重難點專題22 解三角形大題十四大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題22解三角形大題十四大題型匯總(解析版)題型1正余弦定理的應(yīng)用 題型6三角形角平分線問題 題型7三角形高線垂線問題 題型8普通多三角形問題 題型9四邊形問題 題型1正余弦定理的應(yīng)用得出角A;(2)由三角形面積公式結(jié)合余弦定理可得b=c=2 所以abcosC=18,得ab=36,【詳解】(1),解得a=2√2.【分析】(1)由余弦定理得到a2+cac,求(2)由余弦定理和三角形面積公式求【詳解】(1)因為bcosA-acosB=a+c,則a2+c2=25-ac,則a2+c2=25-ac,所以25-ac+2ac=4(ac)2-20ac+25,【詳解】(1)由正弦定理得：2sinAcosB=2sinC-sinB,即2sinAcosB=2sin(sinB計分)(2)對于條件①:利用等差中項結(jié)合基本不等式可得1,再根據(jù)a2+c2-b2=ac,【詳解】(1)因為(b+c-a)(sinA+sinB-sinC)=csinA,題型2余弦定理求最值與取值范圍劃重點劃重點66(2)由正弦定理可知由于b2+c2≥2bc,則有4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4,又4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,即(b+c)2=4+3bc≤4+3×4=16,求得角A.又a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4√3≥2bc-4√3=8-4√3(b=c時取“=”),, ∴a+b+c≥2√ab+√8-4√3=4+√8-4√3=4+√6-√2當且僅當a=b=2時，取等號.(2)因為c2=a2+b2-2abcosC,所以4=a2+b2-ab≥ab,當且僅當a=b=2時取等號，角的大?。活}型3正弦定理求最值與取值范圍劃重點劃重點常采用這種方法(2)由(1)知,又已知a=4√3,由正弦定理得：,【詳解】(1)選擇①:選擇②:因為sin2B+sin2c-sin2A=sinBsinC,(2)由(1)矢,又已知a=4√3,由正弦定理得：(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,(3)由正弦定,可得b=4sinB,c=4sinC,【詳解】(1)因sinCcosAcosCsinAcosC所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(不成立，舍去),,,,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ccosA-acosB+c=0【分析】(1)利用正弦定理進行邊換角結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可得到答案；(2)利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和輔助角公式得b,再利用正弦型函數(shù)【詳解】(1)因為ccosA-acosB+c=0,sinCcosAcosAsinBsinCsinBcosA(2)由(1)可知，,所以b+c=6sinB+6sinC.,,整理可(2)利用三角恒等變換公式化簡，根據(jù)銳角三角形性質(zhì)求得B的范圍，再由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】(1)∵,題型4不對稱結(jié)構(gòu)的最值取值范圍問題劃重點劃重點巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.sinC)=sinB(ab),③S△ABc=1c(asinA+bsinB-csinC)這三個條件中任選一個，補充【詳解】(1)若選①:2sinA-sinB=2sinCcosB,若選③:(2)由正弦定,,可.可又0<A<π,即(b+c)2=4故b+c=2.6(2)由(1)可得b2=a2+c2-aC簡后利用基本不等式可求得其最小值.65【詳解】(1)22角A,B,C的對邊為a,b,c,且c=2(a-bcosC).,所, 當且僅,c=2b=9時等號成立.,單調(diào)遞減，∴b=3.(2)由余弦定理可得a2+c2-b2=2accosB元法可最值.【詳解】(1)因為p=(2b,2c-a),q=(1,cosA),且p//q,(2)根據(jù)余弦定理a2+c2-b2=2accosB,結(jié)合a+c>3,所以3<α+c≤6(當且僅當a=c=3時取等號),所以f(t)的最大值,所的最大值為【詳解】(1)由sinAsinBsinCA-C=C,或A-C+C=π,所以A=2C或A=π(舍去),題型5三角形中線問題劃重點邊分別為a、b、c【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出cosA的值，結(jié)合角A的取值范(2)解：在△ABC中，因為abccosA【詳解】(1)因為a+c=b(√3sinA+cosA),,故BD的長為a,b,c,且sin(C-A)=2(1-cosC)sinA...【詳解】(sinsinCcosAcosCsinA又由(1)知，b=2a,CD=√6,AD=2,則c=AB=4,(2)解：因,所以，bc=4,的邊分別為a,b,c,acosC+√3asinC-b-2c=0.T題型6三角形角平分線問題劃重點劃重點技巧1:內(nèi)角平分線定理：技巧2:等面積法技巧3:邊與面積的比值：技巧4:角互補：(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=36,66【詳解】(1)如下圖所示：,又因為D在BC上，所可可(2)如下圖所示：【分析】(1)根據(jù)題意可得△ABC(2)由題意設(shè)∠BAD=∠DAC=θ,的高，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；再根據(jù)三角形性質(zhì)可解得,最后根據(jù)正弦定理求【詳解】(1)△【分析】(1)根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡題設(shè)可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC,進而結(jié)合兩角和的正弦公式可,進而求解；(2)結(jié)合角平分線利用等面積法可得a=2,進而求解即可.1212,解得a=2,【分析】(1)選擇①,利用余弦定理列方程組可求【詳解】(1)選擇①:設(shè)b=2x,則AD=DC=x,,設(shè)b=2x,c=y(2)選擇①:由條件及小問(1)可知，a=4√7,c=12,b=8,選擇②:由小問(1)可知，題型7三角形高線垂線問題得(2)因為AC⊥AD,所以∠CAD=90°,C為銳角，又0<∠BAC<π,,可由(2)可c(sinB+sinC).求AB.【分析】(1)先得到∠ABC=∠CHD,得到,同理得到,相乘后結(jié)合題目條件得到答案；【詳解】(1)記△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C.因為H為銳角△ABC的垂心，ADBECF1(2)因為cosBcosA+sinAsinB=cos(B-A)≤1,cos∠ABCcos∠BACcos∠ACB=9,cosAcosB取得最小值，的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，對邊分別為a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos[2(B+C)]=1∠ABCD,過D作DE⊥AC,垂足為點E.3【分析】(1)利用二倍角余弦公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡可得b2+c2-a2=-bc,用余弦定理即可求得答案；(2)根據(jù)三角形面積關(guān)系可求得AD的長，解直角三角形即得答案.【詳解】(1)∵2sin2B+2sin2c+2sinBsinC+cos[2(B+C)]=1,足asin(B+C)=(b-c)sinB+csinC.【分析】(1)將題干條件利用誘導(dǎo)公式，正弦定理的邊角互化轉(zhuǎn)化成全部都是邊的關(guān)系，(2)利用三角形的面積公式和基本不等式先求出面積的最大值，然后求AD的最大值.【詳解】(1)由asin(B+C)=(b-c)sinB+csinC可得asinA=(b-c)sinB+csinC,題型8普通多三角形問題小劃重點高的處理方法：a,b,c,已知c=2aCOSAcosB-bcos2A(A≤B).(2)若D是BC上的一點，且BD:DC=1:2,AD=2,求a的最小值【分析】(1)根據(jù)正弦定理化簡可得sinC=sin(2A-B),再根據(jù)角度關(guān)系分析即可； (2)根據(jù)平面向量基本定理可得,再兩邊平方可得b2+4c2+2bc=36,結(jié)合 余弦定理可,再,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】(1)∵c=2acosACOSB-bcos2A(A≤B),若C=2A-B,若C+2A-B=π,則A=2B,又A≤B,不符合題意，舍去，綜上所述又a2=b2+c2-bc②,由對勾函數(shù)性質(zhì)可得當0<t≤3時，減函數(shù)，(2)如圖，由,所以AM=3,MC=6,BM=AM是a,b,c,且5cos2B-14COSB=7.【詳解】(1)因為5cos2B-14cosB=7,所以5cos2B-7coSB-6=0,(2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=41,則b=√41,【分析】(1)先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式化簡即可得解；(2)先根據(jù)三角形的面積公式及已知求出b,c,再利用余弦定理即可得解.22則c=6-b,面積.代入數(shù)據(jù)，,解得AD=4(AD=-1舍去),【分析】(1)首先邊角互化，將邊轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再根據(jù)三角恒等變形，即可求解；(2)首先結(jié)合正弦定理，利用三角函數(shù)分別表示DE,DF,再表示三角形的面積，根據(jù)三角恒等變形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(1)由題型9四邊形問題劃重點劃重點存在外接圓(即對角互補),且AB=5,BC=2,(1)求△ABC的面積(2)在△ABC中，由余弦定理得【分析】(1)由銳角三角函數(shù)求出∠ACD、BC,再由余弦定理計算可得；【詳解】(1)在Rt△ACD中，,所以∠ACD=60°,(2)由已知可得∠ABC=60°,,【詳解】(1)因,由正弦定理可得sin∠ACB+Cos∠ACB=(2)因為△ABC的面積S=2,2【詳解】(1)在△BCD中，BC=CDBDBCCDBC(2)在△BAE中，,BE=5.由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos∠BAE,即25=AB2+AE2+AB·AE,題型10面積最值取值范圍問題【分析】(1)利用邊化角，并結(jié)合余弦定理即可求解.(2)由三角形面積公式S=1absinC,【詳解】(1)因為(a-b)sinA+(b+c)sinB=(4+b)sinC,注意到c=4且結(jié)合正弦定理(2)由(1)可知a2+b2-c2=ab,且注意到c=4,所以有a2+b2-ab=16=c2利用基本不等式得16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,即ab有最大值16,當且僅當a=又由(1)可,又c=1,(2)在銳角△ABC中,又c=1,【分析】(1)利用正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解；(2)利用誘導(dǎo)公式求出cos∠BAC然后利用余弦定理即可求出BC.(2)由題設(shè)及(1)知，(,所以sinB≠0,(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，化簡整理可求得sinA-,平方進而求得sin2A;(2)利用余弦定理表示出b2+c2,根據(jù)三角形面積公式和基本不等式求得最值.【詳解】(1)因為c=2asinC-2ccosA,由正弦定]所以A),可得sinA>0,cosA>0,與sin2A+cos2A=1聯(lián)立，,,當且僅當b=c時等號成立，,得最大值題型11與三角函數(shù)結(jié)合;,,所以1=(b+c)2-1,即(b+c)2=2,b+c=√2,積為1,求a的值，2(2)在(1)基礎(chǔ)上，求出,結(jié)合三角形面積公式求出bc=2,進而由余弦定理求出答案.,解得bc=2,=b2+c2-2√3=(b+c)2-2bc-2√3=8-4-2【詳解】(1),,(負值舍去)【變式11-1】3.(2024秋·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=求a的值.,所sinx(sinx-√3cosx).【詳解】(1)f(x)=sinx(sinx-√3cosx)=sin2xsinxcosx因又因為0<φ<π,所以k=0,將函數(shù)f(x)的圖象向左平單位長度得到y(tǒng)=2sin[2(x+題型12三角形個數(shù)問題 若選②:b=4,故有2個解；,D,解得BD=5(2)選①,利用三角形的面積公式化簡已知條件，求得tanB,進而求得B,利用正弦定理(2)選擇①,又0<B<π,選擇②,選擇③,又0<B<π,長.長選擇①,因為acosC+ccosA=1,選擇②,因為4sinBsinA+cos2A=1,所以4sinBsinA=1-cos2A=2sin2A,因為sinA≠0,所以sinA-2sinB=0因為a2+c2-b2=ac,c=2,所以4b2+4-b2=4b,整理得3b2-4b+4=0,方程無實數(shù)解，所以△ABC不存在.選擇③,:sinA+sinB-2(sinAcosB+cosAsinB)=0,所以sinA+sinB=2sin(A+B),即sinA+sinB=2sinC1,解得：,,,題型13證明問題(2)若D為邊BC上一點，且,證明：△ABC為直角三角形.【分析】(1)結(jié)合正弦定理、誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡求解即可；【詳解】(1)因即b2+2bc-8c2=0,所以(b+4c)(b-2c)=0,所以b=2c.又b=2c,所以b2=a2+c2,,(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，利用余弦定理求出a,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求,代【詳解】(1)因為acosB=ccosA+acosC,,得證.時,(2)設(shè)△ABC的三條邊BC,AC,AB分別為a,b,c,由2sinC=sinA+sin(B-C),得2sinC=sin(B+Csin解(舍),B,C的對邊分別為a,b,c,且3acosB=2c,c=1.,【分析】(1)由三角恒等變換化簡可,結(jié)合已知等式利用正弦定理邊化角可得2bc(1+cosA)=3a2,再利用余弦定理可得b+c=2a,即可得sinB+sinC=2sinA,即可證明結(jié)論；(2)由(1)中結(jié)論可,利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求得角A的取值范圍，從而可得答案.【詳解】(1)證明：即b2+c2+2bc=4a2,∴(b+c)2所以sinB,sinA,sinC是等差數(shù)列.(當且僅當b=c時取等號),點P,直線AP、BP、CP分別與邊BC、CA、AB相交于點D、E、F.(2)由題意AD,BE,CF為中線，可得,CP=2,PF=1,再所,得證.可可題型14實際應(yīng)用題某人站在海拔600米的點A處，他讓無人機從點A起飛，垂直向上飛行400米到達點B行于地平面),已知B與D之間的距離為518米，從點D處測得天門山的最高點C處的仰【分析】(1)過C作CO⊥β,垂足為0,再根據(jù)直角(2)在△BCD中，由余弦定理結(jié)合(1)中數(shù)據(jù)求解可得h=518,進而可得山高.【詳解】(1)如圖，過C作CO⊥β,垂足為0,則CO=h米，∠CBO=45°,∠CDO=α,由(1)得!,整理得5182=h2,即h=518,所以天門山的海拔為600+400+518=1518米.觀線路最長?面積最大?【詳解】(1)如下圖，連接BN,則同理可得AN=2asinθ,且AB=NA=2asinθ,所以參觀路線的長度l=AB+NA+MB=4asinθ+2acos2θasinasin取得最大值，此,參觀路線最長.(2)由題知：扇形ONP的面所以杜鵑花的種植總面積S=(舍),因1當),S單調(diào)遞增，當θ,S單調(diào)遞減，所以,杜鵑花的種植總面積最大.0的距離0M=3√13km,且∠AOM=β.OAOB【分析】(1)在△AOM中運用余弦定理即可；(2)首先利用正弦定理求,根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求得sina和cosa的值，方法如下：如圖2,手持十字測天儀，使得眼睛可以從A點觀CD圖1圖2a;(i=1,2),其中a?,α?都是銳角.證明：α1<2α?.,再,再【詳解】(1)方法一，由余弦定理，方法二從而即太陽高度角的正弦值,(2)由題意，,,根據(jù),可知長AB,采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得【分析】(1)由正弦定理結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可；(2)分別在△ACD,△BCD用余弦定理可求得CD=4,BD=BC=√10,再由兩角差的余(2)在△ACD,由余弦定理可得：解得：CD=4或CD=-6(舍去),最新真題、?？碱}組練asinB.,,,,,,(2)由題意得到C=2A,由正弦定理和余弦定理得到,求a【詳解】(1)因,所以sinA+sinAcOSB=2sinB-COSAsinB,因為C=π-,補充在下面問題中，并加以解答.【分析】(1)若選擇條件①,由正弦定理邊化角即可求解；若選擇條件②,利用和差角公sinBsinCcosAsinAsinCsinA又0<C<π,;【分析】(1)先用正弦定理將角化成邊，再用余弦定理即可求解；(2)先由函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)y=f(x)的解析式，再結(jié)合函數(shù)y=f(wx)的圖象特點即可求解.【詳解】(1)解：(1)因為asinA-bsinB=2sin(A-B)asinAbsinBsinACOSBcoSAs,因為a≠b,所以c=2(2))解法一：由(1)知c=2,y=sinx的圖象向右的圖象，上恰有兩個極值點，的圖象，再把解法二：由(1)知c=2,y=sinx的圖象向右平移平個單位的圖象，再把).,所以k=(4,即可求解；(2)由(1),結(jié)合三角形的面積公式，列出方程求得bc=8,再由余弦定理列出方程，即(2)解：由(1)及已知，可由余弦定理(,可得12=b2+c2-bc,即12=(b+c)2-3bc,即(b+c)2=12+24=36,所以b+c=6.2sinA=√3acosB.(2)求AC邊上高的最大值.【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合條件，變形求得tanB,即可求解；(2)解法一，根據(jù)余(2)解法一：設(shè)AC邊上高為h,由余弦定理b2=a2+c2-accosB因為A+B+C=π,∴sinA=sin(B+C)(2),求△ABC面積.(2)由(1)可知，只需求出sinA即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.(2)由正弦定理可而0<sinB≤1,,又0<A<π,(2)根據(jù)余弦定理即可解出；