吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章，第二章2.3止。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則l的斜率為（）A． B． C． D．2．直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則（）A．， B．， C．， D．，3．若，，三點(diǎn)共線，則（）A．4 B． C．1 D．04．若直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若某等腰直角三角形斜邊所在直線的傾斜角為，則該三角形兩條直角邊所在直線的斜率之和為（）A．0 B． C． D．6．直線l過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則（）A．直線l的點(diǎn)斜式方程為 B．直線l的斜截式方程為C．直線l的截距式方程為 D．直線l的一般式方程為7．如圖，在正四棱柱中，，．點(diǎn)，，分別在棱，，上，，，，則點(diǎn)D到平面的距離為（）A． B． C． D．8．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中點(diǎn)，，若點(diǎn)M在矩形ABCD內(nèi)，且平面DEF，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線l：與n：，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則或B．若，則C．直線l恒過(guò)點(diǎn)D．若直線n在x軸上的截距為6，則直線n的斜截式為10．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線l的方程可能是（）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)，，直線l：，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．直線l恒過(guò)點(diǎn)B．若直線l與線段PQ有交點(diǎn)，則C．點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為D．若，M為直線l上一點(diǎn)，則的最小值為12．清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個(gè)正交的正四面體組合而成，如圖1，也可由正方體切割而成，如圖2，在圖2所示的“蒺藜形多面體”中，若，則給出的說(shuō)法中正確的是（）A．該幾何體的表面積為B．該幾何體的體積為4C．二面角的余弦值為D．若點(diǎn)P，Q在線段BM，CH上移動(dòng)，則PQ的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．平行線與間的距離為______．14．若向量，，且，則______．15．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓O的直徑，D，E分別為SO，SB的中點(diǎn)，，，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為______．第15題圖16．在正四棱臺(tái)中，，，，，，若平面，則______．第16題圖四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知直線的斜率為2，直線過(guò)點(diǎn)，．（1）若直線的傾斜角為，求m的值；（2）若，求m的值．18．（12分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）求點(diǎn)A到直線BC的距離；（2）求BC邊上的高所在直線的方程．19．（12分）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)．（1）求的值；（2）證明：C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．20．（12分）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，BC，AD的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線所在直線方程為，邊AC上的高所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）求的面積．22．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，AD，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段AB上．（1）若平面AEG，試確定點(diǎn)H的位置，并說(shuō)明理由；（2）求平面AEG與平面CDH的夾角的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)試卷參考答案1．A由，得l的斜率為．2．B令，解得，故；令，解得，故．3．A因?yàn)?，，所以，解得．故?．B當(dāng)斜率k存在時(shí)，，，因?yàn)?，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，所以傾斜角．5．B不妨作草圖，如圖所示，因?yàn)橹本€OA的傾斜角為，，所以直線OB的傾斜角為，直線AB的傾斜角為．6．D因?yàn)橹本€l的方向向量為，所以直線l的斜率為2．因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以直線l的點(diǎn)斜式方程為，其一般式為．7．D以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．點(diǎn)D到平面的距離為．8．D如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)平面DEF的法向量為，則，令，得．設(shè)，則．因?yàn)槠矫鍰EF，所以，則，解得，．故．9．AC若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合，故A正確；若，則，解得或，故B不正確；由得所以l恒過(guò)點(diǎn)，故C正確；若直線n在x軸上的截距為6，則，得，所以直線n的方程為，斜截式為，故D不正確．10．BCD當(dāng)直線l的截距為0時(shí)，直線l的方程為，即．當(dāng)直線l的截距不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，則解得或若則直線l的方程為，即，若則直線l的方程為，即．11．BCD因?yàn)橹本€l的方程可化為，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)，且，，所以，故B正確．當(dāng)直線時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，且最大值為，所以C正確．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為．設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，，所以，所以，故D正確．12．BCD因?yàn)?，所以．該幾何體的表面積為，A錯(cuò)誤．該幾何體的體積為，B正確．設(shè)EF的中點(diǎn)為O，連接OB，OH（圖略），則即二面角的平面角．，，C正確．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故PQ的最小值為，D正確．13．將方程兩邊乘以2，得，所以該兩平行線間的距離為．14．3，．因?yàn)?，所以，解得?5．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．16．連接，設(shè)，平面平面．因?yàn)槠矫?，所以．，，，，因?yàn)?，所以?7．解：（1）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得．（2）因?yàn)?，直線的斜率為2，所以直線的斜率為，所以，解得．18．解：（1），直線BC的方程為，即．點(diǎn)A到直線BC的距離為．（2）結(jié)合（1）可得，BC邊上的高所在直線的斜率為．BC邊上的高所在直線的方程為，即．19．解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，．（1）．（2）證明：．令，即解得所以．故C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．20．解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．，，，．（1）證明：因?yàn)?，所以，即．?）因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．注：第（1）問(wèn)若不建系，證法如下：連接（圖略）．在正方體中，平面，所以．因?yàn)?，所以．在正方形中，E，G分別是邊，AD的中點(diǎn)，可得，所以，，所以．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?1．解：（1）設(shè)，因?yàn)檫匒B上的中線所在直線方程為，邊AC上的高所在直線方程為，所以解得即B的坐標(biāo)為．設(shè)，因?yàn)檫匒B上的中線所在直線方程為，邊AC上的高所在直線方程為，所以解得即C的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)?，，所以．因?yàn)檫匒B所在直線的方程為，即，所以點(diǎn)到邊AB的距離為，即邊AB上的高為，故的面積為．22．解：（1）若平面AEG，則H為AB的中點(diǎn)，理由如下：因?yàn)镋，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫鍭EG，所以平面AEG．若平面AEG，只需即可．因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)，所以H為AB的中點(diǎn)．（2）過(guò)點(diǎn)D作平面ABC，垂足為O，連接OE，