《高等數(shù)學(xué)與工程數(shù)學(xué)》課件第八章　典型習(xí)題解答與提示

第八章多元函數(shù)積分學(xué)典型習(xí)題解答與提示習(xí)題8-11．（1）；（2）。2．提示：利用。3．（1）小于零；（2）零；（3）大于零；（4）大于零。4．（1）利用估值不等式易于發(fā)現(xiàn)，當在邊界時，函數(shù)取得最小值和最大值，已知，故，即，，所以；（2）提示，，，故。5．（1）0；（2）0；（3）。習(xí)題8-21．（1）；（2）9；（3）；（4）0。2．（1）；（2）；（3）令，，令，則，；（4）；（5）。3．。4．（1）；（2）；（3）；5（4）區(qū)域D用不等式組表示，，所以；（5）提示：區(qū)域D用不等式組表示，，故原式；（6）區(qū)域D用不等式組表示，，其中，因此。5．圖略（1）；（2）；（3）；（4）。6．（1）；（2）；（3）。7．（1）；（2）；（3）化為極坐標形式，，注意到，則；（4）變換成極坐標，，；（5）變換成極坐標，，；（6）變換成極坐標，，。習(xí)題8-31．（1）兩個曲面的交線在面的投影曲線，就是區(qū)域D的邊界曲線，因此，可以從上面兩個方程中消去而得到，即。所以立體體積可以看作兩個有同底的曲頂柱體體積之差，一個是以拋物柱面為頂?shù)那斨w，一個是以橢圓拋物面為頂?shù)那斨w，所以；（2）所求體積V是以區(qū)域D的圓為底，以為頂?shù)那斨w體積，即；（3）所求體積V是以區(qū)域D的圓為底，以旋轉(zhuǎn)拋物面為頂?shù)那斨w的體積，即；（4）所求體積V是以區(qū)域D的圓與圓所圍平面區(qū)域為底，以旋轉(zhuǎn)拋物面為頂?shù)那斨w體積，即。2．（1）因為，所以的面積A為（設(shè)），，，故重心為；（2）D的面積（設(shè)），根據(jù)對稱性，有，故所求重心為；（3）設(shè)密度函數(shù)（為比例常數(shù)）則D的質(zhì)量M為，，根據(jù)對稱性，，故重心坐標為。（4）設(shè)，則的面積A為（設(shè)），由于D是關(guān)于直線對稱的，故，故重心為；（5）取坐標系如圖8-11，設(shè)面密度為，由于重心落在圓心上，圖8圖8-11習(xí)題2(5)示意即有，所以。習(xí)題8-4略習(xí)題8-51．（1）；（2）；（3）6；（4）；（5）設(shè)扇形中圓弧在軸上的端點為B，另一個為A，圓心為原點O，；（6）。2．（1）；（2）為，，為，；（3）；（4）該段直線方程為，，；（5）矩形四邊方程依次為為，；為，；為，；為，。。3．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）設(shè)B在軸上的投影為A，，，所包圍的區(qū)域為D，取又因為，所以。4．（1）；（2）。5．（1）積分與路徑無關(guān)，原式；（2）積分與路徑無關(guān)，原式；（3）積分與路徑無關(guān)，原式。習(xí)題8-61．（1）D[x^3*y–y^3*x,x]D[x^3*y–y^3*x,y]（2）D[(1+x*y)^y,x]D[(1+x*y)^y,y]2．（1）D[x^4+y^4–4x^2*y^2,x,x]D[x^4+y^4–4x^2*y^2,y,y]D[x^4+y^4–4x^2*y^2,x,y]（2）D[y^x,x,x]D[y^x,y,y]D[y^x,x,y]3．（1）Integrate[x*y^(1/2),{x,0,1},{y,x^2,x^(1/2)}]（2）Integrate[x^2/y^2,{x,1,2},{y,1/x,x}]（3）Integrate[x^2+y^2–x,{y,0,2},{x,y/2,y}]復(fù)習(xí)題八1．（1）；（2）；（3）；（4）。圖8-12圖8-12復(fù)習(xí)題2(1)積分區(qū)域，則。若，其中；則；（2），則若，其中，；則；（3）求交點解得，若，則若，其中，；圖8-13圖8-13復(fù)習(xí)題3(1)積分區(qū)域3．（1）已知由，所圍，如圖8-13所示，故有，則；圖8-14圖8-14復(fù)習(xí)題3(4)積分區(qū)域（3）；（4）已知。即有，如圖8-14所示，其中；。故。4．（1）9；（2）；（3）解得交點與，，圖8-15圖8-15復(fù)習(xí)題4(4)積分區(qū)域（4），如圖8-15所示。；（5），；（6），即，，。5．（1）立體在面上之投影區(qū)域D為，曲頂為，；（2）立體在平面上的投影區(qū)域，。6．略。7．（1），由0到1，，；（