新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第26講解三角形教師版

第26講解三角形一．選擇題（共8小題）1．（2021春?奎屯市校級期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為A．8 B．9 C．10 D．7【解答】解：由題意得，即，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：．2．（2021?武昌區(qū)模擬）中，，是的中點，若，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：．3．（2020?新課標Ⅲ）在中，，，，則A． B． C． D．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故選：．4．（2021秋?下城區(qū)校級月考）如圖，地面四個中繼站、、、，已知，，，，則、兩個中繼站的距離是A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理，所以．故選：．5．（2021?平陽縣模擬）在中，，點在線段上，且滿足，則的最小值為A．0 B． C． D．【解答】解：如圖：令，且．所以，．，易知．可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，．又因為在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知．故選：．6．（2021秋?河南校級月考）如圖，已知中，點在線段上，點在線段上且滿足，若，，，則的值為A． B．2 C． D．【解答】解：，，，．，，化為．．故選：．7．（2021春?昆明期末）已知中，，是的中點，，則面積的最大值為A． B．3 C． D．6【解答】解：設(shè)，，由于在和中應(yīng)用余弦定理可得：，整理可得：，結(jié)合勾股定理可得的面積：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．則面積的最大值為6．故選：．8．在中，若，，且，，則與的值分別為A．8，10 B．10，10 C．8，12 D．12，8【解答】解：，由正弦定理可得：，，，又由余弦定理：，，得，將，代入，可得，整理，解得，，，舍去，，．故選：．二．填空題（共11小題）9．（2021春?濟寧期末）在中，，，，點在線段上，若，則的面積是【解答】解：過作于，設(shè)，，，，又，可得，即有，可得的面積為．故答案為：．10．（2021?浙江）在中，，，是的中點，，則；．【解答】解：在中：，，，解得：或（舍去）．點是中點，，，在中：，；在中：．故答案為：；．11．（2021秋?杭州期中）如圖，四邊形中，、分別是以和為底的等腰三角形，其中，，，則，．【解答】解：、分別是以和為底的等腰三角形，，，所以，設(shè)，其中，則；在中，利用余弦定理得：，在中，利用余弦定理得：；由，得，解得，即，所以；所以；在中，，所以．故答案為：，．12．（2021春?浙江月考）如圖，在平面凸四邊形中，，為對角線的中點，若．則3，．【解答】解：設(shè)，則，因為，為的中點，所以，，，又，所以，即，代入數(shù)據(jù)有：，解得，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，故答案為：3，．13．（2021?浙江模擬）已知中，邊上的高為2，為上一動點，滿足，則的最小值是8．【解答】解：因為，，，三點共線，所以又，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值8．故答案為：8．14．（2021?浙江模擬）在中，，為的中點，，則1，面積的最大值為．【解答】解：設(shè)，，，則，，因為，故，在中，由正弦定理，所以，又，故，在中，由余弦定理可得，因為，故，因為，故，則，則，故當(dāng)，即時，．故答案為：1，．15．（2021秋?杭州期中）等腰三角形中，，為的中點，，則面積的最大值為．【解答】解：等腰三角形中，，為的中點，，則：．則：，故最大值為：．故答案為：．16．（2021?3月份模擬）在中，角，，所對的邊長分別為，，，為邊上的一點，若，，，，則4．【解答】解：由余弦定理知：，所以是等腰三角形，即，設(shè)，則，，在中，由余弦定理可知：，即①，因為，所以，所以有，因此有，在中，由正弦弦定理可知：，可得，可得②，把②代入①得，，解得，即．故答案為：417．（2021?嵊州市二模）在中，是邊的中點，若，，，則，．【解答】解：是邊的中點，若，，，設(shè)，在中，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，，可得：，可得，可得：．，，在，中，由余弦定理可得：，，整理可得：，解得，或（舍去）．故答案為：，3．18．（2021?東陽市模擬）在銳角中，，，點在線段上，且，，則的面積為．【解答】解：如圖，由題意可知，解得，，，．故答案為：．19．（2021秋?嵊州市月考）在中，是邊上一點，滿足，若，，則的面積的最大值是，此時．【解答】解：因為，，所以，因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，此時，故答案為：，1．三．解答題（共22小題）20．（2021春?大興區(qū)期末）如圖，在中，，，，點在線段上，且．（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）求的值．【解答】解：因為，，，所以，，又點在線段上，且，所以，中，由余弦定理可得，，，所以；因為，中，由正弦定理可得，，所以21．（2021春?臺州期末）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）記邊上的高為，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得，，即，即，．（Ⅱ），，，由三角形的面積公式可得，即，①，由余弦定理可得，②，①②兩式相除，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最大值為．22．（2021?湛江校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，求的最大值．【解答】解：（1）在中，，，；（2）由余弦定理得：，把，代入得：，由，得到，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為6．23．已知函數(shù)．（1）在中，角、、所對的邊分別為、、，求函數(shù)（C）的最大值，并求出此時的值；（2）若，且，求的值．【解答】解：函數(shù)．（1）在中，角、、所對的邊分別為、、，函數(shù)（C）．此時，解得．（2），可得．即：，，解得．，，即．24．（2021?如皋市二模）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知向量，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求邊上的高的大?。窘獯稹拷猓海?）中，向量，，且，，由正弦定理得，，，即；又，，；又，；（2）若，，；又，；解得，邊上的高為．25．（2012?湛江二模）在中，角，，所對的邊分別為，，，面積．（1）求角的大小；（2）求的最大值，及取得最大值時角的值．【解答】解：（1）由及題設(shè)條件，得，即，又，．，．（2）由（1）得，，當(dāng)，即時，取得最大值．26．（2021秋?赤峰月考）銳角的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）求的取值范圍．【解答】解：（1）因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因為，可得．（2）由（1）可得，由銳角中，有，可得，可得，則，，即，．27．（2021秋?遼寧期中）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．666666666666【解答】解：（1）由題設(shè)及正弦定理得．因為，所以．由，可得，故．因為，故，因此．（2）為銳角三角形，且邊，，由正弦定理，可得，，，由，可得，，可得，，，，可得，面積的取值范圍是．28．（2021?長治模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，邊上的中線，求的面積．【解答】解：（1），由正弦定理可得：，，，，，可得，，可得．（2）如圖所示，取的中點，連接，則．設(shè)，則，．可得，，在中，由余弦定理可得：，化為：，解得．．29．（2021春?眉山期末）如圖，某市擬在長為的道路的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)，，的圖象；賽道的后一部分為折線段，若的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．且．（1）求角和，兩點間的距離的值；（2）求折線段賽道的長的最大值．【解答】解（1）因為，，所以，由正弦定理可得，因為，所以，又因為，所以，又，所以，即；因為，代入函數(shù)中可得，即，而，所以，（2）法由（1）可得，，在中，，整理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為．法因為，由三角恒等變形可得，所以當(dāng)，即時最大為．30．（2021春?蕪湖期中）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍．【解答】解：（1），．即，，整理得，．（2），，，即，所以周長的范圍為．31．（2021?寧波二模）在中，角、、所對的邊分別是、、，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的周長為10，求面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ），，由正弦定理知，，，即，，．（Ⅱ）由余弦定理知，①，的周長為10，②，由①②得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，解得或，，，不可能成立，，的面積．故面積的最大值為．32．（2021?淮安模擬）在中，角，，所對的邊分別是，，，已知．（1）求角的大?。唬?）在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答．若，，點是邊上的一點，且______．求線段的長．①是的高；②是的中線；③是的角平分線．【解答】解：（1）在中，，，分別為，，所對的邊，且，可得，由余弦定理可得．，．（2）選①是的高，，，，，，的面積，．選②是的中線，是的中線，，，，，，，．選③是的角平分線，，，，，，．33．（2021?鐘祥市一模）如圖，在中，，，點在線段上．（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值．【解答】解：（1）中，，．，．中，由正弦定理可得，；（2）設(shè)，則，，的面積為，，，由正弦定理可得，．，，，．34．（2021秋?福州期中）如圖，在中，，，點在線段上．（Ⅰ）若，求的長；（Ⅱ）若，的面積為，求的值．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ），，，，，，，．（2分），．（3分），，在中，由正弦定理得，，，．（6分）（Ⅱ）設(shè)，則，，的面積為，，，．（8分），由正弦定理可得，．，，，．（12分）35．（2021?諸暨市模擬）如圖，已知平面四邊形中，．（1）若，，求的面積；（2）若，，，求的最大值．【解答】解：（1）由已知利用正弦定理可得，，，（2），中，由余弦定理得：，，，，時，的最大值是2．36．（2021?平湖市模擬）已知中，，，為邊上的點．（Ⅰ）若為的中點，且，求線段的長；（Ⅱ）若平分，求線段長的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）中，，，為邊上的點，由余弦定理得，解得，所以，在中，，所以．（Ⅱ）解法1：設(shè)，設(shè)，因為，所以，所以，即，因為，所以，即的取值范圍．解法為的平分線，且，，，設(shè)，，則，由余弦定理得，，又由于，所以，，，在中，，即，，，即．解法3（平面向量解法）（Ⅰ）因為為的中點，所以，所以．（Ⅱ）為的平分線，且，，，是得三等分點，，，顯然，所以．37．（2021秋?河南月考）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角，，的對邊分別為，，，若（A），．求的最小值．【解答】解：（1），函數(shù)的最小正周期，由，得，，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．（2）（A），求得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．．38．（2021秋?煙臺期末）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間．山東中學(xué)聯(lián)盟（2）在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若（A），的角平分線交于，且的面積．【解答】（本題滿分為12分）解：（1），分令，，解得：，，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，分（2）（A），即：，，，，，，，分在中，，，，，即：，，，，分，為正三角形，，，．分39．（2021秋?興慶區(qū)校級月考）已知函數(shù)，在定義域上的最大值為3．（1）求的值及函數(shù)的周期與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且（A），求的取值范圍．【解答】解：（1），的最大值為3，，，，其中，，周期為．令，，，解得，，，，，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，．（2）（A），且為銳角，，，，又，為銳角，，解得，，，，．40．（2021?上海）