第16章-質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

引言2.力學(xué)模型：1.動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與它的質(zhì)量和受力情況之間的關(guān)系。(1)質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量，而其形狀和大小對(duì)所研究的問(wèn)題不起主要作用，可以忽略不計(jì)的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)；

剛體作移動(dòng)時(shí),剛體質(zhì)點(diǎn)。第一頁(yè)第二頁(yè)，共30頁(yè)。(2)質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無(wú)限個(gè)有著一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中普遍的抽象化模型；包括剛體、彈性體、流體。自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。

剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無(wú)數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。第二頁(yè)第三頁(yè)，共30頁(yè)。3.動(dòng)力學(xué)分類(lèi)：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。4.動(dòng)力學(xué)的基本問(wèn)題：大體上可分為兩類(lèi)：綜合性問(wèn)題：已知部分力，部分運(yùn)動(dòng)求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)。已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束力。

第一類(lèi)：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力；第二類(lèi)：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。第三頁(yè)第四頁(yè)，共30頁(yè)?！?6-1動(dòng)力學(xué)基本定律動(dòng)力學(xué)基本定律是動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ),但它們只能直接應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系,應(yīng)該將它們分別應(yīng)用于每一質(zhì)點(diǎn),然后導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。質(zhì)點(diǎn)是物體最簡(jiǎn)單、最基本的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程給出了質(zhì)點(diǎn)受力與其運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱為牛頓三定律。1.動(dòng)力學(xué)基本定律第四頁(yè)第五頁(yè)，共30頁(yè)。第一定律（慣性定律）質(zhì)點(diǎn)如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)，也就是保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，這種性質(zhì)稱為慣性。故點(diǎn)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，稱為慣性運(yùn)動(dòng)。所以第一定律也稱為慣性定律。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到外力作用，而這些作用又不互相抵消時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。第二定律就表明了這一變化規(guī)律。第五頁(yè)第六頁(yè)，共30頁(yè)。第二定律（力與加速度之間關(guān)系的定律）(16-1)質(zhì)點(diǎn)受外力作用時(shí)，將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到多個(gè)力作用時(shí)，該式中的力

應(yīng)為匯交力系的合力；從該式還可以看出，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。第六頁(yè)第七頁(yè)，共30頁(yè)。第三定律（作用與反作用定律）

由于作用與反作用，引起了機(jī)械運(yùn)動(dòng)在相互作用的兩質(zhì)點(diǎn)（物體）間發(fā)生轉(zhuǎn)移。力就是這種機(jī)械運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移的反映。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。在靜力學(xué)里，研究物體的平衡用到它。在動(dòng)力學(xué)里，這一定律依然成立。第七頁(yè)第八頁(yè)，共30頁(yè)。以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱為古典力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)，在此范疇，質(zhì)量、空間和時(shí)間是“絕對(duì)”的，與運(yùn)動(dòng)沒(méi)有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時(shí)間和空間都與物體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，只是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)量、時(shí)間和空間的影響是微不足道的。2.慣性參考系動(dòng)力學(xué)基本定律在其中能正確成立的參考系稱為慣性參考系,簡(jiǎn)稱慣性系。在一般問(wèn)題中,與地球固接的參考系或相對(duì)于地面作慣性運(yùn)動(dòng)的參考系,可近似看成慣性系。第八頁(yè)第九頁(yè)，共30頁(yè)。要使車(chē)子在水平直線軌道上勻速前進(jìn)，為什么還需不斷對(duì)它施加水平推力？這與慣性定律有無(wú)矛盾？試比較下述幾種情況下站在電梯中的人對(duì)電梯地板的壓力大?。?a)電梯靜止不動(dòng)；(b)電梯勻速上升；(c)電梯勻速下降；(d)電梯加速上升；(e)電梯減速下降。思考題16-1思考題16-2第九頁(yè)第十頁(yè)，共30頁(yè)。以下說(shuō)法是否正確？(a)質(zhì)點(diǎn)如有運(yùn)動(dòng)則它一定受力，其運(yùn)動(dòng)方向總是與所受力的方向一致；(b)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如速度大則它所受的力也大，速度小則所受的力也小，若速度為零則質(zhì)點(diǎn)不受力；(c)機(jī)車(chē)以某一力牽引車(chē)輛加速前進(jìn)時(shí)，車(chē)輛給機(jī)車(chē)的反力必小于機(jī)車(chē)對(duì)列車(chē)的牽引力。思考題16-3若不計(jì)空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即給以向下的初速）的石塊，哪一個(gè)加速度較大？思考題16-4第十頁(yè)第十一頁(yè)，共30頁(yè)?！?6-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程(16-2)(16-3)

動(dòng)力學(xué)基本方程是矢量方程，為了便于計(jì)算，常將它改寫(xiě)成投影式，并表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共30頁(yè)。(16-4)1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)投影設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，作平面曲線運(yùn)動(dòng)。取直角坐標(biāo)系Oxy，將質(zhì)點(diǎn)受到的力與加速度在直角坐標(biāo)軸上投影得：第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共30頁(yè)。式(16-4)和(16-5)是兩種常用的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程?？梢郧蠼赓|(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題。2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影(16-5)動(dòng)力學(xué)基本方程在自然軸系上的投影為：由運(yùn)動(dòng)學(xué)知第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共30頁(yè)。5)求解未知量。(1)第一類(lèi)：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（微分問(wèn)題）解題步驟和要點(diǎn)：1)正確選擇研究對(duì)象；（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。2)正確進(jìn)行受力分析,畫(huà)出受力圖；(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。3)正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析；（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。4)選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程；（建立坐標(biāo)系）。第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共30頁(yè)。5)求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。(2)第二類(lèi)：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問(wèn)題）解題步驟如下：1)正確選擇研究對(duì)象。2)正確進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。3)正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件）。4)選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共30頁(yè)。橋式起重機(jī)跑車(chē)用鋼絲繩吊掛一質(zhì)量為m的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v0，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為l。突然剎車(chē)，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。解：1.選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象2.受力分析3.運(yùn)動(dòng)分析，沿以懸掛點(diǎn)為圓心,l為半徑的圓弧擺動(dòng)。例題16-1第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共30頁(yè)。4.列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程5.求解未知量例題16-1P=mg第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共30頁(yè)。例題16-1[討論](1)減小繩子拉力途徑：減小跑車(chē)速度或者增加繩子長(zhǎng)度。(2)拉力FTmax由兩部分組成,一部分等于物體重量,稱為靜拉力。一部分由加速度引起，稱為附加動(dòng)拉力。全部拉力稱為動(dòng)拉力。第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共30頁(yè)。例題16-2煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充,為保證充填材料拋到距離為s=5m，H=1.5m的頂板A處。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

？(2)初速

與水平的夾角j0？不計(jì)空氣阻力。第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共30頁(yè)。選擇填充材料M為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，M作斜拋運(yùn)動(dòng)。解：已知力為常量，屬于第二類(lèi)問(wèn)題。第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共30頁(yè)。列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并對(duì)其積分運(yùn)算第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共30頁(yè)。代入最高點(diǎn)A處值，得：即將到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t，x=s，y=H

代入運(yùn)動(dòng)方程，得第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共30頁(yè)。拋射初速度大小與發(fā)射角j0為：第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共30頁(yè)。鉛垂上拋的物體，至少應(yīng)具有多大的初速才可不再回到地球。這一速度稱為第二宇宙速度。不計(jì)空氣阻力。例題16-3解：取物體（視為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象，建立坐標(biāo)，并作受力圖。M——地球質(zhì)量，f——萬(wàn)有引力常數(shù)第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共30頁(yè)。則在任意位置時(shí)的速度即：例題16-3第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共30頁(yè)?？梢?jiàn)，v隨著x的增加而減小。若則在某一位置x=R+H時(shí)速度將減小到零，物體回落。若時(shí)，無(wú)論x多大（甚至為∞），物體也不會(huì)回落。因此脫離地球引力而一去不返時(shí)（）的最小初速度（第二宇宙速度）例題16-3第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共30頁(yè)。站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬時(shí)，指針向讀數(shù)大的一邊偏，還是向讀數(shù)小的一邊偏？為什么？思考題16-4答：靜止時(shí)，F(xiàn)N=P突然下蹲時(shí)，aC方向向下，-maC=FN-P，F(xiàn)N=P-maC<P,