2021屆昌都市第一高級(jí)中學(xué)高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試卷及答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=田3--4》+1《0},3=14%—320},則AD8=（B）

2.復(fù)數(shù)女」的共輾復(fù)數(shù)是（C）

1-2/

33

A.--iB.-iC.-iD.i

55

3.已知一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為半徑r=2的同樣的圓，則這個(gè)幾何體的體

積、表面積分別為（D）

A.—16B.8"16乃C.167r----D,---167r

3'''33'

4.已知等差數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=—4,4+。6=16,則它的前10項(xiàng)和山。等于(C)

A138B.25C.23D.21

5.若雙曲線(xiàn)「一5=1（〃＞0力＞0）的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,-4）,則此雙曲線(xiàn)的離心率為

ab

(A)

五

A-

33

6.已知函數(shù)/（x）=〉］則/伽8.〃）的值為（A)

AlB.2C.3D.9

7.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松

日自半松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，右圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入

的分別為5,2,則輸出的〃等于（A）

A.4B.5C.6D.7

8.設(shè)公比為4。＞0）的等比數(shù)列{/}的前"項(xiàng)和為S?，若S2=3%+2,

S4=34+2,則為等于（D）

12

A.—B.—C.—2D.—1

23

9.函數(shù)五的=巖的圖象大致為（A）

10.設(shè)正方體ABOAiBiCq的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)口到平面AiBD的距離是(D)

A.叵B.叵C.巫D.巫

2233

答案D

解析如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,?？谒谥本€(xiàn)分別為x軸,

y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),01(0,0,2),4(2,0,2),5(2,2,0),

加=(2,0,0),加=(2,2,0),法|=(2,0,2),

設(shè)平面的一個(gè)法向量”=(x,y,z),

n-DAi—0,

則，

.n-DB=0,

(2x+2z=0,

|2x+2y=0,令z=1,得"=(—1,1,1)-

I萬(wàn)篇“I22小

ADi到平面AiBO的距離d=

l?l~y[3~3-

II.拋物線(xiàn)V=2pMp>o)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足

120°,過(guò)A3的中點(diǎn)M作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)MN,垂足為N,則以絲的最大值

AB

為(C)

答案C

解析過(guò)A,8分別作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為Ai,Bi,“二：f

由題意知|MN|=g(|A4|+|BBi|)=/|AQ+山F|),

0\、F\

在△AFB中，lAB/fAW+iBfV-ZIAFIIBFbcos120。

=\AF\1+\BF]1+\AF]\BF],

2!|4-2+|8r]2+2依內(nèi)由于

?=『|Af]2+|BQ2+|AF||8F|

|4F|2+|B尸|2+隰臼8只

巖1+曲+3+]小(1+上得，

\\BFV\AFVJ4\Z十J

當(dāng)且僅當(dāng)|4月=逐回時(shí)取等號(hào)，.?.舞的最大值為#.

\r\D\D

12.若x=-2是函數(shù)/(6=(--ax-JeXT的極值點(diǎn)，則/(x)的極小值為()

AlB.-\C.-2e~3D.5e~3

答案B

解析函數(shù)八月二年+依一l)e「i,

則f(x)=(2x+a)e*r+(/+初一]把廠?

=/1[/+3+2口+4—1].

由x=-2是函數(shù)y(x)的極值點(diǎn)，得

f(-2)=b3.(4-2〃-4+〃-1)=(一。一1)-3=0,

所以a=11.

所以./OOnCr2—x—l)e*r,/'(x)=e*-i-(x2+x—2).

由e*r>0恒成立，得當(dāng)尤=-2或x=l時(shí)，/(x)=O,且當(dāng)％<—2時(shí)，/(尤)>0；

當(dāng)一2cxe1時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>0.

所以x=i是函數(shù)式此的極小值點(diǎn).

所以函數(shù)./U)的極小值為yu)=-1.

故選B.

第n卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若(3/—美)

的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-240

14.袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)

球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率為——

21

15.函數(shù)/(x)=2A的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為-1；

X

16.若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移TT二個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(本小題滿(mǎn)分12分)已知沅=(2cosx+2j5sinx,l)歷=(cosx,-y),且玩_L元.

(1)將y表示為x的函數(shù)/(x)，并求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵已知名"c分別為(的三個(gè)內(nèi)角A,8,C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，若/(4)=3,且

a=2,Z?+c=4,求A4BC的面積.

18.(本小題滿(mǎn)分12分)《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說(shuō)改編的電影，在2019年春節(jié)檔上

影，該片上影標(biāo)志著中國(guó)電影科幻元年的到來(lái)；為了振救地球，延續(xù)百代子孫生存的希望，無(wú)

數(shù)的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進(jìn).某網(wǎng)絡(luò)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了大量觀眾的評(píng)

分，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

評(píng)分12345678910

頻率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36

⑴求觀眾評(píng)分的平均數(shù)？

⑵視頻率為概率，若在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取1人，他的評(píng)分恰好是10分的概

率是多少？

⑶視頻率為概率，在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取4人，用&表示評(píng)分為1。分的人數(shù)

解：⑴設(shè)觀眾評(píng)分的平均數(shù)為三，則

T=1x0.03+2x0.02+3x0.02+4x().03+5x0.()4+6x0.05+7x().08+8x0.15+9x0.21

+10x0.36=8(分)；..........................3分

⑵①設(shè)A表示事件：“1位觀眾評(píng)分不小于8分”，3表示事件：“1位觀眾評(píng)分是10分”，

=0.15+0.21+0.364,

.................................6分

②由題知&服從8(4,；),===C：(g)4(k=0,l,2,3,4)

分布列:

01234

1]_3J_1

P

16484T6

.￡（^）=4xl=2..........................12分

,求目的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，CO,AB分別是圓柱的上、下底面圓的直徑,

ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，石是底面圓周上不同于A3兩點(diǎn)的一點(diǎn)

AE=1.

（1）求證：BE1平面QAE；

（2）求二面角C-DB-E的余弦值.

221

20.（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓C:0+當(dāng)=1（〃＞。＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,揚(yáng)，離心率為L(zhǎng)

ab'2

左右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,.f2（c,0）

（1）求橢圓C的方程；

（2）P,N是C上異于"的兩點(diǎn)，若直線(xiàn)PM與直線(xiàn)PN的斜率之積為-3,證

4

明：兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).

解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,有），所以b=g；又因?yàn)閑=,，所以￡=,；又/=/__/,

2a2

22

解得。=2/=g,所以橢圓。的方程為二+”=1.……4分

43

（2）設(shè)P,M,N三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（打,力＞）,（如，刈），（打，加），

設(shè)直線(xiàn)PM,PN斜率分別為占，&，則直線(xiàn)PM方程為y—〉p=K（x—Xp）,

由方程組T3-消去y，得

y-yp^k^x-xp）

222

（3+4%，）--8k]（k[Xp-yp）x+4ktxp-Sktxpyp+4yp-12=0,

由根與系數(shù)關(guān)系可得XM+辦=妁妁丐也

3+4A]

2

8Al（占馬-yP）_4k^Xp-Sk}yP-3xP

3+4短A3+4短

同理可得x+x=的(皿虧")3

NP又A1?后=—，

3+4k2

則“普導(dǎo)?=—他一如=-xM,從而飛+“0.

即M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).........................12分

21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)/(x)=LE+lnx(其中a>0,ea2.7).

ax

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間L,+w)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.選修I：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合，且兩

坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，圓C的參數(shù)方程為《,(