2022-2023學(xué)年山西省朔州市城關(guān)鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022-2023學(xué)年山西省朔州市城關(guān)鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)a，b為實數(shù)，若復(fù)數(shù)，則（）A．B．a(chǎn)=3，b=1C．D．a(chǎn)=1，b=3參考答案：A考點：復(fù)數(shù)相等的充要條件．分析：先化簡，然后用復(fù)數(shù)相等的條件，列方程組求解．解答：解：由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故選A．點評：本題考查了復(fù)數(shù)相等的概念及有關(guān)運算，考查計算能力．是基礎(chǔ)題．2.若是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②對任意的都有；③在上單調(diào)遞增；④在上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的個數(shù)為

（）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：3.設(shè)m,n是不同的直線，是不同的平面，下列命題中正確的是(

)

A．若m// B．若m//C．若m// D．若m//參考答案：C4.《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．芻甍：底面為矩形的屋脊狀的幾何體（網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈），那么該芻甍的體積為（

）A．4立方丈

B．5立方丈

C．6立方丈

D．12立方丈參考答案：B由已知可將芻甍切割成一個三棱柱和一個四棱錐，三棱柱的體積為3，四棱錐的體積為2，則芻甍的體積為5.故選B.5.在中，，，且，則（

）A．

B．5

C.

D．參考答案：A6.已知、為一個鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中錯誤的是A.

B.C.

D.參考答案：C7.由函數(shù)的圖象與直線及所圍成的一個封閉圖形的面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.若直線y=a與函數(shù)y=||的圖象恰有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．{} B．（0，） C．（，e） D．（，1）∪{}參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的圖象．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】先求得函數(shù)y=||的定義域為（0，+∞），再分段y=||=，從而分別求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．【解答】解：函數(shù)y=||的定義域為（0，+∞），y=||=，當x∈（0，e﹣1）時，y′=，∵x∈（0，e﹣1），∴l(xiāng)nx＜﹣1，∴y′=＜0，∴y=||在（0，e﹣1）上是減函數(shù)；當x∈（e﹣1，+∞）時，y′=﹣，∴當x∈（e﹣1，）時，∴y′＞0，當x∈（，+∞）時，∴y′＜0，∴y=||在（e﹣1，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)；且||=+∞，f（e﹣1）=0，f（）=，||=0，故實數(shù)a的取值范圍為（0，），故選B．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用．9.已知集合，，則A∩B=（

）A．(－2,1)

B．(0,1]

C．[1,5)

D．(1,5)參考答案：C由題意得：，∴故選：C10.設(shè)向量，且，則x=（

）A.1 B.－1C. D.參考答案：D【分析】由題得，解方程即得解.【詳解】由題得，解之得.故選：D【點睛】本題主要考查向量垂直的數(shù)量積表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.由曲線與直線所圍成的平面圖形(圖中的陰影部分)的面積是

參考答案：略12.等差數(shù)列中前項和為，已知，，則

.參考答案：7略13.已知雙曲線x2﹣=1的左右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若△ABF1是以A為直角頂點的等腰三角形，則△AF1F2的面積為

．參考答案：4﹣2

【答案】【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性質(zhì)即可求得4=（2+m），丨AF2丨=m=2（﹣1），丨AF1丨=2，由三角的面積公式，即可求得△AF1F2的面積．【解答】解：雙曲線x2﹣=1焦點在x軸上，a=1，2a=2，設(shè)丨AF2丨=m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2，∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨，∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2，丨BF1丨=4，根據(jù)題意丨BF1丨=丨AF1丨，即4=（2+m），m=2（﹣1），丨AF1丨=2，△AF1F2的面積S=?丨AF2丨?丨AF1丨=×2（﹣1）×2=4﹣2，△AF1F2的面積4﹣2，故答案為：4﹣2．14.已知函數(shù)，若，且，則_________________參考答案：

15.函數(shù)的定義域是

參考答案：16.函數(shù)（a>0，且a≠1）的圖像過一個定點，則這個定點坐標是_________．參考答案：略17.設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，對于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：a≥﹣1【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，對于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，可得﹣a≤1，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，對于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，∴﹣a≤1，∴a≥﹣1，∴實數(shù)a的取值范圍是a≥﹣1．故答案為：a≥﹣1．【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線；(2)若t1＝a2，求當⊥且△ABM的面積為12時a的值．參考答案：解：(1)證明：當t1＝1時，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點共線．(2)當t1＝a2時，＝(4t2,4t2＋2a2)．又∵＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2.∴＝(－a2，a2)．又∵||＝4，點M到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值為±2.19.(本小題滿分12分)已知二次函數(shù)f(x)滿足條件：,

（1）求（2）討論

的解的個數(shù)參考答案：(1)求出f(x)給4分

f（x）=x2－x+1(2)畫出圖像再給4分(3)利用圖像分類討論再給4分

其它解法自已控制。1、當a＜時，方程無解2、當a=或a＞1時，方程有兩個解3、當a=1時方程有三個解當＜a＜1時，方程有四個解。20.已知f（x）=xlnx+mx，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1．（1）求實數(shù)m的值；（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，求λ的范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），由f′（1）=1求得m值；（2）求出g（x），求其導(dǎo)函數(shù)，可得lnx1=ax1，lnx2=ax2，不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，進一步轉(zhuǎn)化為恒成立．令，t∈（0，1），則不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，求導(dǎo)可得滿足條件的λ的范圍．【解答】解：（1）f′（x）=1+lnx+m，由題意知，f′（1）=1，即：m+1=1，解得m=0；（2）∵e1+λ＜x1?x2λ等價于1+λ＜lnx1+λlnx2．g（x）=f（x）﹣x2﹣x+a=xlnx﹣x2﹣x+a，由題意可知x1，x2分別是方程g′（x）=0，即：lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2．∴原式等價于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），∵λ＞0，0＜x1＜x2，∴原式等價于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2．作差得，，即．∴原式等價于，∵0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），則不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又h′（t）=，當λ2≥1時，可得t∈（0，1）時，h′（t）＞0，∴h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意．當λ2＜1時，可得t∈（0，λ2）時，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）時，h′（t）＜0，∴h（t）在t∈（0，λ2）時單調(diào)增，在t∈（λ2，1）時單調(diào)減，又h（1）=0，∴h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去．綜上所述，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，只須λ2≥1，又λ＞0，∴λ≥1．21.（本小題滿分12分）已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函數(shù)2m·n-1的最小正周期為π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求函數(shù)在[，]上的最大值．參考答案：【知識點】向量的坐標運算;三角函數(shù)的化簡求值.C7,F2【答案解析】(1)(2)解析：解：(Ⅰ)2m·n-1=．

……………6分由題意知：，即，解得．…………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函數(shù)y=sinx在[，]上是減函數(shù)，∴…………………10分

=．………………【思路點撥】由向量的坐標運算可以列出關(guān)系式，求出的值，再根據(jù)解析式在定義域內(nèi)求出函數(shù)的最大值.22.（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC1、BC的中點，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點．（1）證明：DF⊥AE；（2）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．

參考答案：考點:二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題:空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用．分析:（1）先證明AB⊥AC，然后以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，則能寫出各點坐標，由與共線可得D（λ，0，1），所以?=0，即DF⊥AE；

（2）通過計算，面DEF的法向量為可寫成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．（1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，則有A（0，0，0），E（0，1，），F(xiàn)（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），設(shè)D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），則

D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴?==0，所以