專題09計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國(guó)卷）

2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國(guó)卷）專題09計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一統(tǒng)計(jì)考向二概率考向三隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望②真題考查解讀③近年真題對(duì)比考向一統(tǒng)計(jì)考向二概率考向三隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯(cuò)易混速記考向一統(tǒng)計(jì)一、解答題1．（2023·全國(guó)乙卷理數(shù)第17題）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）【答案】(1)，；(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【詳解】（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有,所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.2．（2023·全國(guó)甲卷文數(shù)第19題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，【答案】(1)(2)（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能【詳解】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.考向二概率一、單選題1．（2023·全國(guó)乙卷理數(shù)第5題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閰^(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角，結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率.故選：C.

2．（2023·全國(guó)乙卷文數(shù)第9題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表：乙甲123456123456共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個(gè)，因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率.故選：A3．（2023·全國(guó)甲卷文數(shù)第4題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.4．（2023·全國(guó)甲卷理數(shù)第6題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（

）【答案】A【詳解】同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率為，記“該同學(xué)愛(ài)好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛(ài)好滑冰”為事件，則，所以.故選:.考向三隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望一、單選題1．（2023·全國(guó)乙卷理數(shù)第7題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種 【答案】C【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.2．（2023·全國(guó)甲卷理數(shù)第9題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【詳解】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.二、解答題3．（2023·全國(guó)甲卷理數(shù)第19題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.【命題意圖】1．用樣本估計(jì)總體（1）了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn).（2）理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.（3）能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋.（4）會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.（5）會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2．統(tǒng)計(jì)案例了解下列一些常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.（2）回歸分析了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.3．古典概型（1）理解古典概型及其概率計(jì)算公式.（2）會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.4．隨機(jī)數(shù)與幾何概型（1）了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.（2）了解幾何概型的意義.5．隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（1）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.（2）理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.（3）了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（4）理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.（5）利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【考查要點(diǎn)】本專題內(nèi)容主要考查排列組合，二項(xiàng)式定理，隨機(jī)抽樣，用樣本估計(jì)總體，變量的相關(guān)性，隨機(jī)事件的概率，古典概型，幾何概型，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差、正態(tài)分布等內(nèi)容。用樣本估計(jì)總體，古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差是高考重點(diǎn)，考查的能力是應(yīng)用回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力。高考試題強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性，以實(shí)際問(wèn)題為背景，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，突出考查統(tǒng)計(jì)與概率的思想和數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識(shí)。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要立足課本基礎(chǔ)知識(shí)，在“變式”上下功夫，力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通，只有這樣，才能“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，達(dá)到事半功倍的效果。同時(shí)，本專題題目多以生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題為背景，閱讀量大，首先根據(jù)文宇信息、圖表信息了解考查的知識(shí)點(diǎn)，再結(jié)合考查目標(biāo)，理解圖文的內(nèi)在含義，最后整合有效信息，明確數(shù)據(jù)關(guān)系。應(yīng)用題的考查，加大了對(duì)考生閱讀能力的要求，對(duì)題目的準(zhǔn)確理解，找到數(shù)學(xué)模型，是解答題目的關(guān)鍵．考生應(yīng)該把近幾年各地高考及模擬題歸類分析，強(qiáng)化訓(xùn)練。【得分要點(diǎn)】高頻考點(diǎn)：隨機(jī)事件與概率，統(tǒng)計(jì)圖表，用樣本估計(jì)總體；中頻考點(diǎn)：兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，排列組合，二項(xiàng)式定理，一元線性回歸模型，2×2列聯(lián)表，離散型隨機(jī)變量及其分布列；低頻考點(diǎn)：隨機(jī)事件的條件概率，正態(tài)分布，隨機(jī)抽樣，成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，與數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等其他知識(shí)的結(jié)合?？枷蛞唤y(tǒng)計(jì)一、單選題1．（2022·全國(guó)乙卷文數(shù)第4題）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）B．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為，A選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：，B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，D選項(xiàng)結(jié)論正確.故選：C2．（2022·全國(guó)甲卷理數(shù)第2題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).故選:B.3．（2021·全國(guó)甲卷文數(shù)第2題/理數(shù)第2題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%【答案】C【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.,故A正確；,故B正確；,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為(萬(wàn)元)，超過(guò)6.5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.二、解答題1．（2022·全國(guó)乙卷文數(shù)第19題/理數(shù)第19題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積材積量并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)；(2)(3)【詳解】（1）樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為2．（2022·全國(guó)甲卷文數(shù)第17題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？附：，【答案】(1)A，B兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，(2)有【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān).3．（2021·全國(guó)乙卷文數(shù)第17題/理數(shù)第17題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備新設(shè)備舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.4．（2021·全國(guó)甲卷文數(shù)第17題/理數(shù)第17題）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：k【答案】（1）75%；60%；（2）能.【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.考向二概率一、單選題1．（2022·全國(guó)乙卷理數(shù)第10題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大【答案】D【詳解】該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為則；記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，則記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為則則即，，則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D2．（2022·全國(guó)甲卷文數(shù)第6題）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無(wú)序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.3．（2021·全國(guó)乙卷文數(shù)第7題）在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)“區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對(duì)應(yīng)集合為：，區(qū)間長(zhǎng)度為，“取到的數(shù)小于”，對(duì)應(yīng)集合為：，區(qū)間長(zhǎng)度為，所以．故選：B．4．（2021·全國(guó)乙卷理數(shù)第8題）在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示：

設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，其面積為．設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋磮D中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B.5．（2021·全國(guó)甲卷文數(shù)第10題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

） 【答案】C【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.6．（2021·全國(guó)甲卷理數(shù)第10題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.二、填空題7．（2022·全國(guó)乙卷文數(shù)第14題/理數(shù)第13題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：8．（2022·全國(guó)甲卷理數(shù)第15題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．【答案】.【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．考向三隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望一、單選題1．（2021·全國(guó)乙卷理數(shù)第6題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.二、解答題2．（2022·全國(guó)甲卷理數(shù)第19題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為0102030期望.1.本部分內(nèi)容為高考熱點(diǎn)，一般以課程學(xué)習(xí)情境與生活實(shí)踐情境來(lái)考查，全國(guó)甲、乙卷難度較小，解答題的難度有所減少，重在考查考生的邏輯思維能力以及對(duì)事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力。2.排列組合、二項(xiàng)式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計(jì)總體等等主要以選擇題、填空題考查，解答題常利用排列組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問(wèn)題，注意概率和其他知識(shí)的綜合考查。3.常用公式法和排列組合知識(shí)處理小題，注意邏輯推理的靈活運(yùn)用。4.邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力是本專題考查的關(guān)鍵能力。重點(diǎn)考查知識(shí)的應(yīng)用性與基礎(chǔ)性，考查的學(xué)科素養(yǎng)為理性思維，數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索。一、單選題1．（2023·陜西寶雞二模）Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購(gòu)買(mǎi)等一站式運(yùn)動(dòng)解決方案．Keep可以讓你隨時(shí)隨地進(jìn)行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進(jìn)程．不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計(jì)劃．小張根據(jù)Keep記錄的2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D．1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小【答案】A【詳解】由折線圖可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正確；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故B正確；月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；1月到5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確．故選:A．2．（2023·廣東東莞三模）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變更，最多相差一兩天.”中國(guó)農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月的六個(gè)節(jié)氣中任選兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣不在同一個(gè)月的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，從五月、六月、七月的六個(gè)節(jié)氣中任選兩個(gè)節(jié)氣，∴基本事件有個(gè)，其中任取兩個(gè)在同一個(gè)月的有3個(gè)，∴這兩個(gè)節(jié)氣不在同一個(gè)月的概率為：，故選：A.3．（2023·貴州遵義三模）下圖是2013-2020年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）和國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占總教育經(jīng)費(fèi)占比的統(tǒng)計(jì)圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．2019年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)和國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占總教育經(jīng)費(fèi)占比均最低B．國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)逐年增加C．國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占比逐年增加D．2020年國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)是2014年的兩倍【答案】B【詳解】對(duì)于A，顯然國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)逐年增加，最低不是2019年，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)占比在2015年至2019年逐年下降，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2014年與2020年的國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)分別為大約250000000萬(wàn)元和不到450000000萬(wàn)元，顯然不滿足后者是前者的2倍的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.故選：B4．（2023·河南·襄城三模）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，方差是1.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2再加上1，得到一組新數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（

） 【答案】D【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為，變化后的數(shù)據(jù)為，，則平均數(shù)，方差，故選:D．5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）南沿江高鐵即將開(kāi)通，某小區(qū)居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過(guò)市區(qū)，路程較短但交通擁擠，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②騎共享單車(chē)到地鐵站，乘地鐵前往，路程長(zhǎng)，但意外阻塞較少，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布.該小區(qū)的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時(shí)到達(dá)車(chē)站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（

）A．①?① B．①?② C．②?① D．②?②【答案】C【詳解】由正態(tài)分布的區(qū)間概率知，，令路線①所需時(shí)間，路線②所需時(shí)間對(duì)于甲：有分鐘可走，走第一條路線：故，走第二條路線：則，所以，所以應(yīng)選擇路線②；對(duì)于乙：有分鐘可走，走第二條路線：走第一條路線：則，所以，所以選擇路線①.故選：C6．（2023·四川涼山·三模）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為1，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為（

）A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1【答案】A【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為4，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為1，所以樣本數(shù)據(jù)的方差為.故選：A兩個(gè)代表團(tuán)已經(jīng)入住甲賓館且不再安排其他代表團(tuán)入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】A【詳解】甲賓館不再安排代表團(tuán)入住，則乙?丙兩家賓館需安排余下的3個(gè)代表團(tuán)入住，所以一個(gè)賓館住1個(gè)代表團(tuán)，另一個(gè)賓館住2個(gè)代表團(tuán).共有種方法，故選：A8．（2023·河南三模）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，依題意得，得.故選：C9．（2023·北京海淀三模）現(xiàn)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選取兩人加入“數(shù)學(xué)興趣小組”，用A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則在已知A事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，則,表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則,故,故選：A10．（2023·上海嘉定三模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。喝绻星抑挥幸粋€(gè)是假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【詳解】因?yàn)?、均等價(jià)于，由題意可得：乙、丙均為真命題，且，對(duì)于甲：因?yàn)?，故甲為真命題；對(duì)于?。阂?yàn)椋识榧倜}；故選：D.11．（2023·河南·襄城三模）已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是672，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，∴常數(shù)項(xiàng)是，故．故選：C12．（2023·北京海淀三模）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．1 B．3 C．6 D．12【答案】C【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的第項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.13．（2023·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟(jì)南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并制作出如下等高條形圖．根據(jù)圖中（歲以上含歲）的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定正確的是（

）

A．男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)B．關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是歲以上C．歲以下的男性人數(shù)比歲以上的女性人數(shù)多D．歲以上的人對(duì)地鐵建設(shè)關(guān)注度更高【答案】C【詳解】由等高條形圖可得：對(duì)于A：由左圖知，樣本中男性數(shù)量多于女性數(shù)量，從而男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；對(duì)于B：由右圖知女性中歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是歲以上，從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是歲以上，故B正確；對(duì)于C：由左圖知男性人數(shù)大于女性人數(shù)，由右圖知?dú)q以下的男性占男性人數(shù)比歲以上的女性占女性人數(shù)的比例少，無(wú)法判斷歲以下的男性人數(shù)與歲以上的女性人數(shù)的多少，故C不一定正確；對(duì)于D：由右圖知樣本中歲以上的人對(duì)地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確．故選：C．14．（2023·山東菏澤三模）2023年春節(jié)在北京工作的五個(gè)家庭，開(kāi)車(chē)搭伴一起回老家過(guò)年，若五輛車(chē)分別為，五輛車(chē)隨機(jī)排成一排，則車(chē)與車(chē)相鄰，車(chē)與車(chē)不相鄰的排法有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】A【詳解】將車(chē)與車(chē)?yán)υ谝黄甬?dāng)一個(gè)元素使用，有種捆法，將除車(chē)外的個(gè)元素全排，有種排法，將車(chē)插入，不與車(chē)相鄰，又種插法，故共有種排法.故選：A15．（2023·河南三模）某小學(xué)從2位語(yǔ)文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，且至少有1位語(yǔ)文教師入選，則不同安排方法有（

）種．A．16 B．20 C．96 D．120【答案】C【詳解】從2位語(yǔ)文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個(gè)省支教，每個(gè)省各1人，有種，其中沒(méi)有語(yǔ)文教師入選的有種，所以滿足條件的不同安排方法有種.故選：C16．（2023·福建福州三模）廈門(mén)市博物館由廈門(mén)博物館主館、鄭成功紀(jì)念館、廈門(mén)經(jīng)濟(jì)特區(qū)紀(jì)念館、廈門(mén)市文化遺產(chǎn)保護(hù)中心、破獄斗爭(zhēng)陳列館、陳化成紀(jì)念館、陳勝元故居七個(gè)館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個(gè)館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種【答案】A【詳解】若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選一個(gè)：種，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選二個(gè)：種，故若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有種方案.故選：A.17．（2023·湖南益陽(yáng)三模）某個(gè)單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（

）A．504種 B．960種 C．1008種 D．1200種【答案】C【詳解】依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).因此滿足題意的方法共有(種).故選：C.18．（2023·四川瀘州三模）中國(guó)古代的五經(jīng)是指：《詩(shī)經(jīng)》、《尚書(shū)》、《禮記》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書(shū)作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒(méi)有選《詩(shī)經(jīng)》，乙也沒(méi)選《春秋》，則名同學(xué)所有可能的選擇有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【詳解】因?yàn)榧?、乙都沒(méi)有選《詩(shī)經(jīng)》，乙也沒(méi)選《春秋》，則乙可在《尚書(shū)》、《禮記》、《周易》三種書(shū)中選擇一種，甲可在除《詩(shī)經(jīng)》外的三種書(shū)中任選一種，其余三種書(shū)可任意排序，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選擇種數(shù)為.故選：D.19．（2023·河北衡水三模）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月在杭州舉行，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館（杭州奧體中心主體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對(duì)外免費(fèi)開(kāi)放預(yù)約期間，甲、乙、丙、丁4人預(yù)約參觀，且每人預(yù)約了1個(gè)或2個(gè)館，則這4人中每個(gè)館恰有2人預(yù)約的不同方案有（

）A．76種 B．82種 C．86種 D．90種【答案】D【詳解】由題意知這4人中恰有2人均預(yù)約了2個(gè)館，剩下2人均預(yù)約了1個(gè)館，首先將4人分成2組，有種不同的分法，下面分2種情況：若預(yù)約2個(gè)館的2人預(yù)約完全相同，有種不同的結(jié)果；若預(yù)約2個(gè)館的2人有預(yù)約1館相同，有種不同的結(jié)果，所以每個(gè)館恰有2人預(yù)約的不同方案有種．故選：D.20．（2023·福建寧德二模）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況,則有：種方法；兩位女教師分派到同一個(gè)地方根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：種方法；若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；故一共有：種分派方法,這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的概率為.故選：二、填空題21．（2023·上海閔行三模）分別拋鄭3枚質(zhì)地均勻的硬幣，則等可能事件的樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是．【答案】8【詳解】每枚硬幣都有2種情況，即正面和反面，則分別拋擲3枚硬幣，（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），所有，故答案為：8．22．（2023·四川南充三模）一個(gè)高中研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)2020年至2022年菜鳥(niǎo)驛站發(fā)展情況進(jìn)行了調(diào)查，制成了該地區(qū)菜鳥(niǎo)驛站站點(diǎn)個(gè)數(shù)情況的條形圖和菜鳥(niǎo)驛站各站點(diǎn)年快遞收發(fā)數(shù)量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信息可以得出這三年中該地區(qū)菜鳥(niǎo)驛站每年平均收發(fā)快遞萬(wàn)件.【答案】1400【詳解】由圖可知，三年共收發(fā)快遞萬(wàn)件，所以這三年中該地區(qū)菜鳥(niǎo)驛站每年平均收發(fā)快遞萬(wàn)件.故答案為：1400.23．（2023·新疆阿勒泰三模）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中取出三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，其中為直角三角形的概率為．【答案】【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中取出3個(gè)，共有種取法.正方體有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面，它們都是矩形(包括正方形)而每一個(gè)矩形中都有4個(gè)直角三角形，所以共有個(gè)直角三角形.故構(gòu)成直角三角形的概率為.故答案為：.24．（2023·廣東廣州三模）算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)的“珠算”工具．下圖是一把算盤(pán)，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百位、，上面一粒珠（簡(jiǎn)稱上珠）代表數(shù)字，下面一粒珠（簡(jiǎn)稱下珠）代表數(shù)字，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個(gè)位和十位這兩組中隨機(jī)選擇往下?lián)芤涣Ｉ现?，往上撥粒下珠，則算盤(pán)表示的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了和本身沒(méi)有其它的約數(shù)）的概率是.

【答案】【詳解】由題意可知，算盤(pán)所表示的數(shù)可能有：、、、、、，其中是質(zhì)數(shù)的有：、，故所求事件的概率為.故答案為：25．（2023·甘肅武威三模）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次代表大會(huì)勝利閉幕，某高中學(xué)校在學(xué)生中開(kāi)展了“學(xué)精神，悟思想，談收獲”的二十大精神宣講主題活動(dòng)．為了解該校學(xué)生參加主題學(xué)習(xí)活動(dòng)的具體情況，校團(tuán)委利用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取了260人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中高一、高二年級(jí)各抽取了85人．已知該校高三年級(jí)共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生人．【答案】【詳解】利用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取了260人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中高一、高二年級(jí)各抽取了85人，可得高三年級(jí)共有90人，又由高三年級(jí)共有720名學(xué)生，則每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為，設(shè)該校共有名學(xué)生，可得，解得（人），即該校共有名學(xué)生.故答案為：.26．（2023·廣東珠海三模）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者到游泳?射擊?體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法共有種.【答案】24【詳解】當(dāng)游泳場(chǎng)地安排2人時(shí)，則不同的安排方法有種，當(dāng)游泳場(chǎng)地安排1人時(shí)，則不同的安排方法有種，由分類加法原理可知共有種，故答案為：2427．（2023·河南南陽(yáng)三模）為了響應(yīng)全國(guó)創(chuàng)文明城活動(dòng)，某單位計(jì)劃安排五名員工分別去三個(gè)小區(qū)參加志愿者服務(wù)，每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1人，員工甲不去小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)共有種．【答案】100【詳解】五名員工分別去三個(gè)小區(qū)A，B，C參加志愿者服務(wù)，每個(gè)員工只去一個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1人，則有和兩種情況，共有種情況，員工甲去三個(gè)小區(qū)的可能性相同，所以共有種情況.故答案為：10028．（2023·上海嘉定三模）4名志愿者全部分到3所學(xué)校支教，要求每所學(xué)校至少有1名志愿者，則不同的分法共有種.【答案】36【詳解】先選兩名志愿者看成一個(gè)整體，共有種，再與剩余志愿者一起排列，共有種，所以不同的分法共有種.故答案為：36.29．（2023·四川成都三模）從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為．【答案】【詳解】從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，有個(gè)三角形，其中直角三角形如圖每邊對(duì)應(yīng)2個(gè)，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12個(gè)，所以所求概率為．故答案為：．30．（2023·山東菏澤三模）已知某學(xué)校高三數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)服從正態(tài)分布，已知成績(jī)落在的概率為0.4，數(shù)學(xué)考試滿分150分，該學(xué)校高三有學(xué)生800人，則考試成績(jī)140分以上的學(xué)生大約有人．【答案】【詳解】設(shè)學(xué)生成績(jī)?yōu)?，則，則，因?yàn)?，所以，所以，則考試成績(jī)140分以上的學(xué)生大約有（人）.故答案為：.31．（2023·福建寧德二模）若隨機(jī)變量，且，則．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，.故答案為：.32．（2023·天津?yàn)I海三模）若的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16，則展開(kāi)式中的系數(shù)為.【答案】【詳解】因的展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16，則.則展開(kāi)式中第項(xiàng)為.令可得，則的系數(shù)為.故答案為：33．（2023·湖南長(zhǎng)沙三模）每年高考結(jié)束后，各大高校會(huì)進(jìn)入長(zhǎng)沙的高中校園組織招生宣傳.某中學(xué)高三年級(jí)的3名男生、2名女生去參加A，B兩所高校的志愿填報(bào)咨詢會(huì)，每個(gè)學(xué)生只能去其中的一所學(xué)校，且要求每所學(xué)校都既有男生又有女生參加，則不同的安排方法數(shù)是．【答案】12【詳解】第一步：先將3名男生分成兩組，再分配到兩所高校，共有種；第二步：將2名女生分配到兩所高校，共有種；所以不同的安排方法有：種.故答案為：12.34．（2023·河北張家口三模）展開(kāi)式中的系數(shù)是.【答案】【詳解】，的通項(xiàng)公式為，，所以展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：.35．（2023·福建寧德二模）若，且，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【詳解】由題意，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，其中，又展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，于是有解，結(jié)合，，可知，此時(shí)，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：36．（2023·安徽馬鞍山三模）甲、乙等6名同學(xué)報(bào)名參加4個(gè)社區(qū)的服務(wù)工作，每人只能選一個(gè)社區(qū)，則甲、乙選到同一個(gè)社區(qū)的概率為．【答案】【詳解】設(shè)4個(gè)社區(qū)分別為A、B、C、D，由題意，每名同學(xué)去A、B、C、D這4個(gè)社區(qū)任意一個(gè)的事件相互獨(dú)立，甲同學(xué)有4中情況，乙同學(xué)也有4中情況，根據(jù)分布乘法共有種情況.如甲乙到同一社區(qū)，則有A、B、C、D，4個(gè)社區(qū)中選擇一個(gè)共4種情況.故甲、乙選到同一個(gè)社區(qū)的概率為，故答案為：.37．（2023·江西師大附中三模）城市地鐵極大的方便了城市居民的出行，南昌地鐵號(hào)線是南昌市最早建成并成功運(yùn)營(yíng)的一條地鐵線．已知號(hào)地鐵線的每輛列車(chē)有節(jié)車(chē)廂，從月日起實(shí)行“夏季運(yùn)行模式”，其中節(jié)車(chē)廂開(kāi)啟強(qiáng)冷模式，節(jié)車(chē)廂開(kāi)啟中冷模式，節(jié)車(chē)廂開(kāi)啟弱冷模式．現(xiàn)在有甲、乙人同一時(shí)間同一地點(diǎn)乘坐同一趟地鐵列車(chē)，由于個(gè)人原因，甲不選擇強(qiáng)冷車(chē)廂，乙不選擇弱冷車(chē)廂，但他們都是獨(dú)立而隨機(jī)的選擇一節(jié)車(chē)廂乘坐，則甲、乙人不在同一節(jié)車(chē)廂的概率為．【答案】【詳解】不妨設(shè)、號(hào)為強(qiáng)冷車(chē)廂，、號(hào)為中冷車(chē)廂，、號(hào)弱冷車(chē)廂，則甲可去、、、號(hào)車(chē)廂，乙可去、、、號(hào)車(chē)廂，用表示甲去的車(chē)廂號(hào)，表示乙去的車(chē)廂號(hào)，表示甲乙兩人的一種選擇，所有的基本事件為：，一共有個(gè)基本事件．其中同在一個(gè)車(chē)廂有種，不在同一車(chē)廂有種情況，所以甲乙不在同一車(chē)廂的概率為．故答案為：.38．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽(yáng)明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則.【答案】【詳解】由題意可知，4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)，總事件數(shù)為，事件的總數(shù)為，則，事件和事件同時(shí)發(fā)生，即“甲去了九嶷山，另外3人去了另外3個(gè)不同的景點(diǎn)”則事件的總數(shù)為，所以，所以，故答案為：元.【答案】2【詳解】設(shè)每張彩票的中獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量，則.由題意可知，，，，，，所以.所以，的分布列為0210501001000所以，.故答案為：2.40．（2023·海南?？诙＃┡R近春節(jié)，某校書(shū)法愛(ài)好小組書(shū)寫(xiě)了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長(zhǎng)聯(lián)和短聯(lián)兩種，無(wú)論是長(zhǎng)聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過(guò)調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長(zhǎng)聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書(shū)法愛(ài)好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為．【答案】15120【詳解】4副長(zhǎng)聯(lián)內(nèi)容不同，贈(zèng)送方法有種；從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈(zèng)送給乙戶老人，有種方法，再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈(zèng)送給三戶老人，方法種數(shù)為．所以所求方法種數(shù)為．故答案為：.三、解答題41．（2023·海南三模）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，猴痘病毒與天花病毒有共同抗原，兩者之間有很強(qiáng)的血清交叉反應(yīng)和交叉免疫，故猴痘流行的時(shí)候可接種牛痘疫苗預(yù)防.某醫(yī)學(xué)研究機(jī)構(gòu)對(duì)120個(gè)接種與未接種牛痘疫苗的密切接觸者進(jìn)行醫(yī)學(xué)觀察后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種牛痘疫苗2030已接種牛痘疫苗1060(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)在未接種牛痘疫苗和已接種牛痘疫苗的情況下，感染猴痘病毒的概率；(2)是否有的把握認(rèn)為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)？附：.【答案】(1)(2)有的把握認(rèn)為密切接觸者末感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān).【詳解】（1）由題意可知，末接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為已接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為.（2）列聯(lián)表如下感染猴痘病毒未感染猴痘病毒合計(jì)未接種牛痘疫苗203050已接種牛痘疫苗106070合計(jì)3090120則，所以有的把握認(rèn)為密切接觸者末感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān).42．（2023·貴州黔東南模擬預(yù)測(cè)）二十四節(jié)氣起源于黃河流域，是古代中國(guó)勞動(dòng)人民長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)的積累和智慧的結(jié)晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四節(jié)氣農(nóng)歷11月和12月的節(jié)氣口訣.某中學(xué)為調(diào)查本校學(xué)生對(duì)二十四節(jié)氣的了解情況，組織測(cè)試活動(dòng)，按照性別分層抽樣抽取了150名學(xué)生進(jìn)行答題，其中男生占，記錄其性別和是否全部答對(duì)的情況，得到如圖的等高條形圖.

(1)若該校有3000人，試估計(jì)該校對(duì)二十四節(jié)氣的測(cè)試活動(dòng)全部答對(duì)的學(xué)生人數(shù)；(2)完成下面的列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為“是否全部答對(duì)”與性別有關(guān)？完全答對(duì)部分答對(duì)合計(jì)男女合計(jì)附：，其中.【答案】(1)(2)有的把握認(rèn)為“是否全部答對(duì)”與性別有關(guān)【詳解】（1）由題意，男生共人，其中答對(duì)的人數(shù)；女生共人，其中答對(duì)的人數(shù)；故該校對(duì)二十四節(jié)氣的測(cè)試活動(dòng)全部答對(duì)的學(xué)生人數(shù)共（2）按照性別分層抽樣抽取出的男生人數(shù)為，則抽取的女生人數(shù)為：；抽取的女生中全部答對(duì)的人數(shù)為：，部分答對(duì)的人數(shù)為：；抽取的男生中全部答對(duì)的人數(shù)為：，部分答對(duì)的人數(shù)為：；完全答對(duì)部分答對(duì)合計(jì)男女合計(jì)，由，則有的把握認(rèn)為“是否全部答對(duì)”與性別有關(guān).43．（2023·四川成都三模）全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽隆重舉行.為做好考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；(2)在這名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)诘娜M中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)都不在的概率.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，解得；?）的三組頻率之比為，從中分別抽取人，人，人，將這人按所在的組編號(hào)分別為：，，，從中任取人，所有的取法有，共種取法，其中人成績(jī)都不在的取法有：，共種情況，所以這人成績(jī)都不在的概率.44．（2023·河南開(kāi)封三模）2022年國(guó)際籃聯(lián)女籃世界杯在澳大利亞悉尼落下帷幕，中國(guó)女籃團(tuán)結(jié)一心、頑強(qiáng)拼搏獲得亞軍.這屆世界杯，中國(guó)女籃為國(guó)人留下了許多精彩瞬間和美好回憶，尤其是半決賽絕殺東道主澳大利亞堪稱經(jīng)典一幕.為了了解喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.男女合計(jì)喜愛(ài)30不喜愛(ài)40合計(jì)50100(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？(2)在不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.附：，其中.(2)【詳解】（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表如下：男女合計(jì)喜愛(ài)301040不喜愛(ài)204060合計(jì)5050100計(jì)算，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；（2）不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，有男觀眾20人，女觀眾40人，按照分層抽樣的方式抽取6人，有男觀眾2人，記為、，女觀眾4人，記為1、2、3、4，從6人中抽取2人，有：，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34，共15個(gè)，記“所抽2人至少有一位男性”為事件，包含：，，，，，，，，，共9個(gè).所以.45．（2023·河南·襄城三模）某公司是一家集無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品主要應(yīng)用于森林消防、物流運(yùn)輸、航空測(cè)繪、軍事偵察等領(lǐng)域，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用．該公司分別收集了甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測(cè)試的某項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，，數(shù)據(jù)如下表所示：地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5甲型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)x24568乙型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)y34445(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說(shuō)明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）(2)從這5個(gè)地點(diǎn)中任抽2個(gè)地點(diǎn)，求抽到的這2個(gè)地點(diǎn)，甲型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)的概率．附：相關(guān)公式及數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)0.95，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)．【詳解】（1），，所以，由于，相關(guān)系數(shù)，因?yàn)?，所以y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．（2）將地點(diǎn)1，2，3，4，5分別記為A，B，C，D，E，任抽2個(gè)地點(diǎn)的可能情況有，，，，，，，，，，共10種情況，其中在地點(diǎn)3，4，5，甲型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)，即，，3種情況，故所求概率為．46．（2023·北京海淀三模）人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過(guò)，它所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況頻數(shù)“一個(gè)”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他假設(shè)用頻率估計(jì)概率.(1)求的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，其中搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和期望；(3)另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫(xiě)中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”和“一格”誰(shuí)在前面更合適？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)16；(2)分布列見(jiàn)解析；(3)“一個(gè)”在前更合適【詳解】（1）由題意可得；故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為；（2）由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為，則，則,,,故X的分布列為：X012P則.（3）由題意知樣本語(yǔ)料庫(kù)中“一格”出現(xiàn)的概率為，甲類題材中“一個(gè)”出現(xiàn)的概率為，由于，故輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”在前面更合適.47．（2023·黑龍江哈爾濱三模）哈六中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過(guò)的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問(wèn)題放入兩個(gè)紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.48．（2023·山東德州·三模）某學(xué)校組織“一帶一路”答題闖關(guān)活動(dòng)，每位參賽選手需要回答三個(gè)問(wèn)題，對(duì)于前兩個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題回答正確得10分，回答錯(cuò)誤得0分；第三個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，回答錯(cuò)誤扣10分，規(guī)定每位參賽選手回答這三個(gè)問(wèn)題的總分不低于30分就算闖關(guān)成功．選手小明回答前兩個(gè)問(wèn)題正確的概率都是，回答第三個(gè)問(wèn)題正確的概率是，且各題回答正確與否相互獨(dú)立．(1)求小明回答正確至少兩個(gè)問(wèn)題的概率；(2)求小明回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的分布列，并求數(shù)學(xué)期望和闖關(guān)成功的概率．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，，【詳解】（1）記：小明回答正確至少兩個(gè)問(wèn)題，則.（2）由題意得，X所有的取值為：-10，0，10，20，30，40.；；；；；；-10010203040.闖關(guān)成功的概率為：.49．（2023·山東濰坊·三模）某品牌中性筆研發(fā)部門(mén)從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）

產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合兒童使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合少年使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合青年使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）．以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率．(1)該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值（如下表）．表中．根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程，求關(guān)于的回歸方程；（?。?2)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；并用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用）參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】(1)(2)4元，256萬(wàn)元【詳解】（1）由題意，由得，，令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，∴，即，∵，∴，∴所求的回歸方程為．（2）由題意及（1）得，設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15，0.45，0.4，∴，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在單週遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值為768，∴估計(jì)當(dāng)該公司一年投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)時(shí)，能使得該產(chǎn)品年收益達(dá)到最大．50．（2023·安徽蚌埠三模）某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門(mén)一次，假設(shè)各人射門(mén)相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：【答案】(1)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【詳解】（1）依題意，列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200零假設(shè)：該校學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān)，的觀測(cè)值為，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).（2）依題意，的可能值為，，，，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.51．（2023·湖南長(zhǎng)沙三模）盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購(gòu)買(mǎi)與黃牛囤積，每人每天只能購(gòu)買(mǎi)1件盲盒套餐，開(kāi)售第二日，銷售門(mén)店對(duì)80名購(gòu)買(mǎi)了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年齡低于30歲1830年齡不低于30歲2210(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為A、B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)聯(lián)？(2)甲、乙、丙三人每人購(gòu)買(mǎi)1件B款盲盒套餐，記隨機(jī)變量為其中隱藏款X的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)某消費(fèi)者在開(kāi)售首日與次日分別購(gòu)買(mǎi)了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中．【答案】(1)能認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【詳解】（1）零假設(shè)為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，，，所以的分布列為：0123P；（3）設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于A款盲盒套餐，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得，即該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率為．52．（2023·福建福州三模）廈門(mén)思明區(qū)沙坡尾某網(wǎng)紅店推出A、B兩種不同風(fēng)味的飲品.為了研究消費(fèi)者性別和飲品偏好的關(guān)聯(lián)性，店主調(diào)查了首次到店的消費(fèi)者，整理得到如下列聯(lián)表:表1單位:人性別種類合計(jì)A飲品B飲品女性6040100男性4060100合計(jì)100100200(1)請(qǐng)畫(huà)出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好是否有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響.

(2)店主進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn):女性消費(fèi)者若前一次選擇A飲品，則下一次選擇A、B兩種飲品的概率分別為、；若前一次選擇B飲品，則下一次選擇A、B兩種飲品的概率分別為、；如此循環(huán)下去，求女性消費(fèi)者前三次選擇A、B兩種飲品的數(shù)學(xué)期望，并解釋其實(shí)際含義.附:.【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)答案見(jiàn)詳解【詳解】（1）對(duì)于A飲品：女性消費(fèi)者的頻率為，男性消費(fèi)者的頻率為，對(duì)于B飲品：女性消費(fèi)者的頻率為，男性消費(fèi)者的頻率為，可得等高堆積條形圖，如下圖所示：

零假設(shè)：首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好無(wú)關(guān)，因?yàn)椋圆怀闪?，即首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)，可知首次到店消費(fèi)者中女性消費(fèi)者更青睞于A飲品，男性更青睞于B飲品.（2）由題意可知：女性第一次選擇A、B兩種飲品的概率分別為、，設(shè)前三次選擇A飲品的次數(shù)為，則的可能取值為，因?yàn)椋?，所以的分布列為?123可得的期望，設(shè)前三次選擇B飲品的次數(shù)為，則的期望，即前三次中，平均有次選擇A飲品，有次選擇B飲品.53．（2023·北京密云三模）為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式，從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），得到如下頻率分布直方圖：

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組.從第5組，第6組中任取2戶居民，求他們?cè)戮秒娏慷疾坏陀诘母怕剩?2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在之間的用戶數(shù)為，以頻率估計(jì)概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于的居民用戶每戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書(shū)，且發(fā)放倡議書(shū)的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請(qǐng)根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)應(yīng)定為多少合適？（只需寫(xiě)出結(jié)論）.【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，(3)【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，戶居民中，第組的居民戶數(shù)為，第組的居民戶數(shù)為，從第組、第組中任取戶居民，他們?cè)戮秒娏慷疾坏陀诘母怕蕿?（2）該地區(qū)月均用電量在之間的用戶所占的頻率為，由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：.（3）前個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，則，則，解得，故應(yīng)定為較為合適.A表示“第二次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號(hào)之和是m”.(1)若用不放回的方式取球，求；(2)若用有放回的方式取球，求證：事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）用C表示“第一次取出小球的標(biāo)號(hào)是2”，則，，，，所以.（2）記第一次取出的球的標(biāo)號(hào)為x，第二次的球的標(biāo)號(hào)為y，用數(shù)組兩次取球，則，充分性：當(dāng)時(shí)，事件B發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，因此，事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，則，又，于是，所以事件A與事件B相互獨(dú)立；必要性因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，則，即，而，，于是，事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，即，則，又，，，因此關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，即關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，從而，得，所以事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是.55．（2023·上海長(zhǎng)寧三模）由于X病毒正在傳染蔓延，對(duì)人的身體健康造成危害，某校擬對(duì)學(xué)生被感染病毒的情況進(jìn)行摸底調(diào)查，首先從兩個(gè)班共100名學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，并對(duì)這20人進(jìn)行逐個(gè)抽血化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果如下：.已知指數(shù)不超過(guò)8表示血液中不含病毒；指數(shù)超過(guò)8表示血液中含病毒且該生已感染病毒.(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含病毒的概率；(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學(xué)校想從還未抽血化驗(yàn)的1000人中，把已感染病毒的學(xué)生全找出.方案A：逐個(gè)抽血化驗(yàn)；方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)混合血液含病毒，再分別對(duì)該組的40人的另一份血樣逐份化驗(yàn)；方案C：將方案中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案相同.如果用樣本頻率估計(jì)總體頻率，且每次化驗(yàn)需要不少的費(fèi)用.試通過(guò)計(jì)算回答：選用哪一種方案更合算？（可供參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）分血樣中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，混合血樣含病毒的概率（2）設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用為，每個(gè)人感染病毒的概率為，方案：費(fèi)用為；方案：每組化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：,故總費(fèi)用為；方案：每組化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：,故總費(fèi)用為；綜上所述：選用方案更合算.56．（2023·人大附中三模）每年8月8日為我國(guó)的全民健身日,倡導(dǎo)大家健康、文明、快樂(lè)的生活方式．為了激發(fā)學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)興趣,助力全面健康成長(zhǎng),某中學(xué)組織全體學(xué)生開(kāi)展以體育鍛煉為主題的實(shí)踐活動(dòng)．為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況,隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本,統(tǒng)計(jì)他們參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間(單位:分鐘),得到下表：(1)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生,若已知抽到的是女生,估計(jì)該學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間在的概率；(2)從參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間在和的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,其中初中學(xué)生的人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替,樣本中的100名學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為,初中、高中學(xué)生參加體育鍛煉活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為．寫(xiě)出一個(gè)m的值,使得(結(jié)論不要求證明)【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）從該校隨機(jī)抽取名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率為（2）由題知,X的所有可能值為0,1,2,參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中初中生人，參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，其中初中生人，記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到的是初中學(xué)生”,事件D為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到的是初中學(xué)生”,由題意知,事件C,D相互獨(dú)立,且,所以,,,所以的分布列為：故X的數(shù)學(xué)期望.（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：

內(nèi)初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間,內(nèi)高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間,則,,,由可得，解得57．（2023·云南三模）某商場(chǎng)在周年慶活動(dòng)期間為回饋新老顧客，采用抽獎(jiǎng)的形式領(lǐng)取購(gòu)物卡.該商場(chǎng)在一個(gè)紙箱里放15個(gè)小球（除顏色外其余均相同）：3個(gè)紅球、5個(gè)黃球和7個(gè)白球，每個(gè)顧客不放回地從中拿3次，每次拿1個(gè)球，每拿到一個(gè)紅球獲得一張類購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)黃球獲得一張類購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)白球獲得一張類購(gòu)物卡.(1)已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到