中考數(shù)學復習之考點題型全歸納與分層精練（全國通用）：專題01 有理數(shù)(解析版)

專題01有理數(shù)【專題目錄】技巧1絕對值的八種常見應用技巧2有理數(shù)中的六種易錯類型【題型】一、有理數(shù)概念理解【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)【題型】四、求一個數(shù)的絕對值【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算【題型】六、科學記數(shù)法【考綱要求】1、了解有理數(shù)的概念，知道有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應．2、借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)與絕對值．【考點總結(jié)】一、有理數(shù)有理數(shù)的相關(guān)概念正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)意義：表示具有相反意義的量負數(shù)在正數(shù)前面加上“－”號的數(shù)叫做負數(shù)數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)（1）若a,b互為相反數(shù)，則a+b=0;（2）0的相反數(shù)是0;（3）在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應的點到原點的距離相等.絕對值數(shù)軸上點a與原點的距離叫做a的絕對值，記作絕對值具有非負性：倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)（1）ab=1?a,b互為倒數(shù);（2）0沒有倒數(shù);（3）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.科學計數(shù)法把一個數(shù)寫成a×10n（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)）的形式【注意】數(shù)軸1、數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（重點）2、任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。3、數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù).【考點總結(jié)】二、有理數(shù)四則運算有理數(shù)的運算加法同號兩數(shù)相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。異號兩數(shù)相加，取絕對儲較大的加數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減失較小數(shù)的絕對值。加法運算律：①交換律a+b=b+a；②結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)。減法減去一個效等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+(-b)。乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘幾個非零實數(shù)相乘。積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負n個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0.乘法運算律：①交換律ab=ba；②結(jié)合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。除法兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0乘方求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做冪。如：讀作a的n次方（冪），在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。運算順序分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三二一、（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）【注意】1、有理數(shù)的加減混合運算規(guī)則：運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進行運算步驟：（1）減法化加法；（2）省略括號和加號；（3）運用加法運算律使計算簡便；（4）運用有理數(shù)加法法則進行計算。注：運用加法運算律時，可按如下幾點進行：（1）同號的先結(jié)合；（2）同分母的分數(shù)或者比較容易通分的分數(shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分數(shù)一般化為假分數(shù)或者分為整數(shù)和分數(shù)兩部分，再分別相加。2、多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)。確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。（2）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)是0.注：帶分數(shù)與分數(shù)相乘時，通常把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再與分數(shù)相乘?！炯记蓺w納】技巧1：絕對值的六種常見應用【類型】一、已知一個數(shù)求這個數(shù)的絕對值1．化簡：(1)|－(＋7)|；(2)－|－8|；【類型】二、已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)2.若|a|＝2，則a＝________.3．若|x|＝|y|，且x＝－3，則y＝________.【類型】三、絕對值在求字母的取值范圍中的應用4．若|x|＝－x，則x的取值范圍是________．5．若|x－2|＝2－x，則x的取值范圍是________．【類型】四、絕對值在比較大小中的應用6．把－(－1)，－eq\f(2,3)，－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))，0，用“>”連接正確的是()A．0>－(－1)>－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))>－eq\f(2,3)B．0>－(－1)>－eq\f(2,3)>－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))C．－(－1)>0>－eq\f(2,3)>－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))D．－(－1)>0>－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))>－eq\f(2,3)【類型】五、絕對值的非負性在求字母值中的運用7．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,3)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,4)))＝0，求a＋b－c的值．【類型】六、絕對值的非負性在求最值中的應用8．根據(jù)|a|≥0這條性質(zhì)，解答下列問題：(1)當a＝________時，|a－4|有最小值，此時最小值為________；參考答案1．解：(1)原式＝7.(2)原式＝－8.2．±23.±34.x≤05.x≤26.C7．解：由題意知a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,4)，所以a＋b－c＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(7,12).8．解：(1)4；0(2)因為a，b互為相反數(shù)，所以b＝－a.又因為a＜0，b＞0.所以|a－b|＋2a＋|b|＝|2a|＋2a＋|b|＝－2a＋2a＋b＝b.技巧2：有理數(shù)中的六種易錯類型【類型】一、對有理數(shù)有關(guān)概念理解不清造成錯誤1．下列說法正確的是()A．最小的正整數(shù)是0B．－a是負數(shù)C．符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)D．－a的相反數(shù)是a【類型】二、誤認為|a|＝a，忽略對字母a分情況討論2．如果一個數(shù)的絕對值等于它本身，那么這個數(shù)一定是()A．負數(shù)B．負數(shù)或零C．正數(shù)或零 D．正數(shù)【類型】三、對括號使用不當導致錯誤3．計算：2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)＋\f(1,4)－\f(1,2))).【類型】四、忽略或不清楚運算順序4．計算：－5－(－5)×eq\f(1,10)÷eq\f(1,10)×(－5)．【類型】五、乘法運算中確定符號與加法運算中的符號規(guī)律相混淆5．計算：－36×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)－\f(5,6)－1)).【類型】六、除法沒有分配律6．計算：24÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,8)－\f(1,6))).參考答案1．D2.C3．解：原式＝2＋eq\f(1,5)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2eq\f(9,20).4．解：原式＝－5－(－5)×eq\f(1,10)×10×(－5)＝－30.5．解：原式＝－36×eq\f(7,12)－(－36)×eq\f(5,6)－(－36)×1＝－21＋30＋36＝45.6．解：原式＝24÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,24)－\f(3,24)－\f(4,24)))＝24÷eq\f(1,24)＝576.方法指導：解本題時往往會出現(xiàn)將乘法分配律運用到除法運算中的錯誤，從而出現(xiàn)“原式＝24÷eq\f(1,3)－24÷eq\f(1,8)－24÷eq\f(1,6)＝72－192－144＝－264”這樣的錯誤．【題型講解】【題型】一、有理數(shù)概念理解例1、在下列實數(shù)：、、、、、﹣0.0010001中，有理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【提示】由題意根據(jù)有理數(shù)的定義：整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，進行提示即可判斷．【詳解】解：∵＝3，＝4，∴，，，﹣0.0010001是有理數(shù)，其它的是無理數(shù)．有理數(shù)有4個.故選：D．【題型】二、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)例2、如圖，數(shù)軸上兩點所對應的實數(shù)分別為，則的結(jié)果可能是（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【提示】根據(jù)數(shù)軸確定和的范圍，再根據(jù)有理數(shù)的加減法即可做出選擇．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得＜＜1，＜＜，則1＜＜3。故選：C【點睛】本題考查的知識點為數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)數(shù)軸明確和的范圍，然后再確定的范圍即可．【題型】三、求一個數(shù)的相反數(shù)例3、下列式子中，正確的是（）A．|﹣5|=﹣5B．﹣|﹣5|=5C．﹣（﹣5）=﹣5D．﹣（﹣5）=5【答案】D【解析】試題解析：A.|﹣5|=5，故原選項錯誤；B.﹣|﹣5|=-5，故原選項錯誤；C.﹣（﹣5）=5，故原選項錯誤；D.﹣（﹣5）=5，故正確.故選D.【題型】四、求一個數(shù)的絕對值例4、的絕對值是（）A． B．2020 C． D．【答案】B【提示】根據(jù)絕對值的定義直接解答．【詳解】解：根據(jù)絕對值的概念可知：|?2020|＝2020，故選：B．【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運算例5、計算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）8；（2）-44；（3）；（4）【提示】（1）根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、除法法則和減法法則計算即可；（3）根據(jù)乘法分配律和各個運算法則計算即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的運算順序和各個運算法則計算即可．【詳解】解：（1）====8（2）====-44（3）===（4）===【題型】六、科學記數(shù)法例6、2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點于距離地球36000公里的地球同步軌道．將36000用科學記數(shù)法表示應為（）A． B． C． D．【答案】C【提示】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當原數(shù)絕對值大于1時，n是正數(shù)；當原數(shù)絕對值小于1時，n是負數(shù)．【詳解】解：36000=，故選：C．有理數(shù)（達標訓練）一、單選題1．（2022·浙江金華·一模）的相反數(shù)是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù)，直接求解即可．【詳解】解：由相反數(shù)的定義可知的相反數(shù)是，故選：A．【點睛】本題考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧撫順·模擬預測）的絕對值等于（

）A． B． C．2 D．－2【答案】B【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：-的絕對值是．故選：B．【點睛】本題考查了絕對值，掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海普陀·二模）下列各數(shù)在數(shù)軸上所對應的點與原點的距離最遠的是A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)到原點距離最遠的點就是絕對值最大的數(shù)，對每個數(shù)作出判斷，即可求出答案．【詳解】2到原點的距離是2個長度單位，1到原點的距離是1個長度單位，-1.5到原點的距離是1.5個長度單位，-3到原點的距離是3個長度單位，即到原點的距離最遠的點是﹣3．故選：D．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，絕對值就是一個數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離，求出每一個數(shù)的絕對值就是到原點的距離．4．（2022·重慶銅梁·一模）在下列四個選項中，比-1小的數(shù)是（

）A．1 B．-2 C．0 D．2【答案】B【分析】根據(jù)“正數(shù)負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小”即可得出答案．【詳解】解：，，，，其中比小的數(shù)是．故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的比較大小，掌握兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南·三模）下列各數(shù)中絕對值最大的數(shù)是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】先求出各數(shù)的絕對值，再比較大小即可解答．【詳解】解：，，，，∵，∴絕對值最大的數(shù)是-4，故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較以及絕對值的概念，解題的關(guān)鍵是求出各數(shù)的絕對值．6．（2023·福建莆田·二模）中國工程院院士、世界雜交水稻之父袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應用與推廣，發(fā)明“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，為中國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給作出杰出貢獻．2021年，全國糧食再獲豐收，全年糧食總產(chǎn)量達到13657億斤，糧食產(chǎn)量連續(xù)7年穩(wěn)定在1.3萬億斤以上．將13657用科學記數(shù)法表示應為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，形如為正整數(shù)，據(jù)此解答．【詳解】解：13657用科學計數(shù)法表示應為故選：D．【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·河南·鄭州外國語中學模擬預測）計算：______．【答案】1【分析】先計算出絕對值符號里面的結(jié)果，再求得此題結(jié)果即可．【詳解】解：，故答案為：1．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對值，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加法法則．8．（2021·福建漳州·模擬預測）如圖，數(shù)軸上A，B兩點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)（一格表示單位長度為1），則點C表示的數(shù)是________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)的性質(zhì)：即到原點的距離相等，再由兩點之間的距離確定出A表示的數(shù)，進而可得答案．【詳解】解：∵數(shù)軸上A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，∴A，B兩點到原點的距離相等，∵點A與點B之間的距離為6個單位長度，∴點A到原點的距離為6÷2＝3，∵點A在原點的左側(cè)，∴點A表示的數(shù)是-3，∴點C表示的數(shù)是-1故答案為：-1．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離的求法，以及相反數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．計算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算即可求解．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．有理數(shù)（提升測評）一、單選題1．（2022·河北邯鄲·三模）等號左右兩邊一定相等的一組是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用去括號法則與正整數(shù)冪的概念判斷即可．【詳解】解：對于A，，A錯誤，不符合題意；對于B，，B錯誤，不符合題意；對于C，，C正確，符合題意；對于D，，D錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了去括號法則，以及正整數(shù)冪的概念，熟練掌握相關(guān)定義與運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北保定·二模）嘉琪在《趣味數(shù)學》中學習到遠古時期的一種計數(shù)方法，即“結(jié)繩計數(shù)”，類似現(xiàn)在我們熟悉的“進位制”．如圖所示，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進一，例如，圖1中表示的數(shù)為31，可知圖2中表示的數(shù)為（

）A．42 B．46 C．86 D．321【答案】C【分析】由題可知，可知圖2中的五進制數(shù)為321，化為十進制數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：圖2中的五進制數(shù)為321，化為十進制數(shù)為：321=3×52+2×51+1×50=86．故選：C．【點睛】本題主要考查了進位制，解題的關(guān)鍵是會將五進制轉(zhuǎn)化成十進制．3．（2022·安徽·三模）下列各數(shù)中，化簡結(jié)果最小的是（

）A．－5 B． C． D．【答案】A【分析】分別計算絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，乘方運算，再比較各數(shù)的大小，從而可得答案．【詳解】解：而所以最小的數(shù)是故選：A【點睛】本題考查的是絕對值的含義，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，有理數(shù)的乘方運算，有理數(shù)的大小比較，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·貴州貴陽·三模）如圖，在不完整的數(shù)軸上，點A，B分別表示數(shù)a，b，且a與b互為相反數(shù)，若AB＝8，則點A表示的數(shù)為（

）A．－4 B．0 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)AB＝8，且點A，B分別表示數(shù)a，b互為相反數(shù)，可知A，B兩點到原點的距離相等，進而可求出B點表示的數(shù)，進而可求出A點表示的數(shù)．【詳解】解：因為AB＝8，且點A，B分別表示數(shù)a，b互為相反數(shù)，所以A，B兩點到原點的距離相等，則B點表示的數(shù)為：8÷2=4，則A點表示的數(shù)為：﹣4，故選：A．【點睛】本題考查相反數(shù)的幾何意義，數(shù)軸上兩點之間的距離，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·河北唐山·三模）如圖1，點，，是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為，b，4，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合圖1和圖2求出1個單位長度=0.6cm，再求出求出AB之間在數(shù)軸上的距離，即可求解；【詳解】解：由圖1可得AC=4-（-5）=9，由圖2可得AC=5.4cm，∴數(shù)軸上的一個長度單位對應刻度尺上的長度為=5.4÷9=0.6（cm），∵AB=1.8cm，∴AB=1.8÷0.6＝3（單位長度），∴在數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b=-5+3=-2；故選：C【點睛】本題考查了數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵．6．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中三模）下列算式中，運算結(jié)果為負數(shù)的是（

）A． B．﹣1﹣（﹣5） C．﹣（﹣） D．﹣2×0【答案】A【分析】先逐一計算，后作出判斷即可．【詳解】解：∵=-1，是負數(shù)，∴A符合題意；∵﹣1﹣（﹣5）=4，是正數(shù)，∴B不符合題意；∵﹣（﹣）=，是正數(shù)，∴C不符合題意；∵﹣2×0=0，既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，∴D不符合題意；故選:A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，負數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·浙江寧波·一模）定義：表示不大于x的最大整數(shù)，表示不小于x的最小整數(shù)，例如：，，，．則___________．【答案】0【分析】根據(jù)題意，[1.7]中不大于1.7的最大整數(shù)為1，（-1.7）中不小于-1.7的最小整數(shù)為-1，則可解答【詳解】解：依題意：[1.7]=1