陳殿友《大學數(shù)學》系列教材：4.2 線性方程組與向量組的線性相關性-第二講修改

§2向量組的線性相關性

2.1

n維向量1、n維向量的概念

定義2.1

n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai

稱為第i個分量。列向量行向量α=(a1,a2,…,an);零向量0=(0,0,…,0);負向量-α=(-a1,-a2,…,-an).整理ppt

2、n維向量的運算

定義2.2

設n維向量

1)α=β,當且僅當ai=bi(i=1,2,…,n);2)α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn);3)kα=(ka1,ka2,…,kan),其中k是數(shù)量。α=(a1,a2,…,an);β=(b1,b2,…,bn);

注：如上定義的向量加法和數(shù)乘的運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。整理ppt

3、n維向量的運算律

設α，β，γ為n維向量，k、l為實數(shù)，0為零向量。1)α+β=β+α;2)α+β+γ=α+(β+γ);3)α+0=α;4)α+(–α)=0;

5)1·α=α;6)k(lα)=(kl)α;7)k

(α+β)=kα+kβ;8)(k+l)α=kα+lα.整理ppt2.2向量組的線性相關性1、向量組

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。用A,B,C,I,II,III等表示。

例如一個m×n矩陣A有n個m維列向量它們組成的向量組α1,α2,…,αn稱為矩陣A的列向量組。整理ppt

m×n矩陣A又有m個n維行向量βi=(ai1,ai2,…,ain

),(i=1,2,…m).

它們組成的行向量組β1,β2,…,βm稱為矩陣A的行向量組。

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣。例如：

m個n維列向量所組成的向量組α1,α2,…,αm構成一個n×m矩陣A=(α1,α2,…,αm);整理ppt

m個n維行向量所組成向量組β1,β2,…,βm

構成一個m×n矩陣

我們前面學過的線性方程組又可以寫成矩陣的形式Ax=b,而且矩陣又可以寫成向量組的形式，所以方程組也可以寫成向量的形式x1α1+x2α2+…+xnαn

=b,

由此可見，線性方程組與其增廣矩陣B＝（A,b）的列向量組α1，α2，…，αm

,b之間也有一一對應的關系。整理ppt

定義2.3給定向量組A:α1,α2,…,αs,對于任何一組實數(shù)k1,k2,…,ks,向量

k1α1+k2α2+…+ksαs稱為向量組A的一個線性組合,k1,k2,…,ks稱為這個線性組合的系數(shù)。

2、線性組合與線性表示

給定向量組A:α1,α2,…,αs

和向量b,如果存在一組數(shù)

λ1,λ2,…,λs,

使則向量b可以表示為向量組A的線性組合,這時稱向量b能由向量組A

線性表示。整理ppt一組給定的向量組α1,α2,…

,αm

不是線性相關，就是線性無關。無關兩種等價的說法：①對于任何不全為零的數(shù)λ1，λ2，…

,λm，總有②如果數(shù)λ1，λ2，…

,λm，使

λ1α1+λ2α2+…

+λmαm=0，則只有λ1=λ2=…

=λm=0。λ1α1+λ2α2+…

+λmαm≠0；定義2.4給定向量組A:α1,α2,…,αs,如果存在不全為零的數(shù)k1，

k2，...，

ks，使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0,則稱向量組A是線性相關的，否則稱它線性無關。整理ppt

根據(jù)向量組線性相關的定義,若α1,α2,…

,αm線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)λ1,λ2,…

,λm，使λ1α1+λ2α2+…

+λmαm=0即齊次線性方程組x1α1+x2α2+…

+xmαm=0(2)有非零解xi=λi(i=1,2,…m)。反之，若方程組(2)有非零解，則向量組α1,α2,…

,αm線性相關。同理，向量組α1,α2,…

,αm線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組(2)僅有零解。綜上所述，我們得出下面的定理。

定理2.1向量組α1,α2,…

,αm線性相(無)關的充分必要條件是齊次線性方程組x1α1+x2α2+…

+xmαm=0有(無)非零解。

推論2.1

向量組α1,α2,…

,αm線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣A=(α1,α2,…

,αm)的秩小于向量的個數(shù)m；向量組線性無關的充分必要條件是R(A)=m。整理ppt

對于m×n的矩陣A，由推論2.1可得1）A=(α1,α2,…

,αn)的列向量組線性無關的充分必要條件是A列滿秩；2）的行向量組線性無關的充分必要條件是A行滿秩；3）若m=n，則得方陣A的列（行）向量組線性無關的充分必要條件是A滿秩，即A為可逆矩陣。整理ppt

推論2.3

m>n

時，m個n維向量必線性相關。

證明

m個n維向量α1,α2,…

,αm構成的矩陣An×m=(α1,α2,…

,αm)，則R(A)≤n。因為n<m，所以R(A)<m，故m個n維向量必線性相關。

推論2.2

n個n維向量線性無關的充分必要條件是由它們排成的n階行列式的值不為零。由此可得：整理ppt

例1已知向量組α1，α2，α3線性無關，試證向量組β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1也線性無關。

證明設數(shù)λ1,λ2

,λ3,使λ1

β1

+λ2

β2+λ3

β3=0,即

(λ1+λ3)

α1+(λ1+λ2)

α2+(λ2+λ3)

α3=0,

因為α1，α2，α3線性無關，由②知必有

該方程組只有零解，即λ1=λ2=λ3=0。由②知β1，β2，β3線性無關。整理ppt

例3判斷下列向量組的線性相關性。1)α1

=

(1,1,1)T,α2=(0,2,5)T,α3=(1,3,6)T；2)β1

=

(1,0,0,)T,β2

=(1,2,1)T,β3

=(1,0,1)T。

解1）設有x1,x2,x3使

x1α1

+x2α2

+x3α3

=0（1）即(x1+x3,x1+2x2+3x3,x1+5x2+6x3)

=(0,0,0)，亦即整理ppt由于

所以，方程組有非零解，即存在不全為零的x1,x2,x3使（1）成立。故向量組α1,α2,α3是線性相關的。2）設有x1,x2,x3使x1β1+x2β2

+x3β3

=0（2）

即整理ppt由于所以，方程組僅有零解。即只有當x1,x2,x3全為零時（2）成立。故向量組β1,β2,β3是線性無關的。

整理ppt

3、向量組的線性相關與線性無關相關結論1）一個向量

α線性相關的充要條件是

α＝0。2）兩個向量線性相關的充要條件是它們對應的分量成比例。兩個向量線性無關的充要條件是它們對應的分量不成比例。3）線性相關向量組的任何擴大組必線性相關。即若向量組α1,α2,…

,αs線性相關，任意增加有限個同維數(shù)的向量αs+1，αs+2，…

,αm所構成的新的向量組α1,α2,…

,αs，αs+1，αs+2，…

,αm仍然線性相關。

一個向量α

線性無關的充要條件是

α≠0。4)線性無關向量組的任何一個非空部分向量組仍線性無關。整理ppt4、向量組等價

定義2.5若向量組α1,α2,…,αs中的每個向量都能由向量組β1,β2,…,βt

線性表示,則稱向量組α1,α2,…,αs能由向量組β1,β2,…,βt

線性表示。如果兩個向量組能互相線性表示,則稱這兩個向量組等價。

若向量組α1,α2,…,αs能由向量組β1,β2,…,βt

線性表示，向量組β1,β2,…,βt

又能向量組γ1,γ2,…,

γp線性表示。則向量組α1,α2,…,αs必能由向量組γ1,γ2,…,γp線性表示。這一結論稱為向量組線性表示的傳遞性。

容易證明向量組的等價關系具有反身性、對稱性和傳遞性。整理ppt

定理2.2向量組α1,α2,…

,αs(s≥2)線性相關的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量能由其余的s-1個向量線性表示。

證明

必要性。由于α1,α2,…

,αs線性相關，必有s個不全為零的數(shù)λ1，λ2，…

，λs，使得λ1α1+λ2α2+…

+λsαs=0。由于λ1，λ2，…

，λs不全為零，不妨設λs≠0，于是得即αs能由α1,α2,…

,αs-1線性表示。

充分性。不妨設αs可由其余的向量線性表示，即有αs=λ1α1+λ2α2+…

+λs-1αs–1，從而

λ1α1+λ2α2+…

+λs-1αs-1+(-1)αs=0，

因為

λ1，λ2，…

，λs-1，-1這s個數(shù)不全為零，故α1，α2，…，αs線性相關。整理ppt

定理2.3設α1,α2,…

,αs線性無關，β

能由

α1，α2，…，αs線性表示，則表示法是惟一的。

證明設有兩個表示式β=λ1α1+λ2α2+…

+λsαs，

β=k1α1+k2α2+…

+ksαs，兩式相減，得（λ1－k1)α1+(λ2－k2)α2+…

+

(λs－ks)αs=0，

因為α1,α2,…,αs線性無關，所以

λi－ki=0，即

λi=ki(i=1,2,…

,s)。故表示法是惟一的。整理ppt

定理2.4設

α1,α2,…,αs線性無關，而

α1,α2，…，αs，β線性相關，則

β能由

α1,α2,…,αs惟一線性表示。

證明記A=(α1,α2,…,αs)，B=(α1,α2,…,αs,β)

,有R(A)≤R(B)。因為α1,α2,…

,αs線性無關,所以R(A)=s。又因為α1，α2，…，αs，β線性相關，所以R(B)<s+1。于是s≤R(B)<s+1，即有R(B)=s，從而R(A)=R(B)=s。由定理1.1知線性方程組Ax=β有解,故β能由α1,α2,…

,αs線性表示。由定理2.3知表示法是惟一的。整理ppt

定理2.5設r維向量組線性相關,那末去掉每個向量的最后一個分量，所得的r-1維的向量組仍是線性相關。整理ppt

證明記Ar×s=(α1,α2,…,αs),B(r-1)×s=(β1,β2,…,βs)，由于α1,α2,…,αs線性相關，知R(A)<s，而顯然有R(B)≤R(A)，故R(B)<s，從而向量組β1,β2,…,βs線性相關。

推論2.4若r-1維的向量組Ⅱ線性無關，則r維的向量組I也線性無關。

此推論用反證法和定理2.5即得。該推論是對向量組中各個向量都對應增加一個分量（向量的維數(shù)增加1維）時給出的結論。不難看出，如果對向量組中的每個向量都在對應的位置增加k個分量，結論仍然成立。整理ppt

定理2.6若向量組α1,α2,…,αs可由向量組β1,β2,…,βt

線性表示，且s>t，則向量組