2022-2023學年遼寧省鞍山市高二下學期期末考試數學試題【含答案】

2022-2023學年遼寧省鞍山市高二下學期期末考試數學試題一、單選題1．已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據切點坐標和導數的幾何意義即可得出答案.【詳解】在切線上，故，又切線斜率為，根據導數的幾何意義可得.故選：D2．“”是“，，成等比數列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】B【分析】判斷“”和“，，成等比數列”的邏輯推理關系，即可得答案.【詳解】由題意當時，成立，但此時，，構不成等比數列；反之，當，，成等比數列時，必有成立，故“”是“，，”成等比數列的必要不充分條件，故選：B3．已知，則（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據常數函數的求導公式求解即可.【詳解】由，則故選：D4．在遼寧電視臺有一闖關節(jié)目，該節(jié)目設置有兩關，闖關規(guī)則是：當第一關闖關成功后，方可進入第二關.為了調查闖關的難度，該電視臺調查了參加過此節(jié)目的100名選手的闖關情況，第一關闖關成功的有70人，第一關闖關成功且第二關闖關也成功的選手有63人，以闖關成功的頻率近似作為闖關成功的概率，已知某個選手第一關闖關成功，則該選手第二關闖關成功的概率為（

）A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.431【答案】C【分析】若令“第一關闖關成功”為事件，“第二關闖關成功”為事件，則由題意可得，，然后利用條件概率的計算公式可求得結果.【詳解】第一關闖關成功的選手有人，則第一關闖關成功的頻率為，第一關闖關成功且第二關闖關也成功的選手有人，則兩關都成功的頻率為．設“第一關闖關成功”為事件，“第二關闖關成功”為事件，，，某個選手第一關闖關成功，則該選手第二關闖關成功的概率為.故選：C5．已知指數曲線進行適當變換后得到的方程為，則二次函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對作線性變化得，對比系數得到，的值，由二次函數的對稱軸以及開口即可得到函數的單調增區(qū)間【詳解】兩邊取對數，可得作線性變化得，由于指數曲線進行線性變換后得到的回歸方程為，則，，，即由于函數為二次函數即，拋物線開口向上，對稱軸為，則函數的單調增區(qū)間為，故選：C6．已知正項數列的前n項和為，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由關系且可得，利用累加法、等比數列前n項和公式求.【詳解】由題設，則，又都為正項，則，故，所以，所以，故.故選：C7．已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨立，設其中被治愈的人數為X，則下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．存在，使得成立【答案】B【分析】根據二項分布的概率公式、期望與方差公式及期望與方差的性質計算即可逐一判定.【詳解】由題意可得，則，所以，，故AC錯誤；由二項分布的概率公式得，故B正確；，若，則，化簡得，解得，與條件矛盾，即D錯誤.故選：B.8．已知函數的圖象恒在的圖象的下方，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，轉化原不等式為，構造函數，利用單調性可得，分離參數求的最小值即可.【詳解】由題意可得恒成立，故恒成立，即恒成立，令，則單調遞增，原不等式可化為，所以，即，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，所以，即實數的取值范圍是.故選：A二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．若等差數列的前項的和為，則，，成等差數列B．若為等比數列，且，則C．若等差數列的前項和為，已知，且，，則的最大值是D．若，則數列的前2024項和為4048【答案】BCD【分析】A.利用等差數列的性質判斷；B.利用等比數列的性質判斷；C.根據等比數列前項和公式判斷；D.利用數列并項求和判斷.【詳解】對于A：等差數列的前項的和為，令，則，，，顯然，即，，不成等差數列，故A錯誤；對于B：為等比數列，且，則，所以，故B正確；對于C：因為，則，，則，所以，，所以為遞減等差數列，且，所以數列前項的和最大，故C正確；對于D：因為，所以數列的前項和為：，故D正確.故選：BCD10．已知具有相關關系的兩個變量x，y的一組觀測數據，，….，，由此得到的線性回歸方程為，則下列說法中正確的是（

）A．回歸直線至少經過點，，….，中的一個點B．若，，則回歸直線一定經過點C．若點，，….，都落在直線上，則變量x，y的樣本相關系數D．若，，則相應于樣本點的殘差為【答案】BCD【分析】選項A、選項B可由回歸直線必經過樣本中心點，不一定經過樣本點來判斷；選項C，可通過已知方程，得到斜率，去判斷相關系數；選項D，樣本點的殘差等于該點的實際值減去模擬出的預測值，即可做出判斷.【詳解】線性回歸方程為不一定經過，，…，中的任何一個點，但一定會經過樣本中心點，故A錯誤，B正確；選項C，直線的斜率，且所有樣本點都落在直線上，所以這組樣本數據完全負相關，且相關系數達到最小值，即樣本相關系數，故C正確；選項D，樣本點的殘差為，故D正確.故選：BCD.11．若數列滿足，，，則稱數列為斐波那契數列，又稱黃金分割數列.在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波那契數列都有直接的應用.則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對A，根據遞推公式即可判斷；對利用判斷；D利用數列的性質，結合斐波那契數列的前項和即可判斷；對C，根據遞推公式，即可判斷.【詳解】對A：，，，所以，，，，故A正確；對B：由，可得，，故B正確；對C：，可得，即有，故C正確；對于，故不正確．故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：本題考查斐波那契數列的遞推公式，以及其偶數項和奇數項的和的求解；處理問題的關鍵是通過遞推公式，找到相鄰項的和與差的關.系12．對于函數，下列說法正確的是（

）A．在上單調遞增，在上單調遞減B．若方程有4個不等的實根，則C．當時，D．設，若對，，使得成立，則【答案】BD【分析】A選項，求導，研究單調性即可；B選項，結合A選項分析出的單調性，符號信息，作出圖像，然后根據圖像的變換得到的圖像，將方程的根轉化為圖像的交點個數問題；C選項，結合A選項的單調性進行分析；D選項，由題干選項，只需比較值域的關系即可.【詳解】A選項，定義域為，，則時，，單調遞減，時，，單調遞增，A選項錯誤；B選項，時，，則單調遞減，結合A選項的分析可知，在上單調遞減，在時單調遞增，由可得時，，時，，結合已經分析的的信息，作出圖像如下：

根據圖像的變換，的圖像為：

故，即時，有4個不等的實根，B選項正確；C選項，根據單調性，時單調遞減，故當時，，則，由于，不等式兩邊同時乘以，故，C選項錯誤；D選項，由于時，，時，，若對，，使得成立，故，解得，D選項正確.故選：BD.【點睛】關鍵點睛：本題綜合的考察了高中階段常見模型之一：的相關性質，熟知圖像性質，數形結合來處理是解題關鍵.三、填空題13．函數的極值點為.【答案】【分析】求導，再根據極值點的定義即可得解.【詳解】，當時，，當時，，所以函數的極小值點為，無極大值點.故答案為：.14．設某批產品中，甲、乙、丙三個車間生產的產品分別占、、，甲、丙車間生產的產品的次品率分別為和.現從中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測乙車間的次品率為.【答案】【分析】設出事件，設出未知數，利用全概率公式列出方程，求出答案.【詳解】設表示“取到的是一件次品”，分別表示取到的產品是由甲、乙、丙車間生產的，顯然是樣本空間的一個劃分，且有，由于，設，由全概率公式得即，解得，推測乙車間的次品率為故答案為：15．在數列中，，且.則數列的通項公式為.【答案】【分析】判斷是以為首項，以公差的等差數列，從而可得答案.【詳解】因為，所以，又因為，所以是以為首項，以公差的等差數列，所以，則，故答案為：.16．已知函數，，若曲線與曲線存在公切線，則實數m的最大值為.【答案】/0.5【分析】設出公切線和兩個曲線相切的切點，，根據導數的幾何意義找到的關系，然后化二元為一元，將用一個量表示，結合導數工具求解.【詳解】由題意可知：，設公切線和相切于，和相切于，因為就沒有垂直于軸的切線，故公切線斜率存在，設公切線斜率為.于是由可得，；由化簡整理可得，.根據可得，，故，設，則，1.當時，顯然；2.當時，則，令，則，故在上遞增，注意到，①當時，，；②當時，，；綜上所述：當時，；當時，；則在上遞增，在上遞減，故，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題的突破口在于，通過導數的幾何意義，找出參數和兩個切點橫坐標的關系，利用消元的思想，消去一個未知量，然后構造函數進行求解.四、解答題17．已知函數.(1)若在處的切線與直線垂直，求實數m的值；(2)若，求函數的極值.【答案】(1)(2)極小值為，無極大值.【分析】（1）求得，得到，根據題意，列出方程，即可求解；（2）由，得到，求得，得出函數的單調區(qū)間，結合極值點與極值的定義，即可求解.【詳解】（1）解：由函數，可得，可得，即在處的切線的斜率為，因為在處的切線與直線垂直，可得，解得.（2）解：若，可得，所以，其中，可得，令，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，極小值為，無極大值.18．環(huán)保部門隨機調查了某市2022年中100天中每天的空氣質量等級和當天到江邊綠道鍛煉的人次，整理數據得到下表（單位天）：鍛煉人次空氣質量等級1（優(yōu)）610252（良）910123（輕度污染）7874（中度污染)321若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．(1)估計該市2022年（365天）“空氣質量好”的天數（結果四舍五入保留整數）；(2)根據所給數據，完成下面的列聯表，并根據列聯表，判斷是否有的把握認為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次人次空氣質量好空氣質量不好附：．0.10.010.0012.7066.63510.828【答案】(1)天(2)列聯表見解析，沒有的把握認為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.【分析】（1）由頻數分布表得到空氣質量等級為或的概率，從而得到“空氣質量好”的概率，即可估計天數；（2）根據題干數據完善列聯表，計算出卡方，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得，該市一天的空氣質量等級為的概率為，等級為的概率為，所以“空氣質量好”的概率為，所以該市年（天）“空氣質量好”的天數為（天）.（2）依題意列聯表如下所示：人次人次空氣質量好空氣質量不好所以，因此沒有的把握認為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．19．已知數列中，，.(1)求證：數列是等比數列；(2)若數列滿足，求數列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明為定值即可；（2）先根據（1）求出數列的通項，從而可得數列的通項，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）因為，所以，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列；（2）由（1）得，則，①，②，由①②得，所以.20．某次考試中，英語成績服從正態(tài)分布，數學成績的頻率分布直方圖如下.(1)如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，則隨機抽取的500名學生中本次考試英語、數學特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設數學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布）(2)如果英語和數學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中英語特別優(yōu)秀的人中隨機抽取3人，設3人中兩科同時特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數學期望．附公式：若～，則，.【答案】(1)英語成績特別優(yōu)秀的有人，數學成績特別優(yōu)秀的有人；(2)分布列見解析，數學期望為.【分析】（1）根據參考數據，求得英語成績在大于135的概率，再乘以500求得人數；根據頻率分布直方圖，求得數學成績特別優(yōu)秀的頻率，再求頻數即可；（2）根據題意求得的取值，結合題意分別求得對應概率，再求數學期望即可.【詳解】（1），，故英語成績特別優(yōu)秀的有人.由頻率分布直方圖知，數學成績特別優(yōu)秀的頻率為故數學成績特別優(yōu)秀的有人.（2）依題意：，，，，其分布列為：

.21．已知數列是正項等比數列，且，，若數列滿足，.(1)求數列和的通項公式；(2)已知，記.若恒成立，求實數t的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設數列的公比為，由，可得，從而可求出公比，進而可得的通項，由題意得，由求出，然后利用累加法可求出的通項公式；（2）由（1）得，然后利用裂項相消求和法可求出，則由，得恒成立，再構造函數，求出其最大值即可.【詳解】（1）設數列的公比為，由，得，由，得，所以，即，解得（舍去），或，所以，因為，所以，由，得，得，當時，，當時，，所以，（2）由（1）得，所以，由恒成立，得，得恒成立，令，則，當時，，當時，，當時，，所以，所以，所以，所以，即實數t的取值范圍為【點睛】關鍵點點睛：此題考查等比數列的基本量計算，考查累加法求通項公式，考查裂項相法求和法，解題的關鍵是將，化為，從而可求出，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.22．已知函數，其中.(1)若，討論函數的單調性；(2)已知，是函數的兩個零點，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）時，，求出定義域，求出導數，對的值分情況討論即可求