初中七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《4.3 角》課件（二）

角角的概念及分類(lèi)內(nèi)容角靜態(tài)定義有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫作角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是角的兩條邊動(dòng)態(tài)定義角也可以看作由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線(xiàn)叫作角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線(xiàn)叫作角的終邊.在角的形成過(guò)程中，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部，未經(jīng)過(guò)的平面部分是角的外部知識(shí)解讀（1）角的兩邊是射線(xiàn)，而非線(xiàn)段，因此角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與角的兩邊張開(kāi)的幅度有關(guān)；（2）角的符號(hào)是“∠”,注意不能寫(xiě)成“<”；（3）沒(méi)有特殊說(shuō)明時(shí)，所說(shuō)的角都是小于180°的角；（4）不能將平角當(dāng)成一條直線(xiàn)，也不能將周角當(dāng)成一條射線(xiàn)巧記樂(lè)背兩條射線(xiàn)共端點(diǎn)，組成角的兩條邊；也可看成一射線(xiàn)，繞其端點(diǎn)來(lái)旋轉(zhuǎn).起始位置叫始邊，終止位置叫終邊；轉(zhuǎn)了半圈叫平角，轉(zhuǎn)了一整圈叫周角.角的分類(lèi)

角按度數(shù)可分為五類(lèi)：其中，大于0°而小于90°的角叫作銳角，如圖4-3.1-1（1）；等于90°的角叫作直角，如圖4-3.1-1（2）；大于90°而小于180°的角叫作鈍角，如圖4-3.1-1（3）；等于180°的角叫作平角，如圖4-3.1-1（4）；等于360°的角叫作周角，如圖4-3.1-1（5）.圖4-3.1-1例1下列說(shuō)法：①兩條射線(xiàn)所組成的圖形叫作角；②一條射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫作角；③一條射線(xiàn)繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)始邊和終邊在同一條直線(xiàn)上，方向相反時(shí)，所構(gòu)成的角叫作平角；④平角是一條直線(xiàn).其中正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)A解析：①?zèng)]有說(shuō)明兩條射線(xiàn)是否有公共端點(diǎn)，故錯(cuò)誤；角是由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形，故②錯(cuò)誤；③正確；因?yàn)槠浇菍儆诮堑囊环N，它具有角的頂點(diǎn)、角的兩邊，直線(xiàn)很顯然不具備這些條件，故④錯(cuò)誤.故選A.

嚴(yán)格按照角的概念進(jìn)行判斷，尤其注意角的兩條邊是具有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn).角的表示方法角的表示適用范圍圖例用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示任何情況都適用，表示頂點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在中間

記作∠AOB或∠BOA用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示以這一點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)記作∠O用一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示任何情況都適用，在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處畫(huà)上小弧線(xiàn)，表示出角的范圍（即是哪兩邊所成的角），并注上數(shù)字記作∠1用一個(gè)希臘字母表示任何情況都適用，在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處畫(huà)上小弧線(xiàn)，表示出角的范圍（即是哪兩邊所成的角），并注上希臘字母記作∠α知識(shí)解讀(1)當(dāng)用三個(gè)大寫(xiě)字母或用一個(gè)大寫(xiě)字母表示角時(shí)，靠近角的頂點(diǎn)處的小弧線(xiàn)可畫(huà)也可不畫(huà)，但用數(shù)字或用希臘字母表示角時(shí)，在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處必須畫(huà)小弧線(xiàn)表示角的范圍；(2)用三個(gè)大寫(xiě)字母表示角的這種方法適用于任意一個(gè)角，但在具體運(yùn)用時(shí)不便書(shū)寫(xiě)且容易出現(xiàn)筆誤，因此對(duì)解題過(guò)程中出現(xiàn)次數(shù)較多的角應(yīng)盡量用數(shù)字或希臘字母表示巧記樂(lè)背角的表示方法多，相應(yīng)注意事項(xiàng)多；三個(gè)字母最常用，頂點(diǎn)字母要居中.例2利用不同的方法表示出圖4-3.1-2中的每個(gè)角.（只表示小于平角的角）圖4-3.1-2解：在圖4-3.1-2（1）中，∠ABC還可表示為∠B或∠α，∠ACB還可表示為∠C或∠1，∠BAC還可表示為∠A或∠2；在圖4-3.1-2（2）中，∠AOB還可表示為∠1，∠BOC還可表示為∠4，∠AOD還可表示為∠2，∠DOC還可表示為∠3.

在表示角時(shí)，首先要明確所表示的角，其次要熟悉角的四種表示方法，還要注重簡(jiǎn)便.角的測(cè)量方法與畫(huà)法內(nèi)容角的測(cè)量方法最常用的方法是用量角器來(lái)測(cè)量角的測(cè)量單位把一個(gè)周角360等分，每一份叫作1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，記作1″角度制以度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制制角度的換算1周角=360°，1周角=2平角=4直角；1平角=180°，1平角=2直角；1°=60′，1′=60″角的畫(huà)法（1）借助三角尺可以畫(huà)30°，45°，60°，90°等特殊角；（2）用量角器可以畫(huà)任意度數(shù)的角知識(shí)解讀（1）把高級(jí)單位轉(zhuǎn)化成低級(jí)單位要乘進(jìn)率；把低級(jí)單位轉(zhuǎn)化成高級(jí)單位要除以進(jìn)率；知識(shí)解讀（2）轉(zhuǎn)化時(shí)必須逐級(jí)進(jìn)行，“越級(jí)”轉(zhuǎn)化容易出錯(cuò)；（3）角的度、分、秒是60進(jìn)制的，這和計(jì)量時(shí)間的時(shí)、分、秒是一樣的.巧記樂(lè)背一度等于六十分，一分等于六十秒；周角三百六十度，正好等于兩平角；一個(gè)直角九十度，個(gè)個(gè)不多也不少.“度”與“度、分、秒”之間的換算方法把“度”換算為“度、分、秒”時(shí)，先把不足1度的部分化為分，再把不足1分的部分化為秒；把“度、分、秒”換算為“度”時(shí)，先把以秒為單位的部分化為分，再把以分為單位的部分化為度.解：18.29°=18°+0.29°=18°+0.29×60′=18°+17.4′=18°+17′+0.4′=18°+17′+0.4×60″=18°+17′+24″=18°17′24″.例3把18.29°轉(zhuǎn)化為用度、分、秒表示的形式，把11°24′36″轉(zhuǎn)化為用度表示的形式.11°24′36″=11°+24′+（36÷60）′=11°+24′+0.6′=11°+24.6′=11°+（24.6÷60）°=11°+0.41°=11.41°.

度、分、秒相鄰兩單位之間是60進(jìn)制.大單位化小單位對(duì)應(yīng)乘60，小單位化大單位對(duì)應(yīng)除以60.對(duì)表示角的方法不清楚而致錯(cuò)例4如圖4-3.1-3，下列說(shuō)法正確的是（）①∠1就是∠A，②∠2就是∠B，③∠3就是∠C，④∠4就是∠D.A.①②B.③④C.①②③④D.只有②圖4-3.1-3D

解析：①∠1的頂點(diǎn)處有三個(gè)角，不能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，故錯(cuò)誤；②∠2的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角，能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，故正確；同樣∠3，∠4也不能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，故錯(cuò)誤.故選D.

本題易忽略“如果用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示角時(shí)，該角的頂點(diǎn)處只能有一個(gè)角”，而誤認(rèn)為①③④的說(shuō)法也正確，錯(cuò)選C.在進(jìn)行角度單位的換算時(shí)，按10進(jìn)制轉(zhuǎn)換，造成計(jì)算錯(cuò)誤例5（1）把26.19°轉(zhuǎn)化為用度、分、秒表示的形式；（2）把33°14′24″轉(zhuǎn)化為用度表示的形式.解：(1)26.19°=26°+0.19°=26°+（0.19×60）′=26°+11.4′=26°+11′+（0.4×60）″=26°11′+24″=26°11′24″.(2)33°14′24″=33°+14′+′=33°+14′+0.4′=33°+14.4′=33°+°=33.24°.

本題易忘記度、分、秒相鄰兩單位之間是60進(jìn)制的，而按照10進(jìn)制進(jìn)行單位換算，得到錯(cuò)誤結(jié)果：（1）26.19°=26°1′9″，（2）33°14′24″=34.64°.題型一數(shù)角的個(gè)數(shù)例6圖4-3.1-4中有多少個(gè)小于平角的角？請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ò阉鼈儽硎境鰜?lái).圖4-3.1-4思路導(dǎo)圖分別找出以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的角用較簡(jiǎn)單的方法分別表示每一個(gè)角把不同頂點(diǎn)的角的個(gè)數(shù)相加，便得題圖中的角的總個(gè)數(shù)

解：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的角有1個(gè)，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的角有1個(gè)，共有8個(gè)角.

它們分別是∠A，∠1，∠2，∠ABC，∠α，∠β，∠ACB，∠BDC.方法點(diǎn)撥：

數(shù)角的個(gè)數(shù)時(shí)，先要找到角的頂點(diǎn)，若從頂點(diǎn)出發(fā)的射線(xiàn)有2條則只有1個(gè)角，若從頂點(diǎn)出發(fā)的射線(xiàn)有2條以上則肯定有多個(gè)角.題型二與鐘表有關(guān)的角度問(wèn)題例7在某天由13:15到13:54，時(shí)鐘的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是多少？角度a指針旋轉(zhuǎn)的角度問(wèn)題(54-15)××60=19.5°，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為(54-15)×=234°.解：時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為方法點(diǎn)撥

解答指針旋轉(zhuǎn)角度問(wèn)題時(shí)，要熟記以下幾個(gè)量：（1）時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)

=30°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)

=0.5°；（2）分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)360°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)

=6°.例8

如圖4-3.1-5，在15:25時(shí)，鐘面上的時(shí)針和分針?biāo)鶚?gòu)成的角是多少度？角度b指針夾角的問(wèn)題圖4-3.1-5思路導(dǎo)圖將起始時(shí)刻定為15：00，此時(shí)時(shí)針和分針?biāo)鶚?gòu)成的角是90°從15：00到15：25，分別算出時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度通過(guò)加減運(yùn)算，求出在15:25時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)解：將起始時(shí)刻定為15:00（下午3點(diǎn)整時(shí)），此時(shí)時(shí)針和分針構(gòu)成的角是90°，將終止時(shí)刻定為15:25，從圖4-3.1-5中可以看出分針從12轉(zhuǎn)到5用了25分鐘，即分針轉(zhuǎn)了6°×25=150°，時(shí)針轉(zhuǎn)了0.5°×25=12.5°，所以在15:25時(shí)，鐘面上的時(shí)針和分針?biāo)鶚?gòu)成的角為150°-90°-12.5°=47.5°.解讀中考：

本節(jié)內(nèi)容在中考中涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有角的測(cè)量方法和度、分、秒的換算，題型有選擇題和填空題，難度較小.例9（北京中考）如圖4-3.1-6，用量角器測(cè)量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（

）A.45°

B.55°

C.125°

D.135°圖4-3.1-6B考點(diǎn)一角的測(cè)量解析：由題圖可知，∠AOB的度數(shù)為55°.故選B.例10（廣西百色中考）下列關(guān)系式正確的是（

）

A.35.5°=35°5′B.35.5°=35°50′C.35.5°＜35°5′D.35.5°＞35°5′解析：因?yàn)?5.5°=35°30′，而35°30′＞35°5′，

所以35.5°>35°5′.故選D.D考點(diǎn)二度、分、秒的換算例11（四川雅安中考）1.45°=_______′.解析：1.45°=60′+(0.45×60)′=87′.87核心素養(yǎng)例12

(1)當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的射線(xiàn)有3條時(shí)，如圖4-3.1-7（1），則圖中共有____個(gè)角，它們分別是______________________.(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的射線(xiàn)有4條時(shí)，如圖4-3.1-7（2），則圖中共有____個(gè)角，它們分別是_________________________________________.(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的射線(xiàn)有5條時(shí)，如圖4-3.1-7（3），則圖中共有____個(gè)角，它們分別是____________________________

_______________________________________.

∠AOC∠AOD∠AOE∠AOB∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB3∠AOC∠AOB∠COB.6∠AOC∠AOD∠AOB∠COD∠COB∠DOB.10(4)當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的射線(xiàn)有n（n為大于3的正整數(shù)）條時(shí)，請(qǐng)你猜想圖中共有_________個(gè)角，并簡(jiǎn)述理由.解：（1）3∠AOC∠AOB∠COB.（2）6∠AOC∠AOD∠AOB∠COD∠COB∠DOB.（3）10.∠AOC∠AOD∠AOE∠AOB∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB.(4)理由如下：由(1)(2)(3)小題可知，，

由此猜想當(dāng)過(guò)點(diǎn)O的射線(xiàn)有n（n為大于3的正整數(shù)）條時(shí)，則圖中共有個(gè)角.角的比較與運(yùn)算內(nèi)容角的比較方法測(cè)量法先用量角器量出角的度數(shù)，再比較其大小疊合法把兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一邊重合，兩個(gè)角的另一邊落在重合邊的同側(cè)，根據(jù)另一邊的位置關(guān)系來(lái)比較大小比較角的大小的方法知識(shí)解讀（1）角的大小關(guān)系和角的度數(shù)的大小關(guān)系是一致的，這是從“數(shù)”的方面來(lái)進(jìn)行比較的；（2）使用疊合法時(shí)應(yīng)注意頂點(diǎn)重合，一邊重合，兩個(gè)角的另一邊落在重合邊的同側(cè)；（3）兩個(gè)角的比較還可用中間值法，通過(guò)兩個(gè)角與中間值的比較，得出大小關(guān)系巧記樂(lè)背比較兩個(gè)角大小，通過(guò)測(cè)量可分曉；若用疊合來(lái)比較，“重合”“同側(cè)”要記牢；若是差別比較大，估測(cè)也能比大小.例1不用量角器，比較圖4-3.2-1和圖4-3.2-2中角的大小.（用“>”連接）圖4-3.2-1圖4-3.2-2分析：圖4-3.2-1中∠α和∠β均為銳角，因此，在不測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的∠α向∠β平移，使∠α與∠β的頂點(diǎn)和一邊重合，觀(guān)察另一邊的位置來(lái)比較角的大小.圖4-3.2-2中的三個(gè)角按角的分類(lèi)，∠1為銳角，∠2為直角，∠3為鈍角，因此通過(guò)估測(cè)可直接比較出它們的大小.圖4-3.2-3

解：如圖4-3.2-3，將∠α向∠β平移，使∠α與∠β的頂點(diǎn)和一邊重合，觀(guān)察另一邊的位置，發(fā)現(xiàn)∠α落在∠β內(nèi)部，因此∠β>∠α.

由圖4-3.2-2可知，∠1為銳角，即∠1<90°；∠2為直角，即∠2=90°；∠3為鈍角，即90°<∠3<180°，因此∠3>∠2>∠1.

在不用量角器測(cè)量角的度數(shù)的情況下比較角的大小有兩種方法:一種是運(yùn)用典型的“疊合法”比較大??；另一種是運(yùn)用“估測(cè)法”，按照常見(jiàn)的“銳角<直角<鈍角<平角<周角”來(lái)比較大小.角的和、差、倍、分內(nèi)容角的和差如圖4-3.2-4.（1）∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；（2）∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC-∠BOC圖4-3.2-4角的倍分如圖4-3.2-5.(1)如果2個(gè)∠1的和是∠2，那么∠2是∠1的2倍或∠1是∠2的，記作∠2=2∠1或∠1=∠2；

(2)如果3個(gè)∠1的和是∠3，那么∠3是∠1的3倍或∠1是∠3的，記作∠3=3∠1或∠1=∠3圖4-3.2-5知識(shí)解讀（1）角的和、差是指角的度數(shù)的和、差；（2）因?yàn)槎?、分、秒?0進(jìn)制的，所以在角度的運(yùn)算中要注意單位的換算；（3）初中數(shù)學(xué)中角的度數(shù)是非負(fù)數(shù)，所以在角的運(yùn)算過(guò)程中不能出現(xiàn)負(fù)值例2用一副三角尺，你能畫(huà)出哪些大于0°而小于180°的角？

解：用一副三角尺可直接畫(huà)出的角有30°，45°，60°和90°.

因?yàn)?5°=45°-30°(或60°-45°)，所以可采用一副三角尺畫(huà)出15°的角.圖4-3.2-6具體操作步驟：如圖4-3.2-6，先用含45°角的三角尺畫(huà)出45°的∠AOB，再在∠AOB的內(nèi)部用含30°角的三角尺畫(huà)出30°的∠AOC，則∠BOC=15°.同理，因?yàn)?5°=45°+30°,105°=45°+60°,120°=60°+60°,135°=45°+90°,150°=90°+60°,165°=180°-45°+30°，所以用一副三角尺可以畫(huà)出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角.

一副三角尺上的角都是特殊角，將這些角進(jìn)行加減運(yùn)算，可得到其他的角，也就是一副三角尺可畫(huà)出的角.角的平分線(xiàn)內(nèi)容角的平分線(xiàn)一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)，叫作這個(gè)角的平分線(xiàn)知識(shí)解讀(1)角平分線(xiàn)是一條射線(xiàn)；(2)因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)把角分成兩個(gè)相等的角，所以在滿(mǎn)足∠AOB=2∠AOM=2∠BOM的情況下可斷定OM一定是∠AOB的平分線(xiàn);(3)角平分線(xiàn)和線(xiàn)段的中點(diǎn)有很多相似之處，如中點(diǎn)和角平分線(xiàn)都可以通過(guò)測(cè)量或折疊得到巧記樂(lè)背角平分線(xiàn)是射線(xiàn)，角的頂點(diǎn)是端點(diǎn)；位置總在角內(nèi)部，把角等分是特點(diǎn).角的三等分線(xiàn)和四等分線(xiàn)如果射線(xiàn)OP，OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠BOC=∠COP=∠AOP=∠AOB，那么OP，OC是∠AOB的三等分線(xiàn)；如果射線(xiàn)OM，ON，OQ在∠AOB的內(nèi)部，且∠BOM=∠MON=∠NOQ=∠AOQ=∠AOB，那么OM，ON，OQ是∠AOB的四等分線(xiàn).例3如圖4-3.2-7，已知OC平分∠BOD，且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分線(xiàn)，求∠AOD的度數(shù).圖4-3.2-7解：因?yàn)镺C平分∠BOD，且∠BOC=20°，所以∠BOD=2∠BOC=2×20°=40°.又因?yàn)镺B是∠AOD的平分線(xiàn)，所以∠AOD=2∠BOD=2×40°=80°.

已知OB是∠AOC的平分線(xiàn)，則可得（1）∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，在解題時(shí)要靈活運(yùn)用其關(guān)系.關(guān)于角的和差的無(wú)圖計(jì)算題，未進(jìn)行分類(lèi)討論而漏解例4已知∠AOB=20°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數(shù).圖4-3.2-8解：本題有兩種情況：當(dāng)OB在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，如圖4-3.2-8（1），∠AOC=∠AOB+∠BOC=20°+30°=50°；當(dāng)OB在∠AOC的外部時(shí)，如圖4-3.2-8（2），∠AOC=∠BOC-∠AOB=30°-20°=10°.綜上所述，∠AOC的度數(shù)為50°或10°.

本題易只考慮到一種情況，僅得到∠AOC=50°，或僅得到∠AOC=10°.對(duì)角平分線(xiàn)的概念理解不透徹而導(dǎo)致錯(cuò)誤例5如果∠AOB=2∠BOC，那么OC一定是∠AOB的平分線(xiàn)嗎？圖4-3.2-9

解：當(dāng)∠AOB=2∠BOC=2∠AOC時(shí)，如圖4-3.2-9（1），OC是∠AOB的平分線(xiàn)；而只有條件∠AOB=2∠BOC時(shí)，OC不一定是∠AOB的平分線(xiàn)，如圖4-3.2-9（2）.

本題易受思維定式的影響，根據(jù)題干畫(huà)圖只畫(huà)出了第一種情況，誤以為OC一定是∠AOB的平分線(xiàn).題型一角的大小比較6例6如圖4-3.2-10，解答下列問(wèn)題：(1)比較∠FOD與∠FOE的大??；(2)借助三角尺比較∠DOE與∠BOF的大小；(3)借助量角器比較∠AOE與∠DOF的大小.圖4-3.2-10思路導(dǎo)圖(1)根據(jù)疊合法進(jìn)行比較(3)利用量角器分別量得∠AOE與∠DOF的度數(shù),進(jìn)而比較大小(2)利用三角尺量得∠DOE>45°,∠BOF<45°,進(jìn)而得出結(jié)論解：（1）∠FOD<∠FOE.(2)用含有45°角的三角尺比較，可得∠DOE>45°，∠BOF<45°，所以∠DOE>∠BOF.(3)用量角器量，得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.方法點(diǎn)撥：

本題用了三種方法比較角的大小，一般需根據(jù)具體情況選擇合適的方法來(lái)比較.疊合法在具體運(yùn)用時(shí)不是很方便，因此在某些情況下，常利用題圖中的“同邊”構(gòu)造疊合法.題型二角的代數(shù)計(jì)算例7計(jì)算：（1）48°39′+67°31′；（2）78°-47°34′56″；（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5.解：（1）48°39′+67°31′=115°70′=116°10′.（2）78°-47°34′56′′=77°59′60′′47°34′56′′=30°25′4′′.（3）22°16′×5=22°×5+16′×5=110°80′=111°20′.（4）42°15′÷5=8°+2°15′÷5=8°+135′÷5=8°27′.方法點(diǎn)撥：

在進(jìn)行角的加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)把度與度、分與分、秒與秒分別相加減，并在運(yùn)算中注意進(jìn)位或借位的進(jìn)率都是60；當(dāng)角度乘某數(shù)時(shí)，要分別與度、分、秒相乘，然后按進(jìn)率60整理相乘結(jié)果；當(dāng)角度除以某數(shù)時(shí)，要先把度相除并把余數(shù)化為分，再與分相除并把余數(shù)化為秒，最后與秒相除.題型三幾何圖形中角的和、差、倍、分計(jì)算例8如圖4-3.2-11，∠DOE∶∠BOE=1∶2，∠DOC∶∠COA=1∶2，如果∠AOB=120°，那么∠COE是多少度？圖4-3.2-11解：因?yàn)椤螪OE∶∠BOE=1∶2，∠DOE+∠BOE=∠BOD，所以∠DOE=∠BOD.因?yàn)椤螪OC∶∠COA=1∶2，∠DOC+∠COA=∠AOD，所以∠DOC=∠AOD.因?yàn)椤螦OB=∠AOD+∠BOD=120°，所以∠COE=∠DOE+∠DOC=∠BOD+∠AOD=（∠BOD+∠AOD）=∠AOB=40°.方法點(diǎn)撥：

在幾何圖形中進(jìn)行角的計(jì)算時(shí)，首先仔細(xì)觀(guān)察圖形，弄清各角之間的和、差、倍、分關(guān)系；然后看根據(jù)已知角的度數(shù)能否直接求出未知角的度數(shù)，若能可直接計(jì)算，若不能可將角的和差作為一個(gè)整體，如此題，不能單獨(dú)求出∠BOD和∠AOD的度數(shù)，將“∠BOD+∠AOD”作為整體，便找到了其與已知∠AOB的關(guān)系，進(jìn)而求出結(jié)果.題型四求折疊圖形中角的度數(shù)例9如圖4-3.2-12，把一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)D′，C′的位置上，ED′與BC的交點(diǎn)為G，若∠EFG=55°，求∠GFC′的度數(shù).圖4-3.2-12思路導(dǎo)圖由∠EFG=55°，∠EFG與∠EFC的和是180°，可求得∠EFC的度數(shù)求出∠EFC′與∠EFG的差，便得∠GFC′的度數(shù)由折疊的性質(zhì)，可知∠EFC與∠EFC′的度數(shù)相等解：因?yàn)椤螮FG=55°，∠EFG+∠EFC=180°，所以∠EFC=180°-∠EFG=180°-55°=125°.由折疊的性質(zhì)知∠EFC′=∠EFC=125°.所以∠GFC′=∠EFC′-∠EFG=125°-55°=70°.

把一張紙片沿某條直線(xiàn)折疊，則出現(xiàn)兩個(gè)相互重合的角，這個(gè)現(xiàn)象說(shuō)明：如果把折疊后互相重合的兩個(gè)角展開(kāi)并看成一個(gè)角，那么折痕是這個(gè)角的平分線(xiàn)，這是折疊圖形的一個(gè)顯著特點(diǎn)，求折疊圖形中角的度數(shù)時(shí)常利用這個(gè)特點(diǎn).知識(shí)鏈接解讀中考：

本節(jié)內(nèi)容在中考中的考點(diǎn)主要有：（1）角的大小比較，一般結(jié)合圓周角（后面學(xué)習(xí)）考查，單獨(dú)命題的幾率很??；（2）角的和、差、倍、分計(jì)算，常與折疊結(jié)合考查，題型有選擇題和填空題；（3）角的平分線(xiàn)的定義，常融合于角的計(jì)算中，不會(huì)單獨(dú)考查.例10（浙江金華中考）足球射門(mén)，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角大小時(shí)，張角越大，射門(mén)越好.在圖4-3.2-14的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（）A.點(diǎn)CB.點(diǎn)D或點(diǎn)EC.線(xiàn)段DE(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)D.線(xiàn)段CD(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)圖4-3.2-14C考點(diǎn)一角的大小比較解析：如圖4-3.2-15，連接BC，AC，BD，AD，AE，BE，通過(guò)測(cè)量各角的度數(shù)可知，射點(diǎn)在線(xiàn)段DE上時(shí)角最大，射點(diǎn)在點(diǎn)D右上方或點(diǎn)E左下方時(shí)角度較小.故選C.圖4-3.2-15例11（湖北恩施中考）已知∠AOB=70°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線(xiàn)OC，使∠AOC=42°，則∠BOC的度數(shù)為（）

A.28°B.112°C.28°或112°D.68°C考點(diǎn)二角的和、差、倍、分計(jì)算圖4-3.2-17解析：如圖4-3.2-17，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C1重合時(shí)，∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°-42°=28°；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C2重合時(shí)，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°.核心素養(yǎng)例12

已知∠AOB=90°，OC為一條射線(xiàn)，OM，ON分別平分∠BOC，∠AOC，求∠MON的度數(shù).分析：由于本題沒(méi)有指明OC在∠AOB的內(nèi)部還是外部，因此應(yīng)分情況討論.解：當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖4-3.2-18（1）.因?yàn)镺M，ON分別平分∠BOC，∠AOC，所以∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC.因?yàn)椤螦OB=∠AOC+∠BOC=90°，所以∠MON=∠CON+∠COM=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=45°.當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，如圖4-3.2-18（2）.因?yàn)镺M，ON分別平分∠BOC，∠AOC，所以∠COM=∠BOC，∠CON=∠AOC.因?yàn)椤螦OB=∠BOC-∠AOC=90°，所以∠MON=∠COM-∠CON=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=45°.綜上所述，∠MON的度數(shù)為45°.圖4-3.2-18方法點(diǎn)撥：

當(dāng)題目中沒(méi)有給出圖形時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，考慮到所有可能出現(xiàn)的情況，分情況討論解題.余角與補(bǔ)角余角和補(bǔ)角的概念內(nèi)容余角如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角知識(shí)解讀(1)互余（補(bǔ)）特指兩個(gè)角之間的一種特殊關(guān)系，如果三個(gè)或三個(gè)以上的角相加等于90°（或180°）時(shí)，不能說(shuō)這些角互余（補(bǔ)）；(2)互余（補(bǔ)）是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，而不是位置關(guān)系，即互余（補(bǔ)）的兩個(gè)角可能相鄰，也可能不相鄰，還可能有一部分重合；(3)在某個(gè)圖形中，一個(gè)角可能沒(méi)有余（補(bǔ)）角，也可能有一個(gè)或多個(gè)余（補(bǔ)）角；(4)若兩個(gè)角互余，則這兩個(gè)角一定都是銳角；若兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角可能都是直角，也可能是一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角巧記樂(lè)背余角補(bǔ)角不孤獨(dú)，它們總是成對(duì)出；和為直角稱(chēng)互余，和為平角稱(chēng)互補(bǔ).例1如圖4-3.3-1，O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°.(1)圖中互為余角的角有幾對(duì)？各是哪些？(2)∠1的余角是哪個(gè)？(3)∠1的補(bǔ)角是哪個(gè)？圖4-3.3-1解：（1）因?yàn)椤螦OC=∠BOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°.所以圖中互為余角的角有4對(duì)，分別是∠1與∠2，∠3與∠4，∠2與∠3，∠1與∠4.(2)由∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°，得∠1的余角是∠2和∠4.（3）由∠1+∠BOD=180°，得∠1的補(bǔ)角是∠BOD.

不要認(rèn)為互余或互補(bǔ)的角一定是相鄰的角，事實(shí)上，互余或互補(bǔ)的角對(duì)位置沒(méi)有任何要求.余角和補(bǔ)角的性質(zhì)內(nèi)容余角的性質(zhì)同角（等角）的余角相等補(bǔ)角的性質(zhì)同角（等角）的補(bǔ)角相等知識(shí)解讀（1）得到余（補(bǔ)）角的性質(zhì)的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)——等式的傳遞性；（2）同角的余（補(bǔ)）角相等指的是三個(gè)角之間的關(guān)系，等角的余（補(bǔ)）角相等指的是四個(gè)角之間的關(guān)系巧記樂(lè)背同、等角的余角相等，同、等角的補(bǔ)角相等；運(yùn)用的依據(jù)都相同，圖形之中找等角.例2如圖4-3.3-2，直線(xiàn)AB與∠COD的兩邊OC，OD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1+∠2=180°，找出圖中與∠2相等的角，并說(shuō)明理由.分析：圖中連同∠1和∠2在內(nèi)總共有9個(gè)角(小于平角的角)，∠2是個(gè)銳角，∠1，∠5，∠6，∠8是鈍角，這4個(gè)角顯然不可能與∠2相等，再逐一判斷∠3，∠4，∠7，∠O是否與∠2相等即可.圖4-3.3-2解：∠2=∠7，∠2=∠4，∠2=∠3.理由如下：因?yàn)椤?+∠8=180°，∠7+∠8=180°（平角的定義），所以∠2=∠7（同角的補(bǔ)角相等）.因?yàn)椤?+∠3=180°（平角的定義），∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠3（同角的補(bǔ)角相等）.因?yàn)椤?+∠4=180°（平角的定義），∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠4（同角的補(bǔ)角相等）.“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的補(bǔ)角相等”是推得兩角相等的常用方法，實(shí)質(zhì)上還是等式性質(zhì)及等量代換的運(yùn)用，只不過(guò)在特定的情況下使用起來(lái)更簡(jiǎn)捷.方位角內(nèi)容方位角為了準(zhǔn)確地表示出方向，就要借助角的表示方式，通常以正南、正北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，配以偏東或偏西的角度來(lái)描述物體所在的方向，這種方法叫作方位角描述法知識(shí)解讀畫(huà)圖標(biāo)準(zhǔn)：一般按“上北下南，左西右東”.表示格式：南（北）偏東（西）××度.特殊情況：知識(shí)解讀①只用東、西、南、北四個(gè)方向中的任意一個(gè)方向表示時(shí)分別在其前面加“正”，如正東、正西、正南、正北；②習(xí)慣上北偏東45°用東北表示，北偏西45°用西北表示，南偏東45°用東南表示，南偏西45°用西南表示.巧記樂(lè)背方位角表示方向，習(xí)慣南、北放在前；多用偏字表旋轉(zhuǎn)，測(cè)得度數(shù)知方向.例3如圖4-3.3-3，根據(jù)A，B，C，D，E各點(diǎn)在圖中的方位填空.圖4-3.3-3（1）射線(xiàn)OA表示______________________；（2）射線(xiàn)OB表示______________________；（3）射線(xiàn)OC表示______________________；（4）射線(xiàn)OD表示______________________；（5）射線(xiàn)OE表示_______________________.解析：圖中各射線(xiàn)的方向可分為三類(lèi)：射線(xiàn)OE，OC，OD為一類(lèi)，表示形式為“×偏×”，其中注意OC與OD中角度的轉(zhuǎn)化；射線(xiàn)OB，射線(xiàn)OA各為一類(lèi).正南方向北偏西45°或西北方向南偏西60°方向南偏東70°方向北偏東30°方向誤認(rèn)為多個(gè)角的和為90°或180°時(shí)，也稱(chēng)其為互余或互補(bǔ)例4如圖4-3.3-4，O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，趙敏說(shuō)：“因?yàn)椤?，∠2，∠3，∠4四個(gè)角組成一個(gè)平角，所以它們互為補(bǔ)角.”你認(rèn)為這種說(shuō)法正確嗎？為什么？圖4-3.3-4

解：這種說(shuō)法不正確.因?yàn)檠a(bǔ)角特指兩個(gè)角之間的一種特殊關(guān)系.根據(jù)補(bǔ)角的概念可知，當(dāng)多個(gè)角的和等于180°時(shí)，不能稱(chēng)其互為補(bǔ)角.

若不理解補(bǔ)角特指兩個(gè)角之間的一種特殊關(guān)系，本題易誤認(rèn)為正確.根據(jù)余（補(bǔ)）角的性質(zhì)尋找相等的角，考慮問(wèn)題不全面例5如圖4-3.3-5，AB與CD交于點(diǎn)O，且∠AOE=∠COF=90°，∠AOC=30°，則圖中30°的角還有哪幾個(gè)？圖4-3.3-5解：因?yàn)椤螧OD+∠BOC=∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOD=∠AOC=30°.又因?yàn)椤螮OF+∠COE=∠AOC+∠COE=90°，所以∠EOF=∠AOC=30°.所以圖中30°的角還有∠BOD，∠EOF.

只觀(guān)察∠AOC與∠BOD是∠BOC的補(bǔ)角，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得出答案，未考慮∠AOC與∠EOF是∠COE的余角，從而造成漏解.對(duì)方位角的概念理解不清楚例6圖4-3.3-6如圖4-3.3-6，從點(diǎn)B看點(diǎn)A，點(diǎn)A所在的方向?yàn)椋?/p>

）

A.南偏東58°B.北偏西32°C.南偏東32°D.東偏南58°解析：根據(jù)題意，可知點(diǎn)B是基準(zhǔn)點(diǎn)，則點(diǎn)A的方位角是58°的余角，即南偏東32°.故選C.C

錯(cuò)解：①不理解方位角是哪個(gè)角而誤選A；②不理解方位角的表示形式具有規(guī)定性而誤選D；③不理解A，B兩點(diǎn)中哪個(gè)點(diǎn)是基準(zhǔn)點(diǎn)而誤選B.易錯(cuò)總結(jié)例7（1）已知∠α=50°17′，求∠α的余角和補(bǔ)角；（2）已知∠α的余角是65°17′46″，求∠α及∠α的補(bǔ)角.題型一有關(guān)余角和補(bǔ)角的計(jì)算

角度a

求一個(gè)角的余角或補(bǔ)角解：(1)因?yàn)?0°-50°17′=39°43′，180°-50°17′=129°43′，所以∠α的余角是39°43′，補(bǔ)角是129°43′.(2)因?yàn)?0°-65°17′46″=89°59′60″-65°17′46″=24°42′14″，180°-24°42′17″=179°59′60″-24°42′14″=155°17′46″，所以∠α是24°42′14″，∠α的補(bǔ)角是155°17′46″.

已知一個(gè)角求其余角或補(bǔ)角時(shí)，根據(jù)余角或補(bǔ)角的概念直接計(jì)算即可，但要注意相減時(shí)要度、分、秒分別相減，并注意角度單位的進(jìn)制.方法點(diǎn)撥：角度b余角和補(bǔ)角的綜合運(yùn)算例8一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半小30°，求這個(gè)角的度數(shù).思路導(dǎo)圖根據(jù)“余角=補(bǔ)角的一半-30°”，列出方程并求解設(shè)這個(gè)角為x°,則其余角為(90-x)°,其補(bǔ)角為(180-x)°解：設(shè)這個(gè)角為x°，則這個(gè)角的余角為(90-x)°，補(bǔ)角為(180-x）°.由題意，得90-x=×(180-x)-30，解得x=60.答：這個(gè)角的度數(shù)是60°.

解決有關(guān)余角、補(bǔ)角的問(wèn)題時(shí)，一般都是先設(shè)未知數(shù)，再由題意列出方程，最后求出結(jié)果.注意要充分利用余角、補(bǔ)角這兩個(gè)條件.方法點(diǎn)撥：例9星期六，樂(lè)樂(lè)和同學(xué)們?nèi)ス珗@游玩，在虎山上玩得非常開(kāi)心，但回來(lái)后忘記了虎山在公園里所在的位置，只記住了大門(mén)和游樂(lè)場(chǎng)的位置（如圖4-3.3-7），根據(jù)同學(xué)們的回憶得到下列信息：(1)大象館在游樂(lè)場(chǎng)的正北方向；(2)虎山在大象館的北偏西66°的方向上；(3)虎山在大門(mén)的北偏西32°的方向上；(4)大象館在大門(mén)的東北方向.題型二利用方位角確定點(diǎn)的位置圖4-3.3-7思路導(dǎo)圖根據(jù)信息(1)(4)確定出大象館的位置

根據(jù)信息(2)(3)確定出虎山的位置解：能.方法如下：(1)先過(guò)大門(mén)這個(gè)點(diǎn)沿東北方向畫(huà)射線(xiàn)，再過(guò)游樂(lè)場(chǎng)這個(gè)點(diǎn)沿正北方向畫(huà)射線(xiàn)，兩條射線(xiàn)的交點(diǎn)即為大象館的位置.(2)先過(guò)大門(mén)這個(gè)點(diǎn)沿北偏西32°方向畫(huà)射線(xiàn)，再過(guò)大象館這個(gè)點(diǎn)沿北偏西66°方向畫(huà)射線(xiàn)，兩條射線(xiàn)的交點(diǎn)即為虎山的位置，如圖4-3.3-8.圖4-3.3-8

用方位角確定位置時(shí)，首先要弄清觀(guān)測(cè)點(diǎn)，然后確定觀(guān)測(cè)點(diǎn)的東南西北方向，根據(jù)方位角的含義來(lái)確定.僅靠一個(gè)方位角只能確定點(diǎn)的方向而不能確定點(diǎn)的位置，但兩個(gè)方位角可以確定點(diǎn)的位置.方法點(diǎn)撥：例10如圖4-3.3-9(1)，∠AOB和∠COD都是直角.(1)試猜想，∠AOD和∠BOC在數(shù)量上是否存在相等、互余或互補(bǔ)關(guān)系？說(shuō)明理由.(2)當(dāng)∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖4-3.3-9(2)的位置時(shí)，你的猜想還成立嗎？說(shuō)明理由.題型三探究角與角之間的關(guān)系圖4-3.3-9解：(1)∠AOD和∠BOC互補(bǔ).理由如下：因?yàn)椤螦OD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC.又因?yàn)椤螧OD+∠BOC=∠COD=90°，所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°.故∠AOD和∠BOC互補(bǔ).故∠AOD和∠BOC互補(bǔ).(2)∠AOD和∠BOC互補(bǔ)仍然成立.理由如下：因?yàn)椤螦OB和∠COD都是直角，所以