最值情況規(guī)律，解題時(shí)能達(dá)到事半功倍的效果。題型1.兩個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使x到a和b的距離和的最小值：分類(lèi)情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時(shí)無(wú)法確定當(dāng)時(shí)的值為定值，即為當(dāng)無(wú)法確定結(jié)論：式子在時(shí)，取得最小值為。例1.（2021·珠海市初三二模）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)直觀地表示實(shí)數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點(diǎn)，分別表示數(shù)，，則，兩點(diǎn)之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)3兩點(diǎn)之間的距離．則當(dāng)有最小值時(shí)，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝_______．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7這樣的負(fù)整數(shù)是_____________．（3）由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有寫(xiě)出最小值，如果沒(méi)有說(shuō)明理由．例2.（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期末）數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如：從“形”的角度看：可以理解為數(shù)軸上表示3和1的兩點(diǎn)之間的距離；可以理解為數(shù)軸上表示3與﹣1的兩點(diǎn)之間的距離．從“數(shù)”的角度看：數(shù)軸上表示4和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離可用代數(shù)式表示為：4-（-3）．根據(jù)以上閱讀材料探索下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示3和9的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是；（直接寫(xiě)出最終結(jié)果）(2)①若數(shù)軸上表示的數(shù)x和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離是4，則x的值為；②若x為數(shù)軸上某動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)，則式子的最小值為．變式2.（2022?思明區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對(duì)值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫(xiě)出最小值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．題型2.兩個(gè)絕對(duì)值的差的最值【解題技巧】目的是在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類(lèi)情況（的取值范圍）圖示取值情況當(dāng)時(shí)的值為定值，即為—當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)闹禐槎ㄖ?，即為結(jié)論：式子在時(shí)，取得最小值為；在時(shí)，取得最大值。例1.（2022·浙江·溫州七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在變式1．（2022·上海七年級(jí)期中）代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，可化簡(jiǎn)為_(kāi)_____；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．例2.（2022·湖北十堰·七年級(jí)期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為_(kāi)_．變式2．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，一般地，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請(qǐng)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為_(kāi)_，數(shù)x與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為_(kāi)_；（2）求的最大值；（3）直接寫(xiě)出的最大值為_(kāi)_____．題型3.多個(gè)絕對(duì)值的和的最值【解題技巧】最小值規(guī)律：①當(dāng)有兩個(gè)絕對(duì)值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點(diǎn)在數(shù)，的點(diǎn)的中間；②當(dāng)有三個(gè)絕對(duì)值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點(diǎn)與數(shù)的點(diǎn)重合；③當(dāng)有（奇數(shù)）個(gè)絕對(duì)值相加：，且，則取中間數(shù)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為；④當(dāng)有（偶數(shù)）個(gè)絕對(duì)值相加：，且，則取中間段，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．變式1．（2022?武侯區(qū)校級(jí)月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值為，此時(shí)x的取值為．例2.（2022·北京市第四十四中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b．A，B兩點(diǎn)間的距離可以用符號(hào)表示，利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值可以計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離．例如：當(dāng)a＝2，b＝5時(shí)，＝5－2＝3；當(dāng)a＝2，b＝－5時(shí)，＝＝7；當(dāng)a＝－2，b＝－5時(shí)，＝＝3，綜合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B之間的距離＝（也可以表示為）．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問(wèn)題：（1）表示數(shù)a和－2的兩點(diǎn)間距離是6，則a＝；（2）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于－4和3之間，則＝（3）代數(shù)式的最小值是．（4）如圖，若點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a，b，c，d，則式子的最小值為（用含有a，b，c，d的式子表示結(jié)果）變式2.（2022?龍泉驛區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離．進(jìn)一步地，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離就表示為|a﹣b|；反過(guò)來(lái)，|a﹣b|也就表示A，B兩點(diǎn)之間的距離．下面，我們將利用這兩種語(yǔ)言的互化，再輔助以圖形語(yǔ)言解決問(wèn)題．例，若|x+5|＝2，那么x為：①|(zhì)x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．文字語(yǔ)言：數(shù)軸上什么數(shù)到﹣5的距離等于2．②圖形語(yǔ)言：③答案：x為﹣7和﹣3．請(qǐng)你模仿上題的①②③，完成下列各題：（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；①文字語(yǔ)言：②圖形語(yǔ)言：③答案：（2）|x﹣3|﹣|x|＝2時(shí)，求x的值：①文字語(yǔ)言：②圖形語(yǔ)言：③答案：（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范圍：①文字語(yǔ)言：②圖形語(yǔ)言：③答案：（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．①文字語(yǔ)言：②圖形語(yǔ)言：③答案：課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）若表示數(shù)軸上x(chóng)與a兩數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，當(dāng)x取任意有理數(shù)時(shí)，代數(shù)式的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）最小值為

______．3．（2022·陜西·西安交大陽(yáng)光中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列材料:我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，這個(gè)結(jié)論可以推廣為:|a-b|均表示在數(shù)軸上數(shù)a與b對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，例:已知|a-1|=2，求a的值.解:在數(shù)軸上與1的距離為2點(diǎn)的對(duì)應(yīng)數(shù)為3和-1，即a的值為3和-1.仿照閱讀材料的解法，解決下列問(wèn)題(1)已知，求a的值.(2)若數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在-4與2之間，則|a+4|+|a-2|的值為_(kāi)__(3)當(dāng)a滿(mǎn)足什么條件時(shí)，|a-1|+|a+2|有最小值，最小值是多少?4．（2021·貴州六盤(pán)水·七年級(jí)階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|4﹣（﹣2）|表示4與﹣2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為4與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：同理|x﹣3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之問(wèn)的距離，試探索：（1）|4﹣（﹣2）|＝；（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并說(shuō)明理由．（3）由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫(xiě)出最小值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．5．（2021·北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)七年級(jí)期中）同學(xué)們都知道，|5－（－2）|表示5與－2之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與－2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：（1）求|5－（－2）|＝______．（2）若成立，則x＝_________．（3）請(qǐng)你寫(xiě)出的最小值為_(kāi)_______．并確定相應(yīng)的x的取值范圍是______．6．（2022·山東·濟(jì)南七年級(jí)期中）唐代文學(xué)家韓愈曾賦詩(shī)：“天街小雨潤(rùn)如酥，草色遙看近卻無(wú)”，當(dāng)代印度詩(shī)人泰戈?duì)栆矊?xiě)道：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無(wú)處尋覓；而是尚未相遇，便注定無(wú)法相聚”．距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門(mén)話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測(cè)量，人類(lèi)才能掌握世界尺度．已知點(diǎn)，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，，兩點(diǎn)之間的距離表示為．例如，在數(shù)軸上，有理數(shù)3與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；有理數(shù)5與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；…解決問(wèn)題：（1）數(shù)軸上有理數(shù)與3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離等于_________；數(shù)軸上有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離用含的式子表示為_(kāi)_______；若數(shù)軸上有理數(shù)與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)、之間的距離，求的值；聯(lián)系拓廣：（2）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)為4，點(diǎn)表示的數(shù)為，為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)為．①若點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間，則______；若，則點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____；由此可得：當(dāng)取最小值時(shí)，求整數(shù)的所有取值的和；②當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍時(shí)，求的值．7．（2022·重慶市銅梁區(qū)關(guān)濺初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)的距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)5的點(diǎn)的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)－5的點(diǎn)的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)的距離．根據(jù)以上材料回答下列問(wèn)題：（將結(jié)果直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置，不寫(xiě)過(guò)程）（1）若，則_______，若，則_______；（2）若，則x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，則x能取到的最大值是_______；（4）關(guān)于x的式子的取值范圍是_______．8．（2022·云南·昆明七年級(jí)期中）閱讀下面材料并解決有關(guān)問(wèn)題，我們知道：，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得，，稱(chēng)，分別為與的零點(diǎn)值在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值，，可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下種情況：①；②；③從而化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)可分以下種情況：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式；綜上所述：原式，通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，______．（2）化簡(jiǎn)代數(shù)式：（3）直接寫(xiě)出的最大值______．9．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b．A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|．則數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a﹣b|．回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當(dāng)|x+1|+|x﹣2|取最小值時(shí)，符合條件的整數(shù)x有；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，問(wèn)當(dāng)x取何值時(shí)，y最小，最小值為多少？請(qǐng)求解．10．（2021·福建·泉州七中七年級(jí)期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．?dāng)?shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．例如，式子的幾何意義是數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）若，則；的最小值是．（2）若，則的值為；若，則的值為．（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接寫(xiě)出這個(gè)最小值及此時(shí)的取值情況；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2021·廣東·西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是________，表示和2兩點(diǎn)之間的距離是________．（2）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么________．（3）若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于與2之間，則的值為_(kāi)_______；（4）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是．（5）當(dāng)________時(shí)，的值最小，最小值是________．12．（2022?綿陽(yáng)市校級(jí)月考）認(rèn)真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問(wèn)題．材料：在學(xué)習(xí)絕對(duì)值時(shí)，老師教過(guò)我們絕對(duì)值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，一般地，點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的距離可表示為|a﹣b|．（1）點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，那么點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離之和可表示為（用含絕對(duì)值的式子表示）；（2）利用數(shù)軸探究：①找出滿(mǎn)足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是．②設(shè)|x﹣3|+|x+1|＝p，當(dāng)x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時(shí)，P的值是不變的，此時(shí)P取最小值是；|x|+|x﹣2|最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值為，此時(shí)x的值為．13．（2022·河南南陽(yáng)·七年級(jí)期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（

）A．10 B．11 C．17 D．2114．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用數(shù)軸解決下面的問(wèn)題：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是；（3）當(dāng)式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍或值是，最小值是．15．（2021·福建省仙游縣楓亭職業(yè)學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀理解；我們知道，若A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，A、B兩點(diǎn)間的距離表示為AB，則．所以的幾何意義是數(shù)軸上表示X的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：（1）若點(diǎn)A表示－2，點(diǎn)B表示3，則AB＝．（2）若，則的值是．（3）如果數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于－4和2之間，求的值；（4）點(diǎn)取何值時(shí)，取最小值，最小值是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（5）直接回答：當(dāng)式子取最小值時(shí)，相應(yīng)的取值范圍是多少？最小值是多少？16．（2022·四川·安岳縣李家初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）我們知道，|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B，分別用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，為什么？)，利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是_____，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是_______；（2）數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A、B之間的距離是_______，如果|AB|=2，那么x的值為_(kāi)______；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的值最小，并求出這個(gè)最小值．17．（2022·全國(guó)·七年級(jí)期中）唐代著名文學(xué)家韓愈曾賦詩(shī)：“天街小雨潤(rùn)如酥，草色遙看近卻無(wú)．”當(dāng)代印度著名詩(shī)人泰戈?duì)栐凇妒澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離》中寫(xiě)道：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離，不是瞬間便無(wú)處尋覓；而是尚未相遇，便注定無(wú)法相聚．”距離是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門(mén)話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測(cè)量，人類(lèi)才能掌握世界尺度．已知P、Q在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)p、q，P、Q兩點(diǎn)的距離表示為．閱讀上述材料，回答下列問(wèn)題：（1）若數(shù)軸上表示x與3的兩點(diǎn)之間的距離是4，則___________．（2）當(dāng)x的取值范圍是多少時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是多少？（3）若未知數(shù)x，y滿(mǎn)足，求代數(shù)式的最大值，最小值分別是多少？專(zhuān)題2.絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題絕對(duì)值化簡(jiǎn)分為已知范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)與無(wú)范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)兩類(lèi)，屬于重點(diǎn)題型，考卷中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)它的身影，且易錯(cuò)，屬于必掌握類(lèi)型。希望通過(guò)本專(zhuān)題讓大家熟練掌握這兩類(lèi)壓軸題。題型1.已知范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)【解題技巧】已知范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)步驟：①判斷絕對(duì)值符號(hào)里式子的正負(fù)；兩數(shù)相減：大的數(shù)-小的數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：右-左＞0；小的數(shù)-大的數(shù)＜0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：左-右＜0.兩數(shù)相加：正數(shù)＋正數(shù)＞0，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)：取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上：原點(diǎn)兩側(cè)兩數(shù)相加，取離原點(diǎn)遠(yuǎn)的符號(hào).②將絕對(duì)值符號(hào)改為小括號(hào)：若正數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)不變（即本身）；若負(fù)數(shù)，絕對(duì)值前的正負(fù)號(hào)改變（即相反數(shù)）.③去括號(hào)：括號(hào)前是“＋”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)不變；括號(hào)前是“－”，去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào).④化簡(jiǎn).例1.（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．變式2.（2022·河南周口·七年級(jí)期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3例2.（2021·長(zhǎng)郡集團(tuán)郡維學(xué)校初一月考）如果++=-1，那么+++的值為（）A． B． C．0 D．不確定變式2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級(jí)期中）、、是有理數(shù)且，則的值是（

）A． B．3或 C．1 D．或1題型2.未知范圍的絕對(duì)值化簡(jiǎn)【解題技巧】絕對(duì)值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，即；②0的絕對(duì)值是0，即；③負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即；④絕對(duì)值具有非負(fù)性，即。例1.（2022?新都區(qū)校級(jí)月考）已知x為有理數(shù)，且|x﹣3|＝2x+3，則x的值為．變式1．（2022·河北·七年級(jí)期中）若a、b、c是有理數(shù)，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝5，且a，b異號(hào)，b，c同號(hào)，求a﹣b﹣（﹣c）的值．變式2．（2021·江蘇·九年級(jí)）已知，求．例2.（2022·福建福州·七年級(jí)期末）閱讀材料：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對(duì)值的方程．怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問(wèn)題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個(gè)一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．變式3．（2022·湖北咸寧·七年級(jí)期末）閱讀下列材料，回答問(wèn)題：“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)中一種重要的思想．例如：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時(shí)候，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，則A，B兩點(diǎn)的距離可用式子（表示，例如：5和的距離可用或表示．(1)【知識(shí)應(yīng)用】我們解方程時(shí)，可用把看作一個(gè)點(diǎn)x到5的距離，則該方程可看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P（P表示的數(shù)為x）與5的距離為2，所以該方程的解為或所以，方程的解為_(kāi)__（直接寫(xiě)答案，不離過(guò)程）．(2)【知識(shí)拓展】我們?cè)诮夥?，可以設(shè)A表示數(shù)5，B表示數(shù)，P表示數(shù)x，該方程可以看作在數(shù)軸上找一點(diǎn)P使得，因?yàn)?，所以由可知，P在線段AB上都可，所以該方程有無(wú)數(shù)解，x的取值范圍是．類(lèi)似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范圍）；(3)【拓展應(yīng)用】解方程課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：1．（2022?肇源縣期末）當(dāng)2≤x＜5時(shí)，化簡(jiǎn)：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為．2．（2022·陜西寶雞·七年級(jí)期末）已知、兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)代數(shù)式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．（2021·河南周口·七年級(jí)期中）是有理數(shù)，它在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．則________．4．（2022·四川廣元·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是_______．5．（2022·四川眉山·七年級(jí)期末）已知，有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示，化簡(jiǎn)：．6．（2022·云南昭通·七年級(jí)期末）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離可以用符號(hào)表示，可以利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離．若點(diǎn)A，B分別用數(shù)a，b表示，則當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，B之間的距離（也可以表示為）．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示和7兩點(diǎn)之間的距離是______；(2)如果數(shù)軸上表示a和1兩點(diǎn)間的距離是7，那么______；(3)如果數(shù)軸上表示的數(shù)a的取值范圍為，求的值．7．（2021·山東·夏津縣萬(wàn)隆