2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，B的具體區(qū)間，再按照交集的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】由題意：，，所以；故選：C.2．已知命題，使得，則為（

）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】B【分析】根據(jù)命題的否定的定義求解.【詳解】根據(jù)命題的否定的定義，因?yàn)槊}，使得，所以為，使得，故選:B.3．的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】設(shè)可得，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以時(shí)，的最大值是，故選：A.4．設(shè)“函數(shù)在上單調(diào)遞減”，“，”，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先由命題求出對(duì)應(yīng)的的范圍；再由求出對(duì)應(yīng)的的范圍，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即．因?yàn)闀r(shí)，，所以“，”等價(jià)于，即，因?yàn)榧?，所以是的必要不充分條件．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷命題的必要不充分條件，熟記概念即可，屬于?？碱}型.5．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值為.【詳解】由，得，即，所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.因?yàn)?，所以，即，則，，所以當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，.因此，有最小值，且最小值為.故選：A.6．若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，列不等式組即可得解.【詳解】設(shè)，由題意得：在上恒成立，且由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得：.故選：A7．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．下列命題正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，則是“和有界數(shù)列”B．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列”C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列”D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比【答案】C【分析】根據(jù)給出的“和有界數(shù)列”得概念對(duì)所給選項(xiàng)逐一分析、排除，然后得到所求．【詳解】對(duì)于A，若是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，當(dāng)d>0時(shí)，，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于正無窮，則不是“和有界數(shù)列”，故A不正確．對(duì)于B，若是等差數(shù)列，且公差，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于正無窮，則不是“和有界數(shù)列”，故B不正確．對(duì)于C，若是等比數(shù)列，且公比|q|<1，則，故，則是“和有界數(shù)列”，故C正確．對(duì)于D，若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比或，故D不正確．故選：C．8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為奇函數(shù)，，，則（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012【答案】B【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的對(duì)稱性可得，進(jìn)而，則函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，分別求出的值，結(jié)合函數(shù)的周期即可求解.【詳解】由，令，得，所以.由為奇函數(shù)，得，所以，故①，又②，由①和②得，即，所以③，令，得，得；令，得，得.又④，由③-④得，即，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，故，所以，所以.故選：B.二、多選題9．若函數(shù)在定義域T上的值域?yàn)?，則區(qū)間T可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】結(jié)合的圖象求得.【詳解】由，由或，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，區(qū)間可能為、.故選：BC10．（多選題）下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．不等式與成立的條件是相同的.B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)，的最小值是4D．“且”是“”的充分條件【答案】ABC【分析】在應(yīng)用基本不等式的時(shí)候要注意基本不等式的成立條件.【詳解】不等式成立的條件是；成立的條件是，A錯(cuò)；由于，故函數(shù)無最小值，B錯(cuò)；由于時(shí)無解，故的最小值不為4，C錯(cuò)；當(dāng)且時(shí)，，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；而“”的充要條件是“”，因?yàn)榍彝撇怀銮?，所以D正確.故答案為：ABC11．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且當(dāng)該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大時(shí)，則有（

）A．年產(chǎn)量為9000件 B．年產(chǎn)量為10000件C．年利潤(rùn)最大值為38萬元 D．年利潤(rùn)最大值為38.6萬元【答案】AD【分析】根據(jù)利潤(rùn)銷售收入成本，將利潤(rùn)表示為關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求最值即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)年利潤(rùn)為W.當(dāng)時(shí)，，.令，得（舍負(fù)），且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)W取得最大值38.6；當(dāng)時(shí)，，.令，得（舍負(fù)），所以當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)W取得最大值38.因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為9000件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，且年利潤(rùn)最大值為38.6萬元.故選：AD.12．已知函數(shù)對(duì)任意都有，且．則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．若，則C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)分別取特殊情況驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋羁傻?，解得．令可得，所以，故為偶函?shù)，A正確；選項(xiàng)B：令可得，所以，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:令可得，C正確；選項(xiàng)D：令可得，所以，所以，D正確．故選：ACD．三、填空題13．不等式的解集為.【答案】【分析】移項(xiàng)通分后不等式可轉(zhuǎn)化為高次不等式，利用序軸標(biāo)根法可求原不等式的解.【詳解】原不等式等價(jià)于即，故不等式的解為或.故答案為：.【點(diǎn)睛】解分式不等式，首先觀察分母的符號(hào)是否確定，如果確定，則可把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；如果不確定，則則等價(jià)于，注意分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)分母不為零.14．已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于零，則解在區(qū)間內(nèi)，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，?由題意得，故．故答案為：.15．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是．【答案】【分析】利用基本不等式求出函數(shù)的值域，根據(jù)題意可知，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】對(duì)任意的，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，則，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（其中表示不超過的最大整數(shù)）.【答案】18【分析】結(jié)合題意和和的關(guān)系，得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求得，又由當(dāng)時(shí)，得到，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由，所以，所以，即，可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.又當(dāng)時(shí)，符合上式，所以（）.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，即，所以.令，則，，即，從而.故答案為：.四、解答題17．已知集合，其中為常數(shù)，且．（1）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）對(duì)分類討論：，解出即可判斷出是否滿足題意．時(shí)，中至少有一個(gè)元素，滿足，解得范圍即可得出．（2）對(duì)分類討論：，直接驗(yàn)證是否滿足題意．時(shí)，由中至多有一個(gè)元素，可得，解得范圍即可得出．【詳解】解：（1），由，解得，滿足題意，因此．時(shí)，中至少有一個(gè)元素，，解得，．綜上可得：的取值范圍是．（2），由，解得，滿足題意，因此．時(shí)，中至多有一個(gè)元素，，解得．綜上可得：的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18．?dāng)?shù)列滿足，，(1)若數(shù)列是等比數(shù)列，求及的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）先通過遞推關(guān)系配湊出等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從而得到，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和并證明.【詳解】（1）由可得，，又，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，，于是（2）由（1）知，于是，則，兩式相減：，即，于是，故.19．已知函數(shù)a∈R.（1）若不等式f(x)<0的解集為求a的值；（2）討論關(guān)于x不等式f(x)>0的解集.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1），1為方程的兩個(gè)根，用韋達(dá)定理構(gòu)建方程解出來即可.（2），分、、、和五種情況討論即可【詳解】（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以?為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得：，解得；（2）由得：，所以⑴當(dāng)時(shí)，不等式的解集是⑵當(dāng)時(shí)，不等式的解集是⑶當(dāng)時(shí)①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集是或②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不等式的解集是③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集是或綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是或.【點(diǎn)睛】解含參的一元二次不等式需從以下幾個(gè)方面討論：1.二次系數(shù)的符號(hào)，2.根的個(gè)數(shù)，3.根的大小.20．對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使=成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求的不動(dòng)點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)不相同的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為,2；(2)；(3).【分析】（1）把a(bǔ)=2,b=代入后得到函數(shù)f(x)的解析式，假設(shè)存在不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義，滿足，解方程求出不動(dòng)點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，說明方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，利用二次方程的根的分布求出參數(shù)的范圍；（3）由題意得:對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，利用方程根與判別式的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，根據(jù)一元二次不等式恒成立的處理方法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)a=2,b=時(shí),,∴由f(x)=x得,∴x=或x=2.∴f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為,2.（2）當(dāng)a=2時(shí),,由題意得f(x)=x在內(nèi)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),即方程在內(nèi)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè),∴只須滿足,∴.∴或4<b<6.（3）由題意得:對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.∴∴對(duì)恒成立.∴，∴0<a<2.21．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求a的值；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，并利用結(jié)論解不等式：；（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是R上的增函數(shù)，證明見解析；；（3）存在；實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求出a的值，再利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，通過解一元二次不等式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（2），通過函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合換元法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）是定義在R上的奇函數(shù)，，從而得出，時(shí)，，；（2）是R上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)任意，且，，，，，，，是在上是單調(diào)增函數(shù).，又是定義在R上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，，；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使之滿足題意，由（2）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，n為方程的兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，即方程有兩個(gè)不等的正根，于是有且且，解得：.存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)在上的取值范圍是，并且實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和性質(zhì)應(yīng)用，考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22．已知函數(shù)f（x）＝ex（lnx+a）．(1)若f（x）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：x1+x2＞2．【答案】(1)[﹣1，+∞）(2)證明見解析【分析】(1)求導(dǎo)，由f（x）是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0對(duì)任意x＞0恒成立，即恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得單調(diào)性，求出最小值，得到a的取值范圍.(2)設(shè)出兩個(gè)極值點(diǎn)，即兩個(gè)極值點(diǎn)是的兩個(gè)零點(diǎn)，要證明x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1，只需證g（x2）﹣g（2﹣x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＞0，設(shè)，求導(dǎo)，證h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，從而得到g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x2＞2﹣x1成立，即x1+x2＞2成立．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，若f（x）是增函數(shù)，即f′（x）≥0對(duì)任意x＞0恒成立，故恒成立，設(shè)，則，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，g（x）min＝g（1）＝a+1，由a+1≥0得a≥﹣1，所以a的取值范圍是[﹣1，+∞）．（2）不妨設(shè)0＜x1＜x2，因?yàn)閤1，x2是f（x）