2021屆高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺模擬卷（二十）

考前30天沖刺高考模擬考試卷（20）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集。=/?,集合A={x|x，I},8={x|/nx.0},則（）

A.AUB=BB.Ap|B=AC,也A）p|B=0D.快U〃A

2.已知復(fù)數(shù)2=—二，則其共軌復(fù)數(shù)三的虛部為（）

i+2

2222

A.-B.——C.—iD.——i

5555

3.某校有500人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布M105,

<72）（<7>0）,試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（不低于120分）的人數(shù)占總?cè)?/p>

數(shù)的;，則此次數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為（）

A.75B.100C.150D.200

4.雙曲線4/+62=必的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)%的值是（）

A.16B.—C.-16D.---

1616

5.2021年江蘇省實(shí)行“3+1+2”新高考模式，學(xué)生選科時(shí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，

物理、歷史兩科中選擇1科，政治、地理、化學(xué)、生物四科中選擇2科，則學(xué)生不同的選科

方案共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

6.己知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,若°=百，b2+c2-bc=3,

則A4BC面積的取值范圍是（）

A.吟,哈B.吟,哈C?哈哈D.亭哈

7.已知A,B,C,P為球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，NAfiC=60。，AC=2,球O的表面積

為早，則三棱錐P-MC的體積的最大值為（）

A.2石B.拽c.速D.逋

339

x,x<\

8.已知“，beR,函數(shù)f（x）=[l1,八2/若函數(shù)、=/"）一匕恰好有3個(gè)

—X—（a+1）4+6LV,X..1

132

零點(diǎn)，貝IJ（)

A.a<\,b<\B.avl,b>\C.a>lfb<\D.a>\,b>\

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.若ab>0,則—I—..2

ab

B.若一掇k1,則業(yè)（—2）,,g

,22

C.若a>6>0,貝!j\-—>a+b

ab

D.函數(shù)/。）=2-*+2?>0）有最小值2

10.2020年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國(guó)各地房?jī)r(jià)“跳水”嚴(yán)重，但某地二手

房交易卻''逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)2019年12月至2020年12月間，當(dāng)月在售二手

房均價(jià)（單位：萬(wàn)元/平方米）的散點(diǎn)圖.（圖中月份代碼1~13分別對(duì)應(yīng)2019年12月~2020

年12月）

1.00?,

0.98?,

0.96.

0.94?

O1234567?910II1213月份代碼、

根據(jù)散點(diǎn)圖選擇y=。+6&和y=c+H以?xún)蓚€(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到的兩個(gè)回

歸方程分別為3=0.9369+0.02856和9=0.9554+0.03063-,并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值:

y=0.9369+0.0285>/xy=0.9554+0.0306/nx

R20.9230.973

注：元是樣本數(shù)據(jù)中x的平均數(shù)，歹是樣本數(shù)據(jù)中y的平均數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)月在售二手房均價(jià)y與月份代碼X呈負(fù)相關(guān)關(guān)系

B.由？=0.9369+0.02854預(yù)測(cè)2021年3月在售二手房均價(jià)約為1.0509萬(wàn)元/平方米

C.曲線5=0.9369+0.0285五與夕=0.9554+0.0306/心都經(jīng)過(guò)點(diǎn)仁，y)

D.模型a=0.9554+0.0306/zu回歸曲線的擬合效果比模型y=0.9369+0.0285&的好

11.已知(1-2工嚴(yán)'=。"++%-+...+<220nxM,則()

A.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22021

B.展開(kāi)式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)和為三上

2

Q2021_1

C.展開(kāi)式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)和為

2

D.&+得+之+.一+黑=一1

12.如圖，已知。，人是相互垂直的兩條異面直線，直線43與。，6均相互垂直，且43=2,

動(dòng)點(diǎn)P,。分別位于直線。，〃上，若直線尸。與至所成的角〃=￡，線段尸。的中點(diǎn)為

下列說(shuō)法正確的是()

A.P。的長(zhǎng)度為2應(yīng)B.PQ的長(zhǎng)度不是定值

C.點(diǎn)”的軌跡是圓D.三棱錐A-8P。的體積為定值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量4，6滿足|b|=2,向量々與6的夾角為60。，貝”2d-3b|=.

TT37r57t

14.己知a,,cos(a+/7)=--,sin(?-—)=-^-,則sin(夕+半=___.

253133

15.向曲線V+VNxI+lyl所圍成的區(qū)域內(nèi)任投一點(diǎn)，這點(diǎn)正好落在y=l_W與兩坐標(biāo)軸

非負(fù)半軸所圍成區(qū)域內(nèi)的概率為-.

4

16.己知函數(shù)/(X)=(X+4+(加+")2,若存在與,使得了(毛),，一^，則實(shí)數(shù)。的值

e~+1

是—.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.在A4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知人=/，

tzcosC+ccosA=2Z?cosB.

(I)求角8的大??；

(II)求asinC的最大值.

2

18.已知數(shù)列｛a“｝滿足4+3a2+3a3+…+=w(nwN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)+「|1嗎。不，求數(shù)列電｝的前,項(xiàng)和S”.

19.如圖，P4_L平面四邊形45co是正方形，PA=AD=2,例、N分別是A3、

PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面MV￡)J_平面尸C￡＞；

(2)求點(diǎn)P到平面MN。的距離.

20.某市在爭(zhēng)取創(chuàng)建全國(guó)文明城市稱(chēng)號(hào)，創(chuàng)建文明城市簡(jiǎn)稱(chēng)創(chuàng)城.是極具價(jià)值的無(wú)形資產(chǎn)和

重要城市品牌.“創(chuàng)城”期間，將有創(chuàng)城檢查人員到學(xué)校隨機(jī)找人進(jìn)行提問(wèn).問(wèn)題包含：中

國(guó)夢(mèng)內(nèi)涵、社會(huì)主義核心價(jià)值觀、精神文明“五大創(chuàng)建”活動(dòng)、文明校園創(chuàng)建“六個(gè)好”、

“五個(gè)禮讓”共5個(gè)問(wèn)題，提問(wèn)時(shí)將從中抽取2個(gè)問(wèn)題進(jìn)行提問(wèn).某日，創(chuàng)城檢查人員來(lái)到

A校，隨機(jī)找了三名同學(xué)甲、乙、丙進(jìn)行提問(wèn)，其中甲只背了5個(gè)問(wèn)題中的2個(gè)，乙背了

其中的3個(gè)，丙背了其中的4個(gè)?計(jì)一個(gè)問(wèn)題答對(duì)加10分，答錯(cuò)不扣分，最終三人得分相

加，滿分60分，達(dá)到30分該學(xué)校為合格，達(dá)到50分時(shí)該學(xué)校為優(yōu)秀.

(1)求A校優(yōu)秀的概率(保留3位小數(shù))；

(2)求出A校答對(duì)的問(wèn)題總數(shù)X的分布列，并求出A校得分的數(shù)學(xué)期望；

(3)請(qǐng)你為創(chuàng)建全國(guó)文明城市提出兩條合理的建議.

21.已知橢圓E：5+馬=l(a>b>0)的離心率6=迫，桶圓E與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與

a2*4b~2

y軸交于C,。兩點(diǎn)，四邊形ACS。的面積為4.

(I)求橢圓E的方程；

(II)若P是橢圓E上一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，直線尸C,PD分別與x軸相交于M,N兩

點(diǎn)，設(shè)PC,PD,OP的斜率分別為勺，k2,k3,過(guò)點(diǎn)P的直線/的斜率為&,且％&=狀3,

直線/與x軸交于點(diǎn)Q,求IM0-INQ的值.

22.記尸(力=(/'(期',/'*)為/(?的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)VxeO,f"(x)>0,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)

為。上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)/(?=，—awR.

(1)若函數(shù)f(x)為R上的凸函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/(x)-x在(l,+oo)上有極值點(diǎn)，求”的取值范圍.

考前30天沖刺高考模擬考試卷(20)答案

1.解：A={x|x2M}={x|x1或X,T},B={x|/nx?}={x|x1},

則BUA,A|jB=4，A^\B=B,(第4)08=0,

故選：C.

ii-(2-Z)2i+l12.則叫2.

2.解:---------=——I——I—I

7+2(2+z)(2-j)5555

2

所以共加復(fù)數(shù)5的虛部為

故選：B.

3.解：????(X京如)=X(X120)=0.2,

尸(9(搬120)=1-0.4=0.6,

P(9(^iJV105)=-P(90giK120)=0.3,

2

?〔此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為500x0.3=150.

故選：C.

4解一?雙曲線/J1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，

，其實(shí)軸長(zhǎng)為4,可得2G=8,

/.k=—16.

故選：c.

5.解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

先在物理、歷史兩科中選擇1科，有2種選法，

再?gòu)恼巍⒌乩?、化學(xué)、生物四科中選擇2科，有C：=6種選法，

則有2x6=12種選法,

故選：B.

6.解：由于a=6，b2+c2—be-3>

.....b2+c2-a21

貝IJcosA=----------=—,

2bc2

由于Ae(0,i),

所以人二9.

R_L2

故外接圓的半徑為5q一.

所以^MBC=gbesinA=曰-2sinB?2sin(^--B)=等sin(2B一令+9

7T

由于0<8<彳，

2

所以］<2B-努，

6oo

如石c30

煙3<%48C，，-

故選：A.

7.解：球O的表面積為等，設(shè)球的半徑為A,可得4%齊=等，解得R=g,

底面三角形43c的外接圓的半徑為八，'=sin60。-質(zhì)，解得廠=處，

T3

如圖，底面三角形的外心為G,可知底面三角形是正三角形時(shí)，A到的距離球的最大

值，面積的最大值為：ix2x—L-=73,P與底面三角形的頂點(diǎn)的連線恰好是正三棱錐

2tan30°

時(shí)，三棱錐的高取得最大值，PG=PO+OG=g+J(g)2_(￥)2=2,

所以棱錐的體積的最大值為：1x^x2=^.

33

故選：B.

當(dāng)W,1時(shí)，/z(x)至多有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，〃(*)至多有2個(gè)零點(diǎn)，

由題意，函數(shù)y=/(x)-b恰好有3個(gè)零點(diǎn)，

那么當(dāng)?shù)臈l件下8(/=/。)-匕=》-8在欠<1必有一個(gè)零點(diǎn)，則A<x<l,

此時(shí)函數(shù)y=/(x)-。恰好有3個(gè)零點(diǎn)；

綜上可知4>1,/?<1；

故選：C.

9.解：A.-.-ab>0,S.+(2/x,=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=6>0時(shí)取等號(hào)，正確；

3.?.一度上L則“2(1-爐)?j(W+；--)2=］當(dāng)且僅當(dāng)》=士亭時(shí)取等號(hào)，正確；

?b~a2,b~-a2a1—b2(a+b)(Q—b)~

C?-.-a>b>0,則一+---(a+b)=------+------=----------—>0,

ababab

b2a2p缶

ab

D.函數(shù)/(x)=2-*+2,..222-*?2*=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號(hào)，而已知x>0,，f(x)>2,

因此不正確.

故選：ABC.

10.解：由散點(diǎn)圖可知，y隨*的增加而增加，故A錯(cuò)誤;

2021年3月，此時(shí)x=16,代入夕=0.9369+0.0285五，求得1.0509,故5正確;

曲線9=0.9369+0.02856經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6,衿，曲線夕=0.9554+0.0306/公經(jīng)過(guò)點(diǎn)（/位，y）,

故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?.973>0.923,所以模型y=0.9554+0.0306/nx回歸曲線的擬合效果比模型

亍=0.9369+0.02854的好，故。正確.

故選：BD.

11.解：*.*（1-=a。+dyX+4r+qX，+...+1

故所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=2融|，故A正確；

令X=—1,可得—q+%—生+…—%021=3-'”①，

令x=l,可得a。+4+%+%+…+“2021=-1②，

①+②，并除以2,可得展開(kāi)式中所有偶次項(xiàng)系數(shù)和為

202,

a3-1

o+a2+a4+a3+...+a2020=---，

故C正確；

_]_o2021

②-①，并除以2,可得奇次項(xiàng)的系數(shù)和為q+4+區(qū)+…+a2小，故3錯(cuò)誤；

2n；

令x=g,可得小+多+/+…+翁=?！?=1,

，今■+會(huì)+…+袋^=T,故￡）正確,

故選：ACD.

12.解：過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)S,

連接B'Q,

如圖所示：

故，。=一3=2&,故A正確；8不正確；

cos—

4

設(shè)EQ的中點(diǎn)為N,易得BB，工BQ,且用。=2,則有乳=1,

設(shè)的中點(diǎn)為O,連接O,M,N,B,易得四邊形OMN8為平行四邊形，

故OM=BN=\,MN=-PB',

2

即點(diǎn)M到平面a的距離為定值，

可得點(diǎn)M的軌跡為圓，故C正確；

當(dāng)點(diǎn)Q與8點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體A-8P。轉(zhuǎn)換為三角形，

其體積為0,而當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B不重合時(shí)，且點(diǎn)尸與點(diǎn)A不重合時(shí)，其體積顯然不為0,

故￡>錯(cuò)誤，

故選：AC.

13解:???|利=1,|51=2，〈區(qū)5>=60°,

-1

a-b=lx2x—=1,

2

???\2a-3b|=yl(2d-3b)2=^4a2+9b2-I2ab=54+36-12=2幣.

故答案為：2將.

TT

14.解：因?yàn)閍,pG(0,—),

所以。+力￡(。,萬(wàn))，a----G(-----,—),

336

3rr5

因?yàn)閏os(a+。)=—,sin(a----)=-----,

5313

47T12

所以sin(a+/)=-,cos(a——)=一,

5313

則

JT7T7TTT4123533

sin(4+-)=sin[(a+月)-(a--)]=sin(a+〃)cos(acos(a+(3)sin(a--)=-x--)x(——)=^-

333351351365

故答案為：K33

03

15解：因?yàn)閒+)/0x1+1y|所圍成的區(qū)域如下圖所示的四個(gè)圓弧圍成的圖形，

其面積S=0X夜+2X(Y1)2Xl=2+乃，y=l-d與兩坐標(biāo)軸非負(fù)半軸所圍成區(qū)域的面積

2

s—f心=(萬(wàn)一1'3元=±,所以概率，，岳一3_2

JOqq1———

S2+46+3乃

16.解:,//(x)=(x4-a)2+(Inx4-ea)2,

二?函數(shù)f(x)可看作動(dòng)點(diǎn)M(xjnx)與動(dòng)點(diǎn)N(-a,-ea)之間距離的平方,

動(dòng)點(diǎn)M在丁=柩的圖像上，N在丁=紙的圖像上,

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離,

由y=/nr,得y='=e,則工=一，

x

1,2

故曲線上的點(diǎn)叫，f到直線尸"距離的最小值是公信

44

則/(x)…丁匚，根據(jù)題意若存在小,使得一匚

e+1e+1

4

則/(X0)=F—此時(shí)N恰為垂足，

夕+1

1-g?-(-D=_l2_i

由K“,v=-士，故1e,解得：

e-a—e'+e

e

-i

故答案為：KT

17.解：(I),/acosC4-ccosA=2Z?cosB,

由正弦定理，化簡(jiǎn)可得：sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosB，

sinB=2sinBcosB,

9sinB0,

可得cosB=—,

2

13a“b_V=6”

(II)由。=J5，cosB=-,由正弦定理sinA-sinB-sinC-6一

2

所以a=2sinA,sinC=-c,

2

所以

?sinC=2sinAsinC=2sinAsin(--A)=2sinA(^-cosA+」sinA)=^^sin2A--cos2A+—=sin(2A—

32222262

因?yàn)?<4<—,所以一■—<2A——<——,可得sin(2A—7)H—?—,

3666622

因此，asinC的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)24-3=即A=f時(shí)取得.

2623

18.解：(1)+3。)+3~/+,?,+3”?〃，①

二當(dāng)〃=1時(shí)，4=1.

當(dāng)幾.2時(shí)q+3%+3~/+—+3"~=〃—1.②

①-②，得3"%“=1(〃..2),，〃..2時(shí)，擊，

〃=1時(shí)上式成立，

???數(shù)列［a?)的通項(xiàng)公式為4=*("eN*).

⑵”=擊，

2=a"+「ll°g34+J=』，

?123n

<=§+3+于+???+?，

112n—\n

k鏟+于+…+丁+廣

兩式相減，得:

1(1-J-)

2cli11n3UTn1\n

3”332333"3n+l.13,,+l22-3"3n+l

1-----

3

13+2n

2-2-3rt+,

「33+2〃

3=-------------

“44.3"

19.(1)證明：?.?R4_L平面A3CD,AB±AD,:.AB,AD,AP兩兩互相垂直，

如圖所示，分別以他、AD.”所在直線為X軸、y軸和Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得

A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

M(l,0,0),N(l,1,1),

W=(0,1,1),ND=(-\,1,-1),P￡)=(0,2,-2)

設(shè)而=(x,y,z)是平面MN￡＞的一個(gè)法向量，

Itn-MN=y+z=0

可得｛___,取y=—i,得x=-2,z=l,

[in.ND=-x+y—z=0

.?.成=(-2,-i,1)是平面MN￡＞的一個(gè)法向量，同理可得為=(0,1,1)是平面PCD的一

個(gè)法向量，

,/-n=-2x04-(-1)x1+1x1=0,/.,

即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND_L平面PCD；

(2)解：由(1)得比=(-2,—1,1)是平面的一個(gè)法向量，

PD=(0,2,-2),得麗?方=0x(-2)+2x(—l)+(—2)xl=—4,

???點(diǎn)P到平面MND的距離d=與半!=——=羋.

Im\＜4+1+13

20.解：（1）記A校答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X,記事件M:A校優(yōu)秀,

+c；c：c；c：+c；c；c：+c；c；c：

P(M)=P(X=5)+P(X=6)==0.174；

(2)X的可能取值為1,2,3,4,5,6,

"X=D=管嘀

C；C；C；C；+C；C；C；C：+C；C；C：57

P(X=2)=

5001

C；C；C：+C；C；C：+Gc；c；c：+C；C；C；C：+C；C；C；C：164

P(X=3)=

(C；)3500'

C；C；C；C：+C；C；C；C：+C；C；C：+C；C；C：+C；C；C；C；C：186

P(X=4)=

500'

+C；C；C；C：+C；C；C：_78

P(X=5)=

500

所以隨機(jī)變量的分布列如下:

X123456

P657164186789

500500500500500500

…、，6、57cl64,186=78,918

E(X)=1x-----F2x-------F3x------F4x------F5x------1-6x-----=—

5005005005005005005

因此，4校得分的期望為10E（X）=36,

（3）建議：①?gòu)?qiáng)化公民道德教育，提高市民文化程度;

②加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，營(yíng)造優(yōu)美人居環(huán)境.

21.解：（1）根據(jù)題意，作出圖形如下:

則有￡=