第7章 相關回歸分析

第一節(jié)相關分析的基本問題第二節(jié)相關關系的測度第三節(jié)回歸分析的基本問題第四節(jié)回歸分析的基本問題第七章相關回歸分析第一節(jié)相關分析的基本問題一、相關關系與函數(shù)關系二、相關關系的種類三、相關分析的主要內容

函數(shù)關系是指現(xiàn)象之間存在確定性的數(shù)量依存關系。在這種關系中，當某一變量或某些變量取任意一個值時，另一變量都會有一個確定值與之嚴格對應，并且這種對應關系可以用一個數(shù)學表達式來反映。

相關關系，也稱統(tǒng)計相關，是指現(xiàn)象之間存在的非確定性的數(shù)量依存關系。即現(xiàn)象之間雖然存在著數(shù)量依存關系，一個現(xiàn)象發(fā)生數(shù)量上發(fā)生變化時，另一個現(xiàn)象數(shù)量水平也會相應地發(fā)生變化。但這種數(shù)量變化關系并不是嚴格一一對應的，當一個變量數(shù)值確定時，另—個變量可能有許多個可能的取值與之相對應，這些數(shù)值圍繞著它們的平均數(shù)上下波動。相關關系的數(shù)學—般形式為：(ε為隨機誤差項，用于反映隨機因素對y的影響)一、相關關系與函數(shù)關系

按相關關系涉及的變量（或因素）的多少按變量之間相互關系的表現(xiàn)形式按變量之間的相互關系的方法或性質不同按變量之間的相關程度不同

單相關復相關線性相關非線性相關正相關負相關完全相關不相關不完全相關二、相關關系的種類廣義上講，對兩個或兩個以上現(xiàn)象之間數(shù)量上的不確定性依存關系進行的統(tǒng)計分析，即為相關分析。

具體來說，相關分析的內容有：（一）判斷確定現(xiàn)象之間有無關系以及相關關系的具體表現(xiàn)形式。（二）確定相關關系的密切程度：根據(jù)變量數(shù)據(jù)的類型，選擇適當?shù)姆椒?，計算出相關系數(shù)。（三）檢驗現(xiàn)象統(tǒng)計相關的顯著性，包括檢驗相關關系的存在性、檢驗相關關系強度是否達到一定水平，檢驗兩對現(xiàn)象相關程度的差異性，估計相關系數(shù)的取值。（四）廣義地說，相關關系分析還包括對相關關系的數(shù)學形式加以描述，即擬合回歸方程，檢驗回歸方程的合理性，并且應用回歸模型進行統(tǒng)計分析與預測和控制。三、相關分析的主要內容第二節(jié)相關關系的測度

一、相關關系一般判斷

二、相關系數(shù)的測定

判斷現(xiàn)象之間有沒有相關關系，是進行相關分析的前提和出發(fā)點。

（一）定性分析在研究相關關系時，應根據(jù)一定的經(jīng)濟理論和實踐經(jīng)驗的總結，對社會經(jīng)濟現(xiàn)象進行科學的定性分析，以判斷它們之間是否具有相關關系以及相關關系的類型。只有在定性分析的基礎上，才能進一步從數(shù)量上來測定現(xiàn)象之間的相關關系及相關的密切程度。這是判斷相關關系的一種重要方法，也是相關分析的重要前提。（二）相關表和相關圖若經(jīng)過調查已獲得現(xiàn)象的數(shù)據(jù)資料，可通過編制相關表和繪制相關圖來分析數(shù)據(jù)變動的規(guī)律，判斷現(xiàn)象之間的相關性。具體方法如下：一、相關關系一般判斷1、簡單相關表利用未分組的原始資料，將兩個現(xiàn)象的變量值一一對應地填列在同一張表格上，這種表就叫簡單相關表，簡單相關表適用于資料的項數(shù)較少的情況。表7-1銷售額與流通費用相關表圖7-2某企業(yè)銷售額與流通費用的散點圖分析：從表7-1可以直觀地看出，隨著企業(yè)銷售額的增加，流通費用呈現(xiàn)增長的趨勢。顯然，該企業(yè)銷售額與流通費用之間存在著相關關系。從圖7-2可以看到，圖中各個點雖不完全在一條直線上，但可以認為，該企業(yè)的銷售額和流通費用之間有較強的直線相關關系。2、分組相關表

當原始資料較多，不再適合采用簡單相關表時，可以編制分組相關表。分組相關表就是將原始資料進行分組而編制的相關表。它又可分為單變量分組相關表和雙變量分組相關表兩種。（1）單變量分組表

只對自變量進行分組，因變量不分組，只是計算出其次數(shù)和平均數(shù)，這種表稱為單變量分組表。

表7-2某市家庭收入與消費支出相關表圖7-3家庭收入與家庭消費支出的相關圖分析：從表7-2和圖7-3可以清楚的看到，家庭收入與家庭消費支出之間存在相關關系，家庭消費支出隨著家庭收入的增加而增加，并且基本呈現(xiàn)出直線相關的形態(tài)。（2）雙變量分組表將自變量和因變量都進行分組制成的表稱為雙變量分組表。雙變量分組表適用于對大量復雜數(shù)據(jù)的處理和分析。如下表：

從表7-3也可以看出，100戶家庭分布在不同的收入和支出區(qū)間內，在表中形成一個大致向右上方傾斜的數(shù)據(jù)分布帶，可見家庭收入與消費支出之間有較強的正相關關系。

對于單相關情況，相關系數(shù)測定方法與相關指標量化級別有關。對于定距變量或定比變量，通常采用皮爾遜線性相關系數(shù)公式測量相關密切程度，對于定序變量，通常采用斯皮爾曼等級相關或肯特爾等級相關系數(shù)公式測量相關密切程度，對于定類變量，則常常采用列聯(lián)系數(shù)等來測量相關密切程度。本節(jié)主要介紹常用的皮爾遜直線相關系數(shù)、斯皮爾曼等級相關系數(shù)和肯特爾等級相關系數(shù)的具體計算。

通過相關圖表可以了解現(xiàn)象之間是否具有相關關系，但要想更具體地了解現(xiàn)象之間的相關密切程度，必須進一步測定相關系數(shù)。相關系數(shù)就是描述兩個變量之間線性相關密切程度和相關方向的統(tǒng)計分析指標。二、相關系數(shù)的測定（一）直線相關系數(shù)的計算

對于定距尺度的連續(xù)變量x和y，測定它們之間的線性相關關系最常用的方法是采用皮爾遜（Pearson）相關系數(shù)。根據(jù)資料情況不同，有不同的計算形式。其中的積差法是最基本表達式。1、積差法Pearson相關系數(shù)的基本公式可定義為：式中，——直線相關系數(shù)；

——變量數(shù)列x的標準差；

——變量數(shù)列y的標準差；

——變量數(shù)列x與y的協(xié)方差。（7-3）

據(jù)此，式（7-3）可寫成下式：（7-4）

2、相關系數(shù)r的簡捷計算方法積差法在計算過程中要使用兩個數(shù)列的平均數(shù)，當平均數(shù)的小數(shù)位很多或除不盡時，計算會比較繁雜且影響最終結果的精確性。因此，計算相關系數(shù)常常采用其簡捷公式：（7-5）

3、利用分組資料計算相關系數(shù)（1）根據(jù)單變量分組表計算相關系數(shù)，可以在簡單相關的基本公式基礎上，以每組的次數(shù)為權數(shù)進行加權計算，公式如下：（2）根據(jù)雙變量分組表，也能計算相關系數(shù)，但一般很少采用。計算公式為：

式中，——x組的次數(shù)；

——y組的次數(shù)；

——x與y交叉組的次數(shù)。（7-6）

（7-7）

4、直線相關系數(shù)r的統(tǒng)計檢驗

上述相關系數(shù)是基于樣本計算的，是對總體相關系數(shù)的估計。因此需要對相關系數(shù)的顯著性進行統(tǒng)計檢驗。檢驗的內容包括兩部分：一是總體線性相關的存在性檢驗，即檢驗總體線性相關系數(shù)是否為零；二是總體線性相關差異性檢驗，檢驗某一總體線性相關程度是否等于（或者單側檢驗大于或小于）某一指定值，以及檢驗兩個相關系數(shù)是否來自同一相關總體。本節(jié)只討論第一種情況。

設隨機變量（X,Y）服從于正態(tài)分布?？傮w相關系數(shù)記為。則對于由樣本資料計算的皮爾遜相關系數(shù)r，需要檢驗以下原假設與備擇假設：在成立情況之下，有以下t統(tǒng)計量：

在給定顯著性水平之下，當，即表示總體線性相關系數(shù)顯著不等于零，即線性相關關系（在一定程度上）是存在的。5、皮爾遜直線相關系數(shù)r的取值含義(1)r的取值有一定的范圍，在－1和＋1之間。(2)r的正負號只表示相關的方向，不表示相關程度的大小，即表示正相關，表示負相關。(3)相關程度的大小要看相關系數(shù)絕對值的大小。越接近于1，表示相關密切程度越強，越接近于0，表示相關密切程度越弱，當時，就表示變量之間為完全相關。則表示完全不相關。(4)為了使判斷有一定的標準，一般將相關程度設為以下幾個強弱不同的等級：相關系數(shù)在0.3以下為無相關，0.3～0.5為低度相關，0.5～0.8為中度相關，0.8以上是高度相關。(5)皮爾遜直線相關系數(shù)是一種線性（直線）相關程度的度量。（二）等級相關系數(shù)的測定方法

皮爾遜相關系數(shù)一般適用于連續(xù)變量，且要求總體分布服從或近似服從正態(tài)分布。但在統(tǒng)計實踐中，數(shù)據(jù)資料可能不能滿足上述的條件，有些數(shù)據(jù)還是屬性數(shù)據(jù)（如測定品質的優(yōu)劣、愛好程度、信念、態(tài)度等）。對于這種以等級或次序進行衡量的定序尺度數(shù)據(jù)，或不滿足正態(tài)分布假設的定距尺度數(shù)據(jù)，需要采用等級相關（RankCorrelation）的方法來研究變量之間的相關關系。等級相關法，就是把有關聯(lián)的定序變量按等級次序排列，形成x和y兩個序數(shù)數(shù)列，再測定這兩個序數(shù)數(shù)列之間的相關程度，用這種方法計算的相關指標叫做等級相關系數(shù)。以下將介紹兩種常用的等級相關系數(shù)。1、斯皮爾曼（Spearman）相關系數(shù)

英國統(tǒng)計學家斯皮爾曼在皮爾遜積差法思想的基礎上，推導出計算等級相關系數(shù)的方法，稱為“等級差數(shù)法”。用這種方法計算出的相關指標，就命名為斯皮爾曼等級相關系數(shù)，以表示，其計算步驟可以簡述如下：（1）定等級。將變量x和y的觀測值從小到大（或從大到小）按順序定出等級，形成兩個序數(shù)數(shù)列。如遇有相等的數(shù)值時，則應按原有的等級求其平均數(shù)，作為這些觀測值的等級。（2）計算x和y兩個序數(shù)數(shù)列的每對觀測值的等級之差，記作D，D=x-y。（3）按下述公式計算：式中，n——樣本容量；D——每對觀測值的等級差。必須注意的是，等級相關系數(shù)不能解釋為線性相關系數(shù)。（7-8）

2、肯德爾（Kendall）等級相關系數(shù)統(tǒng)計學家肯德爾曾提出多種等級相關系數(shù)，以下只介紹其中的交錯系數(shù)，通常稱之為肯德爾系數(shù)，記為肯德爾系數(shù)的計算也是以變量x和y的等級數(shù)據(jù)來進行，根據(jù)配對的等級順序排列的位置是否顛倒或者換位，得出等級換位的次數(shù)，進而計算得到肯德爾系數(shù)?？梢园聪率龉接嬎悖菏街校琻——樣本容量；∑i——換位總次數(shù)。

最后應該指出，相關分析只能說明兩個變量之間的相互依存關系，并不一定代表因果關系。因此，在計算相關系數(shù)之前，一般要先做定性分析，否則就有可能因為數(shù)據(jù)的偶然巧合，得到較高的相關系數(shù)，從而把虛假相關視為可信的相關。第三節(jié)回歸分析的基本問題

一、回歸分析的概念

二、回歸分析的主要內容三、回歸分析的特點四、回歸分析模型的種類

相關分析可以分析現(xiàn)象之間相關關系的方向和相關的密切程度,但不能判斷現(xiàn)象之間具體的數(shù)量變動依存關系，也不能根據(jù)相關系數(shù)來估計或預測因變量y可能發(fā)生的數(shù)值。回歸分析就是對具有相關關系的兩個或兩個以上變量之間數(shù)量變化的一般關系進行測定，確定因變量和自變量之間數(shù)量變動關系的數(shù)學表達式，以便對因變量進行估計或預測的統(tǒng)計分析方法。回歸分析是在相關分析的基礎上，進一步研究現(xiàn)象之間的數(shù)量變化規(guī)律。一、回歸分析的概念

（1）根據(jù)研究目的和現(xiàn)象之間的內在聯(lián)系，確定自變量和因變量.（2）確定回歸分析模型的類型及數(shù)學表達式.（3）對回歸分析