等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學必修(共29張)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式２.１等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第一課時在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系情景引入地球和月球快與慢思考1：實數(shù)可以比較大小，對于兩個實數(shù)a，b，其大小關系有哪幾種可能？

a＞b，a＝b，a＜b.

思考2：任何一個實數(shù)都對應數(shù)軸上的一個點，那么大數(shù)與小數(shù)所對應的點的相對位置關系如何？

右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大點的關系：數(shù)的關系：點A在點B右側a＞b點A在點B左側a＜b點A和點B重合a=babAB思考關于實數(shù)a,b的大小，有以下基本事實：如果a-b是正數(shù)，那么a＞b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是負數(shù)，那么a＜b.基本事實也可以表示為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.?概念要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉化為比較它們的差與０的大?。北容^（x＋２）（x＋３）和（x＋１）（x＋４）的大?。}講解分析：通過考察這兩個多項式的差與０的大小關系，可以得出它們的大小關系．作差法解：因為（x＋２）（x＋３）－（x＋１）（x＋４）＝（x2＋５x＋６）－（x2＋５x＋４）＝２＞０，所以（x＋２）（x＋３）＞（x＋１）（x＋４）作差步驟：作差，變形，定號【練習】1.比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小：(1)x^2＋3與3x；(2)已知a，b均為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。槍毩?2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.

針對練習【練習】2.設x，y，z∈R，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。甗解]

∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當且僅當x＝y(tǒng)＝?且z＝1時取等號.練習3針對練習《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”（《周髀算經(jīng)》上卷二）如圖是我國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學問題是（）趙爽，又名嬰，字君卿，生平不詳(約182---250年)。中國數(shù)學家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學家與天文學家。情景引入勾股定理趙爽弦圖觀察圖形的變化趙爽弦圖你能從左邊的圖中找出哪些相等關系和不等關系呢？

4個直角三角形的面積和為２ab，正方形的面積為a2＋b2．由于正方形ABCD的面積大于４個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式a2＋b2＞２ab思考：當a=b時會出現(xiàn)什么情況？正方形EFGH縮為一個點，這時有a2＋b2＝２ab一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥２ab，當且僅當a＝b時，等號成立．思考能否利用作差比較a2＋b2與２ab的大小解:

a2＋b2－２ab＝（a－b）2

因為a，b∈R，（a－b）2≥０，當且僅當a＝b時，等號成立，所以a2＋b2≥２ab，當且僅當a＝b時，等號成立思考證明：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積．并據(jù)此說明，人們通常把自來水管的橫截面制成圓形，而不是正方形的原因．分析：設周長相等為L，根據(jù)圓的周長和正方形的周長公式分別求得圓的半徑和正方形的邊長；再利用圓的面積公式和正方形的面積公式分別表示出它們的面積進行比較即可解決問題．1.我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b，那么（a+b）2的值是？解：根據(jù)題意，結合勾股定理a2+b2=13，四個三角形的面積=4×ab=13-1，∴2ab=12，聯(lián)立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案為：25．點評：注意觀察圖形：發(fā)現(xiàn)各個圖形的面積和a，b的關系．針對練習針對練習2.已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，則b2－4ac

0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，∴b2＝a2＋c2＋2ac.∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.∵a>c，∴(a－c)2>0，∴b2－4ac>0.針對練習3．已知實數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，abc>0，則＋＋的值(

)A．一定是正數(shù) B．一定為負數(shù)C．可能為0 D．正負不定4．已知x，y均為正數(shù)，設m＝＋n＝，比較m和n的大?。槍毩?.設實數(shù)x,y滿足0<xy<1且0<x+y<1+xy,那么x,y的取值范圍是(

)。A.x>1且y>1 B.0<x<1且y<1C.0<x<1且0<y<1 D.x>1且0<y<1解析：∵x+y<1+xy,∴x-xy+y-1<0,∴x(1-y)+y-1<0,∴(x-1)(1-y)<0,∴(x-1)(y-1)>0,∴x>1