適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數學一輪總復習第三章函數與基本初等函數第八節(jié)函數與方程課件

第八節(jié)函數與方程第三章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.理解函數的零點與方程的根的關系.2.理解函數零點存在定理,并能進行簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解.1.函數零點所在區(qū)間的判定2.函數零點個數的判定3.函數零點存在定理的應用數學抽象邏輯推理直觀想象數學建模強基礎增分策略知識梳理1.函數的零點(1)函數零點的定義對于一般函數y=f(x),我們把使

的實數x叫做函數y=f(x)的零點.

(2)幾個等價關系數形結合方法的依據

f(x)=0方程f(x)=0有實數解?函數y=f(x)有零點?函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點.微點撥函數的零點是一個實數,是使函數值等于0的自變量的值,它不是函數y=f(x)的圖象與x軸的公共點,而是公共點的橫坐標,也就是說,函數的零點不是一個點,而是一個實數.2.函數零點的判定(函數零點存在定理)如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有

,那么,函數y=f(x)在區(qū)間

內至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得

,這個

也就是方程f(x)=0的解.

f(a)f(b)<0(a,b)f(c)=0c微思考如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點,那么一定有f(a)f(b)<0嗎?提示

不一定.例如,函數f(x)=x2-1在區(qū)間[-2,2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且在區(qū)間(-2,2)內有零點,但f(-2)f(2)>0.事實上,如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點”的充分不必要條件.3.二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關系

類型Δ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的公共點

無公共點零點個數

(x1,0),(x2,0)(x1,0)2104.二分法的定義

求函數零點近似值的一種方法

對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在的區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.常用結論1.在區(qū)間D上單調的函數在該區(qū)間內至多有一個零點.2.連續(xù)不斷的函數,其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.3.連續(xù)不斷的函數,其圖象通過零點時,函數值可能變號,也可能不變號.4.若f(x)=g(x)-h(x),則函數f(x)零點的個數就是函數g(x),h(x)圖象交點的個數.對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數f(x)=4-x2的兩個零點是(-2,0)和(2,0).(

)(2)如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且f(a)f(b)>0,則y=f(x)在(a,b)內一定沒有零點.(

)(3)奇函數若存在零點,則零點個數不一定為奇數.(

)(4)若函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù)不斷,并且有f(a)f(b)<0,那么函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一的零點.(

)√×××答案

C

解析

因為函數y=ax+b的圖象經過點(2,0),所以2a+b=0,即b=-2a,所以y=bx2-ax=-2ax2-ax,令-2ax2-ax=0,解得x1=0,x2=-,所以函數y=bx2-ax的零點是0和-.2.若函數y=ax+b(a≠0)的圖象經過點(2,0),則函數y=bx2-ax的零點是(

)3.已知f(x)是定義域為R的奇函數,且在(0,+∞)內的零點有2022個,則f(x)的零點的個數為(

)A.2022 B.4043C.4044 D.4045答案

D

解析

因為f(x)是定義域為R的奇函數,且在(0,+∞)內的零點有2

022個,所以f(x)在(-∞,0)內的零點也有2

022個,又因為f(0)=0,所以f(x)的零點個數為4

045,故選D.增素能精準突破考點一函數零點所在區(qū)間的判定典例突破例1.函數f(x)=ex+x-2的零點所在區(qū)間為(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案

B

突破技巧判斷函數零點所在區(qū)間的方法(1)利用函數零點存在定理:即通過驗證函數在區(qū)間端點處的函數值是否異號來判斷該區(qū)間內是否存在零點.(2)數形結合法:通過畫出函數的圖象,觀察圖象與x軸公共點所在的區(qū)間進行判定.對點訓練1(2022福建龍巖模擬)已知函數f(x)=lgx+2x-7的零點在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)內,則k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案C

解析因為函數f(x)的定義域為(0,+∞),且它在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增,所以函數f(x)至多有一個零點.又f(3)=lg

3-1<0,f(4)=lg

4+1>0,所以f(x)的零點在區(qū)間(3,4)內,故k=3.考點二函數零點個數的判定典例突破例2.(1)函數f(x)=sin2x-cosx在區(qū)間[0,3π]上的零點個數為(

)A.8 B.7 C.6 D.5(2)函數f(x)=|x-4|-的零點的個數為(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

(1)B

(2)D

突破技巧函數零點個數的判斷方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的個數即為零點的個數;(2)函數零點存在定理法:若函數在[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0,可結合函數的性質(如單調性、奇偶性等)確定零點的個數;(3)圖象交點法:將函數構造為兩函數的差,畫出兩個函數的圖象,其交點的個數就是原函數零點的個數;(4)換元法:形如f(g(x))的函數,可先令g(x)=t,求得f(t)=0時t的值,再根據g(x)的圖象及性質確定g(x)=t時x的值的個數,即f(g(x))的零點的個數.對點訓練2(2022四川成都七中三模)已知函數f(x)=則函數y=f(x)-ln(x-1)的零點個數是

.

答案

3解析函數y=f(x)-ln(x-1)的零點個數等價于函數f(x)與y=ln(x-1)圖象的交點個數,在同一平面直角坐標系中,分別作出函數f(x)與y=ln(x-1)的圖象,如圖.由圖可知,函數f(x)與y=ln(x-1)的圖象有3個交點,故函數y=f(x)-ln(x-1)的零點個數為3.考點三函數零點的應用(多考向探究)考向1.根據零點個數求參數典例突破例3.(2022江蘇蘇州模擬)已知函數f(x)=ln|x|-|x-1|,若函數y=f(x)-m有三個零點,則實數m的值為

.

答案

-2解析

函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).所以函數f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調遞減,此時f(x)max=f(1)=0;所以函數f(x)在區(qū)間(-∞,-1)內單調遞增,在區(qū)間(-1,0)內單調遞減,且f(-1)=-1-1=-2.作出函數f(x)的圖象,如圖所示.顯然,當m=-2時,直線y=m與函數f(x)的圖象有三個交點,即函數y=f(x)-m有三個零點.突破技巧已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數范圍;(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數的值域問題進行求解;(3)數形結合法:先對解析式變形,進而構造兩個函數,然后在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象,利用數形結合的方法求解.對點訓練3已知函數f(x)=若方程f(x)=k有且僅有兩個不等實根,則實數k的取值范圍是(

)A.(1,3) B.[1,3) C.(0,3) D.(-∞,3)B考向2.根據零點范圍求參數典例突破例4.已知函數f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內,則實數a的取值范圍是(

)A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案

C

解析

由題意得f(x)在(0,+∞)上單調遞增,則f(1)f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3,故選C.名師點析根據零點范圍求參數的方法(1)直接法:直接求出函數的零點,將零點用參數表示,解關于參數的不等式即得參數的取值范圍;(2)利用函數零點存在定理:分析函數的性質,利用函數零點存在定理求解;(3)數形結合法:針對兩個函數,在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象,利用數形結合的方法求解.A.[-1,0) B.(-1,0] C.[0,1] D.[0,1)B考向3.研究零點的性質典例突破答案

ABC突破技巧研究函數零點的性質的方法(1)數形結合是基本思路,通過函數圖象,發(fā)現零點的個數、零點的取值范圍以及零點之間的