卡平方測驗完整版

卡平方（c2）測驗——應(yīng)用于次數(shù)資料的一種顯著性檢驗方法1.1卡平方（c2

）定義n個獨立的正態(tài)離差u1、u2、…、un的平方和定義為c2。1卡平方(χ2)的定義與分布yi可以不來自同一個正態(tài)總體若來自同一個總體，則μi=μ,σi=σ。1.1卡平方（c2

）定義當(dāng)所研究的總體μ不知，可以用樣本平均數(shù)代替，則1.1卡平方（c2

）定義若從正態(tài)總體中抽取無數(shù)個樣本，就可形成c2值的概率分布，稱為c2分布(chisquaredistribution)其概率密度函數(shù)為:c2累積分布函數(shù)c2分布曲線與橫坐標(biāo)軸所圍成的面積等于11.2卡平方（c2

）分布密度函數(shù)1.3卡平方（c2

）分布特點0246810120.00.10.20.30.40.5c2分布的取值范圍為[0，+

);c2的分布為連續(xù)性分布，而不是間斷性的；

c2分布曲線是一組曲線。每一個不同的自由度都有一條相應(yīng)的c2分布曲線。

2分布的形狀與樣本大小及理論比例無關(guān)；c2分布的形狀決定于自由度df,df增大，漸趨正態(tài)。不同自由度的c2分布曲線c2的分布為偏正態(tài)分布英國卡爾·皮爾遜(KarlPearson,1857～1936)在1899年提出卡平方（c2）以度量觀察次數(shù)和理論次數(shù)的相差程度。在屬性統(tǒng)計中它是表示實際值與理論值差異相對大小的統(tǒng)計數(shù)。根據(jù)卡平方值的大小來檢驗差異顯著性的方法，稱為卡平方測驗。根據(jù)c2定義，從屬性性狀的分布推導(dǎo)出次數(shù)資料分析的c2公式：自由度以分組資料數(shù)其相互獨立的程度決定1.4卡平方（c2

）-次數(shù)資料1.5χ2測驗的矯正次數(shù)資料是間斷性的而卡平方分布則是連續(xù)性分布為了使間斷性的計算結(jié)果適合于連續(xù)性分布給出的概率，一般要進(jìn)行連續(xù)性矯正，尤其在自由度為1時更應(yīng)該：卡平方的基本概念定義:概率密度函數(shù):次數(shù)資料:累積分布函數(shù):附表52適合性測驗2.1適合性χ2測驗的方法適合性測驗(testforgoodness-of-fit):比較實驗數(shù)據(jù)與理論假設(shè)是否符合的假設(shè)測驗計數(shù)資料作用：測驗實際結(jié)果與理論比例是否符合測驗實驗結(jié)果是否符合某一理論分布2.1適合性χ2測驗的方法步驟：設(shè)立無效假設(shè)H0，即觀察次數(shù)與理論次數(shù)是由誤差引起；和備用假設(shè)，HA。確定顯著水平α=0.05或0.01在無效假設(shè)下，計算χ2，試驗觀察的χ2越大，觀察值和理論次數(shù)之間相差程度也愈大，兩者相符合的概率就愈小；根據(jù)χ2和χ2

α，υ值作出推斷。χ2>χ2

α，υ,否定H0。若χ2(或χc2)＜χ0.05，P＞0.05，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為實際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；若χ0.05≤χ2(或χc2)＜χ0.01

，0.01＜P≤0.05，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異顯著，可以認(rèn)為實際觀察的屬性類別分配不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；若χ2(或χc2)≥

χ0.01

，P≤0.01，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異極顯著，可以認(rèn)為實際觀察的屬性類別分配極顯著地不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。

2.1適合性χ2測驗的方法碘反應(yīng)觀察次數(shù)(O)理論次數(shù)(E)O-E(O-E)2/E藍(lán)色3437(O1)3459.5(E1)-22.50.1463非藍(lán)色3482(O2)3459.5(E2)+22.50.1463總數(shù)6919691900.2926玉米花粉粒碘反應(yīng)觀察次數(shù)與理論次數(shù)設(shè)立無效假設(shè)，即假設(shè)觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差異由抽樣誤差所引起。本例H0：花粉粒碘反應(yīng)比例為1:1與HA：花粉粒碘反應(yīng)比例不成1:12.1適合性χ2測驗的方法確定顯著水平α=0.05。在無效假設(shè)為正確的假設(shè)下，計算超過觀察χ2值的概率。試驗觀察的χ2值愈大，觀察次數(shù)與理論次數(shù)之間相差程度也愈大，兩者相符的概率就愈小2.1適合性χ2測驗的方法依所得概率值的大小，接受或否定無效假設(shè)若使得，則H0被否定。若使得肯定H02.1適合性χ2測驗的方法查附表5，當(dāng)ν=k-1=2-1=1時，，實得χ2=0.2798小于

所以接受H0。即認(rèn)為觀察次數(shù)與理論次數(shù)相符，接受玉米F1代花粉粒碘反應(yīng)比率為1:1的假設(shè)。

項目觀察次數(shù)O理論次數(shù)EO-E(O-E)2(O-E)2/E發(fā)芽不發(fā)芽總數(shù)4267450045050500－24＋245765761.2811.5212.802.1適合性χ2測驗的方法EXCEL函數(shù)CHITEST函數(shù)CHITEST返回(χ2)分布的統(tǒng)計值及相應(yīng)的自由度?？梢允褂?χ2)檢驗確定假設(shè)值是否被實驗所證實CHITEST(actual_range,expected_range)

Actual_range

為包含觀察值的數(shù)據(jù)區(qū)域，將和期望值作比較Expected_range

為包含行列匯總的乘積與總計值之比率的數(shù)據(jù)區(qū)域。2.2各種遺傳分離比例的 適合性測驗2.2各種遺傳分離比例的適合性測驗【例】孟德爾(1865)將黃子葉飽滿豌豆與綠子葉皺縮豌豆雜交，F(xiàn)2代觀察556株，黃子葉飽滿315株，黃子葉皺縮101株，綠子葉飽滿108株，綠子葉皺縮32株。試測驗F2代的分離是否符合9:3:3:1的理論比率。次數(shù)黃子葉飽滿黃子葉皺縮綠子葉飽滿綠子葉皺縮實際次數(shù)31510110832理論次數(shù)312.75104.25104.2534.752.2各種遺傳分離比例的適合性測驗假設(shè)：H0：F2代的分離符合9:3:3:1的理論比率；HA：F2代的分離不符合9:3:3:1的理論比率。顯著水平：a=0.05；χ2

0.05，3＝81χ2<χ2

0.05，3,所以接受H0，即F2代的分離符合9:3:3:1的理論比率2.2各種遺傳分離比例的適合性測驗應(yīng)用χ2測驗進(jìn)行分離比例適合性測驗只能推論實際分離比與某種理論分離比的相符性有時一種實際分離比可以符合兩種理論分離比例所以由表型分離比推測其基因數(shù)及基因作用性質(zhì)，要十分小心一般不僅看一個表型分離比率，還要看從其他世代的表型分離比及基因型分離比作出綜合判斷2.3次數(shù)分布的適合性測驗2.3次數(shù)分布的適合性測驗測驗試驗數(shù)據(jù)的次數(shù)分布是否符合某種理論分布（如二項分布，正態(tài)分布），以推斷實際的次數(shù)分布究竟屬于哪一種分布類型。因此要觀察所得次數(shù)分布是否符合某種理論分布，首先須提出理論分布的可能類型；按照理論分布計算出理論頻率（概率）后計算理論觀察次數(shù)（總次數(shù)×理論頻率）根據(jù)實際觀察次數(shù)和理論次數(shù)計算χ2或χc2，后作出推斷2.3次數(shù)分布的適合性測驗例：大豆品種R田間考察單株產(chǎn)量得到次數(shù)分布表如下，是驗證其產(chǎn)量觀察分布是否符合正態(tài)分布？2.3次數(shù)分布的適合性測驗測驗過程假設(shè)：H0:大豆單株粒重分布符合正態(tài)分布；

HA:不符合正態(tài)分布。顯著水平α=0.05,χ2

0.05，11=19.68計算χ2

根據(jù)正態(tài)分布概率計算，首先計算理論概率P然后根據(jù)理論概率P和總觀察次數(shù)n計算各組限的理論次數(shù)。2.3次數(shù)分布的適合性測驗計算各組限理論概率P2.3次數(shù)分布的適合性測驗理論次數(shù)的計算理論次數(shù)=總次數(shù)(229)×理論頻率P2.3次數(shù)分布的適合性測驗χ2的計算已知χ2

0.05，11=19.68>χ2

，所以接受H0，即大豆單株粒重分布符合正態(tài)分布。2.3次數(shù)分布的適合性測驗χ2用于進(jìn)行次數(shù)分布的適合性測驗時，有一定的近似性，為使這類測驗更確切，應(yīng)注意以下幾點：總觀察次數(shù)n應(yīng)該足夠大，一般不少于50；分組數(shù)最好在5組以上；每組內(nèi)的理論次數(shù)不宜太少，至少為5，若組理論次數(shù)少于5，最好將相鄰組的次數(shù)合并為一組3

獨立性測驗3

獨立性測驗獨立性測驗(testforindependence)主要為探求兩個變數(shù)間是否獨立這是次數(shù)資料的一種相關(guān)性研究。3

獨立性測驗獨立性測驗(testforindependence)計算過程:將所得次數(shù)資料按兩個變數(shù)作兩向分組，排列成相依表根據(jù)兩個變數(shù)相互獨立的假設(shè)，算出每一組格的理論次數(shù)由算得值3

獨立性測驗獨立性測驗(testforindependence)H0：兩個變數(shù)相互獨立；HA：兩個變數(shù)彼此相關(guān)自由度DF＝（r-1）(c-1)當(dāng)觀察的χ2<時，接受H0，即兩個變數(shù)相互獨立當(dāng)觀察的χ2≥

時，否定H0，即兩個變數(shù)彼此相關(guān)3.12×2表的獨立性測驗2×2相依表指橫行和縱行皆分為兩組的資料其ν=(2-1)(2-1)=1計算的χ2值需作連續(xù)性矯正a11a12R1a21a22R2C1C2n表82×2表的一般化形式3.12×2表的獨立性測驗調(diào)查經(jīng)過種子滅菌處理與未經(jīng)種子滅菌處理的小麥發(fā)生散黑穗病的穗數(shù)，得相依表如下，試分析種子滅菌與否和散黑穗病穗多少是否有關(guān)處理項目發(fā)病穗數(shù)未發(fā)病穗數(shù)總數(shù)種子滅菌26(34.7)50(41.3)76種子未滅菌184(175.3)200(208.7)384總數(shù)2102504603.12×2表的獨立性測驗H0：種子滅菌與否和散黑穗病病穗多少無 關(guān)；HA：種子滅菌與否和散黑穗病病穗 多少有關(guān)。顯著水平α=0.05。測驗計算3.12×2表的獨立性測驗在H0為正確的假設(shè)下對于11細(xì)格，由于它是屬于種子滅菌的，故種子作滅菌處理的概率為76/460它又是屬于發(fā)病穗數(shù)的，發(fā)病穗數(shù)的概率為210/460因此，任一經(jīng)種子作滅菌處理而又發(fā)病的麥穗的概率為p11=(76/460)×(210/460)，3.12×2表的獨立性測驗因此格子11的理論次數(shù)為：E11=p11×n=(76/460)×(210/460)×460=34.7用同樣的方法算出其余格子的理論次數(shù)ν=(2-1)(2-1)=13.12×2表的獨立性測驗查附表6，現(xiàn)實得故P<0.05，否定H0即種子滅菌與否和散黑穗病發(fā)病高低有關(guān)，種子滅菌對防治小麥散黑穗病有一定效果3.22×c表的獨立性測驗2×c表是指橫行分為兩組，縱行分為c≥3組的相依表資料其ν=(2-1)(c-1)>1，故無需作連續(xù)性矯正橫行因素縱行因素總計12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2總計C1C2…Ci…Ccn2×C表的一般化形式3.22×c表的獨立性測驗例:進(jìn)行大豆等位酶Aph的電泳分析，193份野生大豆、223份栽培大豆等位基因型的次數(shù)列于下表，試分析大豆Aph等位酶的等位基因頻率是否因物種而不同。物種等位基因總計123野生大豆29(23.66)68(123.87)96(45.47)193栽培大豆22(234)199(143.13)2(52.53)223總計51267984163.22×c表的獨立性測驗假設(shè)H0：等位基因頻率與物種無關(guān)

HA：不同物種等位基因頻率不同顯著水平α=0.05否定H0，接受HA。不同物種Aph等位基因頻率有顯著相關(guān)3.3r×c表的獨立性測驗若橫行分r組，縱行分c組，且r≥3，c≥3，則為r×c相依表其ν=(r-1)(c-1)橫行因素縱行因素總計12…i…c1a11a12…a1i…a1cR12a21a22…a2i…a2cR2jaj1aj2…aji…ajcRjrar1ar2…ari…arcRr總計C1C2…Ci…Ccnr×c表的一般化形式3.3r×c表的獨立性測驗例:下表為不同灌溉方式下水稻葉片衰老情況的調(diào)查資料。試測驗稻葉衰老情況是否與灌溉方式有關(guān)。灌溉方式綠葉數(shù)黃葉數(shù)枯葉數(shù)總計深水146(140.69)7(8.78)7(10.53)160淺水183(180.26)8(11.24)13(13.49)205濕潤152(160.04)14(9.98)16(11.98)182總計48130365473.3r×c表的獨立性測驗假設(shè)H0：稻葉衰老情況與灌溉方式無關(guān)；對HA：稻葉衰老情況與灌溉方式無關(guān)取α=0.05接受H0：不同的灌溉方式對水稻葉片的衰老情況沒有顯著影響4的可加性和聯(lián)合分析4的可加性和聯(lián)合分析[例11]表13給出三個大豆組合F3家系世代對豆稈黑潛蠅抗性家系與感性家系的分離數(shù)據(jù)，每一家系由1個F2單株衍生，抗性家系中包括有全抗家系及抗感分離的家系。經(jīng)對三個組合分別的測驗，均符合3抗∶1感理論分離比例?，F(xiàn)要求進(jìn)一步檢測三組合綜合起來是否符合3∶1分離比例，三組合間是否一致符合3∶1分離比例，或三組合是否具同質(zhì)性。組合母本P1父本P2F3POE江寧剌文豆

×邗江秋稻黃乙抗2007375Ⅰ感02027250.210.120.50～0.75合計2020100100無錫長箕光甲

×邳縣天鵝蛋抗2006268.25Ⅱ感0202922.752.291.940.10～0.25合計20209191邳縣天鵝蛋

×南農(nóng)1138-2抗0209095.25Ⅲ感2003731.751.160.960.25～0.50合計2020127127三組合綜合抗225238.53.062.830.05～0.10感9379.5合計318318三組合累計3.66三個大豆組合F3家系世代對豆稈黑潛蠅抗性的分離數(shù)據(jù)(理論分離比為3抗∶1感）

H0：三組合綜合起來符合3抗∶1感分離比例，HA：綜合群體不符合3∶1分離比例及H0：三組合的分離比表現(xiàn)同質(zhì)，一致為3∶1，HA：三組合分離比例不同質(zhì)。

要測驗上列假設(shè)，必須計算出相應(yīng)的值因為不具可加性，只有值具有可加性。4的可加性和聯(lián)合分析三個組合綜合為一群體時的值，或稱為=3.06，亦具1個自由度根據(jù)其概率為0.05～0.10，可推論三合一的群體總的分離比例亦符合3∶1。4的可加性和聯(lián)合分析三組合各的總和=3.66，具有3個自由度若將這3個自由度分解1個歸屬于三組合間的共性

2個歸屬于三組合間的個性，

可用以測驗第二個無效假設(shè)，三個組合的同質(zhì)性4的可加性和聯(lián)合分析三個組合的同質(zhì)性

=0.60,時P=0.50～0.75說明符合同質(zhì)性假設(shè)的概率甚大，接受此假設(shè)因而三個組合表現(xiàn)一致的3∶1分離比例是確實的可推論大豆對豆稈黑潛蠅的抗性是由1對顯性基因控制的，組合間表現(xiàn)出一致的結(jié)果4的可加性和聯(lián)合分析本例中因試驗結(jié)果很一致，因而引出了共同的結(jié)論若各個的結(jié)果出入較大，與個別組合的結(jié)果不一致，表現(xiàn)出顯著性，那么將著重分析各組合間的非同質(zhì)性及各組合的特異性4的可加性和聯(lián)合分析2

c2在方差同質(zhì)性測驗中的應(yīng)用一個樣本方差和總體方差的比較；以及兩個樣本間方差的比較可以用F測驗；但是多個樣本間方差的比較必須應(yīng)用c2測驗。一、c2測驗的具體步驟提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)確定顯著水平:確定a=0.05或0.01等。計算χ2值:由樣本資料和理論假設(shè)計算推斷，若χ2≤χ2α.df，則p>α，故接受H0；若χ2≥χ2α.df

，則p<α，故否定H0二、一個樣本方差與給定總體方差比較的假設(shè)測驗測定單個樣本方差S2其所代表的總體方差和給定的總體方差是否有顯著差異，簡稱為一個樣本與給定總體方差的比較。作兩尾測驗有：H0:σ2=C,HA:σ2≠C。當(dāng)χ2>χ2α/2,df

，和χ2<χ2(1-a/2),df

，否定H0作一尾(右尾)測驗時，H0:σ2≤C,HA:σ2>C。若χ2≥χ2α.df

，否定H0作左尾測驗時：H0:σ2≥C,HA:σ2<C。若χ2<χ2(1-α).df

，否定H0例：已知某一地區(qū)柑桔（臍橙）多年統(tǒng)計表明其方差為50kg，現(xiàn)在有