數(shù)學(xué)建模實(shí)例 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

4.1數(shù)學(xué)建模實(shí)例新授課1.通過動手操作，進(jìn)一步掌握正確的洗滌方法，并懂得怎樣使衣服洗得更干凈.體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).日常洗衣服都要經(jīng)歷兩個階段，第一階段是用去污劑搓洗衣服，第二階段是漂洗衣服.一、實(shí)際情境一般來講要漂洗多次，漂洗的次數(shù)越多衣服越干凈.在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干凈？二、提出問題影響漂洗衣服干凈程度的因素有：漂洗前衣服上殘留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次數(shù)，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后衣服上殘留的污物量.三、相關(guān)因素分析及假設(shè)假設(shè)：1.漂洗所用的清水總量是定值，記為A

kg；2.共漂洗n（n∈N+）次，每次漂洗所用的清水量相等，記為akg；3.初次漂洗之前衣服上的污物量記為m0kg，第i（1≤i≤n，且i∈N+）次漂洗后，將衣服擰干，衣服上殘留污物量記為mikg；4.每次漂洗擰干后，衣服上留有的清水量相等，記為b

kg；5.每次漂洗，衣服上殘留的污物可均勻地溶解在水中；6.為了使衣服上的污物能均勻地溶解在水里，每次漂洗時存在用水最小量，記為c

kg；7.衣服上的殘留污物量小于ε

kg，則稱衣服被漂洗干凈了.第1次漂洗前，衣服上有污物m0kg，衣服上留有的清水量b

kg.四、建立模型第1次漂洗時加入清水a(chǎn)

kg，此時m0kg污物均勻地溶解在（a+b）kg清水里，漂洗擰干后，衣服上殘留的污物量為m1kg，滿足

，即

進(jìn)而可得同理于是，問題轉(zhuǎn)化為只需要求同時滿足

和

的n值即可，通過對n賦值，得到符合條件的n值，即得結(jié)果.另外，由假設(shè)可知，a≥c，即事實(shí)上，為了保證有解，應(yīng)當(dāng)滿足條件其中表示不超過的最大整數(shù).由模型得出的結(jié)論可通過實(shí)際檢測得到（略）.五、檢驗(yàn)以上過程是一個完整的數(shù)學(xué)建?；顒舆^程.在這之后，我們還可以做進(jìn)一步的工作，比如：1.改進(jìn)已有模型，可通過改進(jìn)假設(shè)，建立新的模型，使新的模型更接近實(shí)際.2.討論模型的特征，擴(kuò)大模型的適用范圍，以解決更多的問題.3.深入分析實(shí)際情境，提出新的問題，進(jìn)行新問題解決的數(shù)學(xué)建模活動.在上面的數(shù)學(xué)建?；顒又?，做了模型的假設(shè)：每次漂洗所用的清水量相等，在本節(jié)開始還提及：漂洗的次數(shù)越多衣服越干凈，現(xiàn)在，不禁要問：（1）如果每次漂洗所用的清水量不相等，結(jié)果又怎樣呢？（2）“漂洗的次數(shù)越多衣服越干凈”的結(jié)論正確嗎？在這里只討論問題（1）：如果每次漂洗所用的清水量不相等，結(jié)果又怎樣呢？為了簡單起見，只討論漂洗2次，設(shè)2次所用的清水量分別為a1

kg，a2

kg，且a1+a2=A，A是定值，比較a1=a2和a1≠a2的漂洗效果.在漂洗所用的清水量不相等（a1≠a2）時，我們希望m2盡可能地小，即

盡可能地大.由基本不等式，得即這說明，在只漂洗2次的情況下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳.一般地，在用水總量和漂洗次數(shù)都相同的情況下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后殘留污物量要少.∵這里的

是定值，∴當(dāng)且僅當(dāng)

即