浙江省寧波市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

二零二二學(xué)年度第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試說明：本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共100分.第Ⅰ卷（選擇題共36分）一、單項(xiàng)選擇題：共8題，每題3分，共24分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】∵集合，∴.故選：B.2.設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是A.任意，使方程無實(shí)根B.任意，使方程有實(shí)根C.存在，使方程無實(shí)根D.存在，使方程有實(shí)根【答案】A【解析】【分析】只需將“存在”改成“任意”，有實(shí)根改成無實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實(shí)根”的否定是“任意，使方程無實(shí)根”.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個(gè)方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.3.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是，則不可能是（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的增減性即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，當(dāng)時(shí)，是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，當(dāng)時(shí)，是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，當(dāng)時(shí)，顯然，不滿足，故選：A．4.甲、乙、丙、丁四名教師帶領(lǐng)學(xué)生參加校園植樹活動(dòng)，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人，則甲、乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用組合可求基本事件的總數(shù)，再根據(jù)排列可求隨機(jī)事件含有的基本事件的總數(shù)，從而可求對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】設(shè)“甲、乙在同一組”為事件，教師隨機(jī)分成三組，每組至少一人的分法為，而甲、乙在同一組的分法有，故，故選：A.5.已知函數(shù)若的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別畫出分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象，再對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，兩圖象相交，若的值域是，以實(shí)數(shù)為分界點(diǎn)，可進(jìn)行如下分類討論：當(dāng)時(shí)，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；同理當(dāng),值域也不是；當(dāng)時(shí)，兩圖象相接或者有重合的部分，此時(shí)值域是；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B6.某停車場(chǎng)行兩排空車位，每排4個(gè)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（）A.288種 B.336種 C.384種 D.672種【答案】D【解析】【分析】分兩類情況，甲、乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時(shí)，與丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨(dú)一排，計(jì)算可得.【詳解】甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時(shí)，種方案，丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨(dú)一排，種方案，所以共有種方案.故選：D7.一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為．現(xiàn)將此骰子任意拋擲2次，正面向上的點(diǎn)數(shù)分別為．設(shè)，設(shè)，記事件“”，“”，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出，的概率，由條件概率代入即可得出答案.【詳解】將此骰子任意拋擲2次，則基本事件的方法總數(shù)為種，顯然是取大函數(shù)，所以“”，則中有一個(gè)數(shù)字5，另一個(gè)數(shù)字小于等于5，有種；顯然是取小函數(shù)，所以“”，“”同時(shí)發(fā)生，則有和；所以，，所以.故選：B．8.已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，可得出，求出函數(shù)值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.①當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.二、多項(xiàng)選擇題：共4題，每題3分，共12分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得3分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.市物價(jià)部門對(duì)5家商場(chǎng)的某商品一天的線上銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價(jià)格99.51010.511銷售量1110865按公式計(jì)算，與的回歸直線方程是：，相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.變量線性正相關(guān)C.相應(yīng)于點(diǎn)的殘差約為 D.當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為14.4【答案】AD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A由樣本中心在回歸方程上求參數(shù)；對(duì)選項(xiàng)B由相關(guān)系數(shù)的意義及回歸方程的斜率符號(hào)判斷；對(duì)選項(xiàng)C利用殘差的定義求殘差；對(duì)選項(xiàng)D將8代入回歸方程求估計(jì)值.【詳解】由表格知：，所以，可得，A正確；由相關(guān)系數(shù)且回歸方程斜率為負(fù)，則變量線性負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)，B錯(cuò)誤；由，故殘差為，C錯(cuò)誤；由，D正確；故選：AD.10.若，則以下說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式及期望與方差的性質(zhì)求解.【詳解】，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.11.若實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式判斷ABC正確，利用特殊值判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，故，故A正確；，故，故B正確；，故，故C正確；令滿足，但是，故D不滿足.故選：ABC.12.已知函數(shù)的定義域均為，且,，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則以下說法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.C.， D.若的值域?yàn)?，則【答案】BCD【解析】【分析】由得，與聯(lián)立得，再結(jié)合的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得的周期、奇偶性、對(duì)稱中心，可依次驗(yàn)證各選項(xiàng)正誤.詳解】，，，，關(guān)于對(duì)稱，，，，，，故C正確；關(guān)于對(duì)稱，，，為偶函數(shù)，，，，，，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；，圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，存在一對(duì)最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，，故D正確；由得，又，所以，由得，所以，故B正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)含有混合關(guān)系的抽象函數(shù)，要探求性質(zhì)首先要消去一個(gè)函數(shù)只剩下另一下函數(shù)，消去其中一個(gè)函數(shù)的方法就是對(duì)進(jìn)行合理的賦值，組成方程組消去一個(gè)函數(shù)，再考查剩余函數(shù)的性質(zhì).對(duì)抽象函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及圖象的對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：（1）賦值法使用，注意和題目條件作聯(lián)系；（2）轉(zhuǎn)化過程要以相關(guān)定義為目的，不斷轉(zhuǎn)變.第Ⅱ卷（非選擇題共64分）三、填空題：共4題，每題4分，共16分.13.若隨機(jī)變量，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所?故答案為：.14.若，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，設(shè)，結(jié)合斜率公式，即可求解.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，圖中陰影部分，設(shè)，即，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，可得，即的最大值為；當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，可得，即的最小值為，即的取值范圍是.故答案為：.15.已知甲盒中有2個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，乙盒中有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球．記事件“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則______【答案】##0.58【解析】【分析】分類討論甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球的顏色，根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解．【詳解】若甲盒中取出一個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，放入乙盒，此時(shí)乙盒中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，再取出一個(gè)非白球的概率為，若甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，放入乙盒，此時(shí)乙盒中有4個(gè)白球，4個(gè)紅球，2個(gè)黑球，再取出一個(gè)非紅球的概率為，若甲盒中隨機(jī)取一個(gè)球?yàn)楹谇虻母怕蕿?，放入乙盒，此時(shí)乙盒中有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，3個(gè)黑球，再取出一個(gè)非黑球的概率為，．故答案為：．16.正方體六個(gè)上分別標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有___________種.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】分類用3種顏色、用4種顏色和用5種顏色，分別求解涂色種數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】涂法可分三類，用3種顏色、用4種顏色和用5種顏色，用3種顏色時(shí)，有種，用4種顏色時(shí)，有種，用5種顏色時(shí)，有種，則不同的染色方案有種.故答案：780.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查排列組合和計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵是做到不重不漏.四、解答題：共5題，17-18題每題9分，19-21題每題10分，共48分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知.（1）若，求的值；（2）求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）（2）240【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及賦值法求解；（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其單調(diào)性求解.【小問1詳解】展開式的通項(xiàng)，則展開式含的項(xiàng)為，故，中，令，則，令，則，則.【小問2詳解】設(shè)，，，由，得，即，解得，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，有最大值240，因此展開式中最大項(xiàng)為.18.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的解析式；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)求解解析式即可；（2）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式，然后結(jié)合充分條件列出關(guān)于的不等式求解即可.【小問1詳解】是定義在上的偶函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以.【小問2詳解】因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減.不等式等價(jià)于，故或，由題意或，所以.19.我國(guó)風(fēng)云系列衛(wèi)星可以檢測(cè)氣象和國(guó)土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測(cè)雨量(單位:dm)與遙測(cè)雨量(單位:dm)的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下:樣本號(hào)12345678910人工測(cè)雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.235遙測(cè)雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計(jì)算得（1）求該地區(qū)汛期遙測(cè)雨量與人工測(cè)雨量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若，則認(rèn)為兩個(gè)變量有較強(qiáng)的線性相關(guān)性)

（2）規(guī)定：數(shù)組滿足為“Ⅰ類誤差”，滿足為“Ⅱ類誤差”，滿足為“Ⅲ類誤差”.為進(jìn)一步研究該地區(qū)水文研究人員，從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“Ⅲ類誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學(xué)期望.附：相關(guān)系數(shù).【答案】（1），認(rèn)為具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求出樣本相關(guān)系數(shù)，由數(shù)據(jù)判斷線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；（2）由的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得到分布列，再求數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】因?yàn)?，代入已知?shù)據(jù)，得.所以汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.【小問2詳解】10組數(shù)據(jù)中，“Ⅰ類誤差”有5組，“Ⅱ類誤差”有3組，“Ⅲ類誤差”有2組，從“Ⅰ類誤差”，“Ⅱ類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)，記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)組數(shù)為，由題意，的所有可能取值為.則，，，.所以的概率分布為0123P所以X的數(shù)學(xué)期望.20.某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán)．為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門．已知這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，能（2）分布列見詳解，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件完普列聯(lián)表，然后計(jì)算的值，進(jìn)一步由獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法即可求解；（2）依題意得3人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求得，，，，從而得到的分布列，進(jìn)而得到的數(shù)學(xué)期望．【小問1詳解】列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200則，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)．【小問2詳解】依題意得3人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為，，，，，所以的分布列如下：0123所以的數(shù)學(xué)期望為．21.已知函數(shù)（1）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)