2024屆廣東省佛山市實驗中學高一上數(shù)學期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆廣東省佛山市實驗中學高一上數(shù)學期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．對于每個實數(shù)x，設(shè)取兩個函數(shù)中的較小值.若動直線y=m與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，它們的橫坐標分別為,則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．如圖，四面體ABCD中，CD=4，AB=2，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若EF⊥AB，則EF與CD所成的角的大小是（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A. B.C. D.5．下列說法中，正確的是（）A.若，則B.函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)C.設(shè)點是角終邊上的一點，則D.冪函數(shù)的圖象過點，則6．德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是兩底角為的等腰三角形（另一種是兩底角為的等腰三角形）．例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金△ABC中，．根據(jù)這些信息，可得sin54°＝（）A. B.C. D.7．設(shè)m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則8．過點且平行于直線的直線方程為A. B.C. D.9．已知向量，滿足，，且，則（）A. B.2C. D.10．在線段上任取一點，則此點坐標大于1的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，，則______.12．已知A，B，C為的內(nèi)角.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)，且，，，求證：13．已知圓：,為圓上一點,、、,則的最大值為______.14．若正實數(shù)滿足，則的最大值是________15．在中，已知，則______.16．已知函數(shù)，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點.求證：（1）平面平面；（2）平面平面.18．給定函數(shù)，，，用表示，中的較大者，記為.（1）求函數(shù)的解析式并畫出其圖象；（2）對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．設(shè)，為兩個不共線的向量，若.（1）若與共線，求實數(shù)的值；（2）若為互相垂直的單位向量，且，求實數(shù)的值.20．如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.21．某企業(yè)為努力實現(xiàn)“碳中和”目標，計劃從明年開始，通過替換清潔能源減少碳排放量，每年減少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均為，并預計年后碳排放量恰好減少為今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量為今年碳排放量的，按照計劃至少再過多少年，碳排放量不超過今年碳排放量的？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】利用“”分段法確定正確選項.【題目詳解】，，所以.故選：B2、C【解題分析】如圖，作出函數(shù)的圖象，其中，設(shè)與動直線的交點的橫坐標為，∵圖像關(guān)于對稱∴∵∴∴故選C點睛：本題首先考查新定義問題，首先從新定義理解函數(shù)，為此解方程，確定分界點，從而得函數(shù)的具體表達式，畫出函數(shù)圖象，通過圖象確定三個數(shù)中具有對稱關(guān)系，，因此只要確定的范圍就能得到的范圍.3、A【解題分析】取BC的中點G,連結(jié)FG,EG.先證明出（或其補角）即為EF與CD所成的角.在直角三角形△EFG中，利用正弦的定義即可求出的大小.【題目詳解】取BC的中點G,連結(jié)FG,EG.由三角形中位線定理可得：AB∥EG，CD∥FG.所以（或其補角）即為EF與CD所成的角.因為EF⊥AB,則EF⊥EG.因為CD=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,則△EFG是一個斜邊FG=2,一條直角邊EG=1的直角三角形,所以,因為為銳角，所以，即EF與CD所成的角為30°.故選:A4、C【解題分析】先推導出函數(shù)的周期為，可得出，然后利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的解析式可計算出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，，，所以，函數(shù)的周期為，則.故選：C.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是推導出函數(shù)的周期，考查計算能力，屬于中等題.5、D【解題分析】A選項，舉出反例；B選項，兩函數(shù)定義域不同；C選項，利用三角函數(shù)定義求解；D選項，待定系數(shù)法求出解析式，從而得到答案.【題目詳解】A選項，當時，滿足，而，故A錯誤；B選項，定義域為R，定義域為，兩者不是同一個函數(shù)，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，設(shè)，將代入得：，解得：，所以，D正確.故選：D6、C【解題分析】先求出，再借助倍角公式求出，通過誘導公式求出sin54°.【題目詳解】正五邊形的一個內(nèi)角為，則，，，所以故選：C.7、D【解題分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可判斷A；舉反例判斷B、C；由面面垂直的判定定理可判斷D，進而可得正確選項.詳解】對于A：若，，則或，故選項A不正確；對于B：如圖平面為平面，平面為平面，直線為，直線為，滿足，，，但與相交，故選項B不正確；對于C：如圖在正方體中，平面為平面，平面為平面，直線為，直線為，滿足，，，則，故選項C不正確；對于D：若，，可得或，若，因為，由面面垂直的判定定理可得；若，可過作平面與相交，則交線在平面內(nèi)，且交線與平行，由可得交線與垂直，由面面垂直的判定定理可得，故選項D正確；故選：D.8、A【解題分析】解析：設(shè)與直線平行直線方程為，把點代入可得，所以所求直線的方程為，故選A9、B【解題分析】根據(jù)向量數(shù)量積模的公式求，再代入模的公式，求的值.【題目詳解】因為，所以，則，所以，故故選：B10、B【解題分析】設(shè)“所取點坐標大于1”為事件A，則滿足A的區(qū)間為[1,3]根據(jù)幾何概率的計算公式可得，故選B.點睛：(1)當試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】利用兩角和的正弦公式即可得結(jié)果.【題目詳解】因為，，所以，由，，可得，，所以.故答案為：.12、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先證明，再由不等式證明即可；（3）找出不等式的等價條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，利用不等式性質(zhì)即可得證.【小問1詳解】,為銳角，，，解得，當且僅當時，等號成立，即.【小問2詳解】在中，，,,.【小問3詳解】由（2）知，令，原不等式等價為，在上為增函數(shù)，，，同理可得，，，，故不等式成立，問題得證.【題目點撥】本題第3問的證明需要用到，換元后轉(zhuǎn)換為，再構(gòu)造不等式是證明的關(guān)鍵，本題的難點就在利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出不等式.13、53【解題分析】設(shè),則,從而求出,再根據(jù)的取值范圍,求出式子的最大值.【題目詳解】設(shè),因為為圓上一點,則,且,則(當且僅當時取得最大值),故答案為:53.【題目點撥】本題屬于圓與距離的應用問題,主要考查代數(shù)式的最值求法.解決此類問題一是要將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為相應代數(shù)式;二是要確定代數(shù)式中變量的取值范圍.14、4【解題分析】由基本不等式及正實數(shù)、滿足，可得的最大值.【題目詳解】由基本不等式，可得正實數(shù)、滿足，，可得，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故答案為：4.15、11【解題分析】由.16、【解題分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【題目詳解】因為，則，故.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解題分析】（1）因為是的中點，所以，由平面又可以得到，故平面得證.（2）因為三角形的中位線，所以，從而可以證明平面，同理平面，故而平面平面.解析：（1）∵底面，平面，∴，又矩形中，分別為中點，∴，，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，平面平面.（2）∵矩形中，分別為中點，∴，∵平面，平面，∴平面，∵是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，平面，∴平面平面.18、（1），作圖見解析；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)題意，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解并畫出圖象即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用分類討論思想，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】①當即時，，則，②當即或時，，則，故圖象如下：【小問2詳解】由（1）得，當時，，則在上恒成立等價于在上恒成立.令，，原問題等價于在上的最小值.①當即時，在上單調(diào)遞增，則，故.②當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，由時，，故不合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.19、（1）－；（2）2.【解題分析】(1)若與共線，則存在實數(shù)，使得，根據(jù)，為兩個不共線的向量可列出關(guān)于k和λ的方程組，求解方程組即可；(2)若，則，代入，根據(jù)向量數(shù)量積運算律即可計算.小問1詳解】若與共線，則存在實數(shù)，使得，即，則且，解得；小問2詳解】由題可知，，，若，則，變形可得：，即.20、（1）證明略（2）【解題分析】（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過計算得，而是中點，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個角相等，可得，同樣在直角梯形中可計算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標系，通過空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點的坐標，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，是的中點，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）過點Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是為直線ＰＢ與平面PAE所成的角，且由知，為直線與平面所成的角由題意，知因為所以由所以四邊形是平行四邊形，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系．設(shè)則相關(guān)的各點坐標為：（Ⅰ）易知因為所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）