新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象課件新人教B版必修第二冊(cè)

第四章4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

指數(shù)函數(shù)的概念1.一般地,函數(shù)

稱為指數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),

.

自變量在指數(shù)位置2.指數(shù)函數(shù)的特征:(1)底數(shù)a>0且a≠1;(2)指數(shù)冪的系數(shù)是1.y=axa>0且a≠1名師點(diǎn)睛根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),如y=3·2x,

都不是指數(shù)函數(shù),它們的函數(shù)表達(dá)式含有指數(shù)式,應(yīng)將它們看作復(fù)合函數(shù).過(guò)關(guān)自診1.[2023上海奉賢高一]指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,9),則該指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為

.

y=3x

解析

由題可得,9=a2,解得a=±3.因?yàn)閍>0,所以該指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為y=3x.2.指數(shù)函數(shù)中,為什么要規(guī)定a>0且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對(duì)某些x值沒(méi)有意義,如

無(wú)意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax=0,當(dāng)x≤0時(shí),ax無(wú)意義;如果a=1,y=1x=1是個(gè)常數(shù)函數(shù),沒(méi)有研究的必要.所以規(guī)定a>0且a≠1,此時(shí)x可以是任意實(shí)數(shù).知識(shí)點(diǎn)2

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a的取值a>10<a<1圖象

性質(zhì)定義域R值域

過(guò)定點(diǎn)

(0,+∞)(0,1)a的取值a>10<a<1性質(zhì)函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1單調(diào)性在R上是

在R上是

奇偶性非奇非偶函數(shù)2.一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax和y=()x(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且它們?cè)赗上的單調(diào)性相反.增函數(shù)

減函數(shù)

名師點(diǎn)睛1.畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的簡(jiǎn)單圖象時(shí),需找三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),(-1,).2.指數(shù)函數(shù)的圖象永遠(yuǎn)在x軸的上方.底數(shù)越大,圖象在第一象限內(nèi)越高,簡(jiǎn)稱“底大圖高”.過(guò)關(guān)自診1.函數(shù)y=()x+1的值域是(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.[1,+∞) D.(0,1)B2.函數(shù)y=2-x的圖象是(

)B3.若指數(shù)函數(shù)y=(a-2)x是R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(3,+∞)解析

指數(shù)函數(shù)y=(a-2)x是R上的增函數(shù),得a-2>1,即a>3.4.[2023上海寶山校級(jí)期末]函數(shù)f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是

.

(1,1)解析

對(duì)于函數(shù)f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的圖象,令x-1=0,得x=1,f(x)=1,故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,1).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)如果指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),那么f(4)f(2)=

.

64解析

設(shè)f(x)=ax(a>0且a≠1),∴a-2=,∴a=2.∴f(4)f(2)=24×22=64.(2)已知函數(shù)y=(2a2-3a+2)ax是指數(shù)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征指數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義,其特征如下:變式訓(xùn)練1(1)若指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(-2,4),則f(3)=

.

(2)給出下列函數(shù):①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=;⑦y=xx;⑧y=(2a-1)x(a>且a≠1).其中為指數(shù)函數(shù)的有

.(填序號(hào))

①⑤⑧

解析

②中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù),因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的底數(shù)不能是自變量;③中函數(shù)是-1與4x的乘積,不是指數(shù)函數(shù);④中函數(shù)的底數(shù)-4<0,故不是指數(shù)函數(shù);⑥中函數(shù)的指數(shù)不是自變量x,而是x2,不是指數(shù)函數(shù);⑦中函數(shù)的底數(shù)x不是常數(shù),不是指數(shù)函數(shù).由指數(shù)函數(shù)的概念可知,①⑤⑧中的函數(shù)是指數(shù)函數(shù).探究點(diǎn)二比較大小【例2】

比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,則2.53<2.55.7.(2)1.5-7,()4;(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

因?yàn)閍>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x在R上是增函數(shù),所以(a-1)1.3<(a-1)2.4;若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x在R上是減函數(shù),所以(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時(shí),(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時(shí),(a-1)1.3>(a-1)2.4.變式探究(1)若2.52a>2.5a+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(1,+∞)解析

構(gòu)造函數(shù)f(x)=2.5x,而函數(shù)f(x)=2.5x在R上是增函數(shù).因?yàn)閒(2a)>f(a+1),所以2a>a+1,解得a>1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).(2)例2(1)改為“2.5a,2.5a+1”.解

因?yàn)閍+1>a,所以2.5a<2.5a+1.規(guī)律方法

比較冪的大小的常用方法

變式訓(xùn)練2[北師大版教材習(xí)題]比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小:解

因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在R上是增函數(shù),且-1.5<1.5,所以2-1.5<21.5.(4)20.1,30.2.解

由指數(shù)函數(shù)y=3x與y=2x的圖象知,當(dāng)x>0時(shí),y=3x的圖象在y=2x的圖象的上方,且函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),所以30.2>20.2>20.1,所以30.2>20.1.探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用角度1

指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別【例3】

如圖是指數(shù)函數(shù):①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是(

)A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<cB解析

(方法一)①②中函數(shù)的底數(shù)小于1且大于0,在y軸右邊,底數(shù)越小,圖象越靠近x軸,故有b<a<1,③④中函數(shù)的底數(shù)大于1,在y軸右邊,底數(shù)越大,圖象越靠近y軸,故有1<d<c,故選B.(方法二)作直線x=1,與函數(shù)①②③④的圖象分別交于A,B,C,D四點(diǎn),將x=1代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)值,所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大,則對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)越大.由圖可知b<a<1<d<c.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)不同指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系:在y軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大.無(wú)論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(diǎn)(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為底數(shù),由此可確定底數(shù)的大小.A.①

B.②

C.③

D.④

B角度2

指數(shù)函數(shù)的圖象及其變換【例4】

先作出函數(shù)y=2x的圖象,再通過(guò)圖象變換作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=2x-2,y=2x+1;(2)y=2x+1,y=2x-2;(3)y=2-x,y=-2x,y=-2-x.解

列表:根據(jù)上表中x,y的對(duì)應(yīng)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖如圖1所示.(1)函數(shù)y=2x-2的圖象可以由y=2x的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,函數(shù)y=2x+1的圖象可以由y=2x的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.圖象如圖1所示.(2)函數(shù)y=2x+1的圖象可以由y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,函數(shù)y=2x-2的圖象可以由y=2x的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到.圖象如圖2所示.(3)函數(shù)y=2-x的圖象由y=2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后得到;函數(shù)y=-2x的圖象由y=2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后得到;函數(shù)y=-2-x的圖象由y=2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后得到.圖象如圖3所示.圖1圖2圖3規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)圖象及其變換(1)明確影響指數(shù)函數(shù)圖象特征的關(guān)鍵是底數(shù).(2)平移變換(a>0且a≠1,φ>0),如圖1所示.圖1(3)對(duì)稱變換(a>0且a≠1),如圖2所示.圖2變式訓(xùn)練4畫(huà)出函數(shù)

的圖象,這個(gè)圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象寫(xiě)出它的值域和定義域嗎?而

和y=2x(x<0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由圖象可知值域是(0,1],定義域是R.角度3

指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【例5】

已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0且a≠1)的圖象一定過(guò)點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

(-1,4)解析

當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),f(x)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3恒過(guò)點(diǎn)(-1,4).規(guī)律方法

函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1),所以對(duì)于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,y,則點(diǎn)(x,y)即為所求.變式訓(xùn)練5[2023黑龍江哈爾濱南崗校級(jí)期末]函數(shù)y=a2x-2+3(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)

.

(1,4)解析

令2x-2=0,可得x=1,此時(shí)f(1)=a2-2+3=4,即函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,4).成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12341.(多選題)函數(shù)y=a-x(a>0且a≠1)的圖象可以是(

)5AB1