新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

第一章1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解空間向量基本定理,掌握空間向量正交分解的原理及坐標(biāo)表示;2.能用空間向量的坐標(biāo),進(jìn)行向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算;3.能用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1空間中向量的坐標(biāo)(1)一般地,如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個(gè)向量?jī)蓛纱怪?就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量p的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐標(biāo)分量(2)空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).體會(huì)坐標(biāo)運(yùn)算從平面到空間的推廣

向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+ba+b=

減法a-ba-b=

數(shù)乘λaλa=

數(shù)量積a·ba·b=

(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)(λx1,λy1,λz1)

x1x2+y1y2+z1z2特別地,①如果μ,v是兩個(gè)實(shí)數(shù),那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2);(3)空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則有a∥b?

(其中x1,y1,z1均不為0);a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.名師點(diǎn)睛1.若不明確x1y1z1≠0,則可以用以下結(jié)論進(jìn)行求解,即2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行記憶.過(guò)關(guān)自診1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a+2b等于(

)A.(16,0,4) B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)D解析

4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,則(

)D3.向量a=(2,-3,),b=(1,0,0),則cos<a,b>=

.

4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,則m=

.2解析

∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.知識(shí)點(diǎn)2空間直角坐標(biāo)系為了刻畫空間中點(diǎn)的位置,按照如下方式建立空間直角坐標(biāo)系:在空間中任意選定一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn),選擇合適的平面先建立平面直角坐標(biāo)系xOy,然后過(guò)O作一條與xOy平面

的數(shù)軸z軸.這樣建立的空間直角坐標(biāo)系記作Oxyz.

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,x軸、y軸、z軸是兩兩互相垂直的,它們都稱為坐標(biāo)軸;通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面,分別記為xOy平面、yOz平面、zOx平面.z軸的正方向一般按照如下方式確定:在z軸的正半軸看xOy平面,x軸的正半軸繞O點(diǎn)沿

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合.

垂直

逆

空間中建立了空間直角坐標(biāo)系之后,三個(gè)坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成了八個(gè)部分,如圖.每一部分都稱為一個(gè)卦限.命名體會(huì)傳統(tǒng)文化,四象生八卦

名師點(diǎn)睛1.空間中的點(diǎn)與三個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間,有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,空間一點(diǎn)M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)確定,因此將(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo),記作M(x,y,z).此時(shí),x,y,z都稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)分量,且x稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo)),y稱為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo)),z稱為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)(或z坐標(biāo)).2.八個(gè)卦限中的點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)也有一定的特點(diǎn):Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).過(guò)關(guān)自診1.點(diǎn)P(1,2,1)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(1,-2,1) B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,-2,-1)2.點(diǎn)A(0,-2,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是(

)A.在x軸上

B.在xOy平面內(nèi)C.在yOz平面內(nèi) D.在xOz平面內(nèi)AC解析

∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0,∴點(diǎn)A(0,-2,3)在yOz平面內(nèi).故選C.知識(shí)點(diǎn)3空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn),則

過(guò)關(guān)自診1.已知點(diǎn)A(-3,1,5)與點(diǎn)B(4,3,1),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(

)B2.[2023湖南祁東高二階段練習(xí)]已知點(diǎn)A(3,-1,0),若向量

=(2,5,-3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(

)A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3)B重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一空間向量坐標(biāo)的計(jì)算【例1】

[北師大版教材例題]已知向量a=(-1,-3,2),b=(1,2,0),求:(1)2a;(2)(a+2b)·(-2a+b).解

(1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).(2)因?yàn)閍+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2),-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4),所以(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3.規(guī)律方法

空間向量坐標(biāo)的計(jì)算技巧(1)直接代入公式計(jì)算首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái),然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.(2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量按坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái),然后通過(guò)建立方程組,解方程組求出其坐標(biāo).變式中的求參問(wèn)題便屬于這一類型題目.變式訓(xùn)練1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x=

.

2解析

據(jù)題意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.探究點(diǎn)二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因?yàn)?ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)變式探究若將本例改為“若ka-b與ka+2b互相垂直”,求k的值.解

由題意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4).∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,規(guī)律方法

1.判斷空間向量垂直或平行的步驟

2.求出參數(shù)值后還要再回歸到原題檢驗(yàn)解的可行性,解決平行或垂直時(shí)用的坐標(biāo),若含參數(shù)還要注意分類討論思想的應(yīng)用.變式訓(xùn)練2[2023河南高二階段練習(xí)]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2).(1)若a∥b,求x的值;(2)若(a+b)⊥c,求x的值.解

(1)∵a∥b,∴b=λa,(2)a+b=(-2,1,3+x).∵(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=0,∴-2-x+2(3+x)=0,∴x=-4.探究點(diǎn)三空間向量的夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算【例3】

[2023安徽高二階段練習(xí)]棱長(zhǎng)為2的正方體中,E,F分別是DD1,DB的中點(diǎn),G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,解決下列問(wèn)題:(1)求證:EF⊥B1C;(3)求FH的長(zhǎng).(1)證明

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,規(guī)律方法

通過(guò)分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,以便寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)便捷.對(duì)于正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標(biāo)系后,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo),把向量坐標(biāo)化,然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問(wèn)題.變式訓(xùn)練3如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng);解

已知∠BCA=90°,如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)6B因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn),則點(diǎn)B坐標(biāo)為(9,1,1).123452.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-2,1,4)關(guān)于點(diǎn)M(2,-1,-4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)6C解析

設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3,則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn),設(shè)P3(x,y,z),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).123453.(多選題)已知a=(2,-3,1),則下列向量中不與a平行的是(

)A.(1,1,