第七章 偽投影與多圓錐投影

第七章偽投影與多圓錐投影

學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求1．掌握偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的投影表象2．了解偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的一般公式3．掌握偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的特點(diǎn)4．掌握多圓錐投影的幾何構(gòu)成及一般公式5．掌握幾種多圓錐投影的應(yīng)用及變形特點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)

1．掌握偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的投影表象2．掌握偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的特點(diǎn)3．了解掌握偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的應(yīng)用4．掌握幾種多圓錐投影的應(yīng)用及變形特點(diǎn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)1．偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影的投影的特點(diǎn)2．多圓錐投影的幾何構(gòu)成一偽投影的共同特點(diǎn)1緯線投影與原投影一致2經(jīng)線投影均將過去的直經(jīng)線改為對(duì)稱于中央直經(jīng)線的曲線3均無等角性質(zhì)的投影二偽圓錐投影偽圓錐投影的定義是：緯線投影為一組同心圓圓弧，經(jīng)線為對(duì)稱于中央直經(jīng)線的曲線。由此可見，緯線的投影僅是緯度φ的函數(shù)，而經(jīng)線的投影則是緯度φ和經(jīng)度λ的函數(shù)。由此可寫出偽圓錐投影的一般公式：式中q為圓心縱坐標(biāo)，因?yàn)榫暰€為同心圓，所以q在一個(gè)投影中是常數(shù)。偽圓錐投影的變形公式，注意到q為常數(shù)，因此q′=0，可得：在偽圓錐投影中，除中央經(jīng)線外，其余經(jīng)線均為曲線。如若經(jīng)線成為交于緯線共同圓心的直線束，則就成為圓錐投影。另一方面，若緯線半徑無窮大，則緯線變成一組平行直線，這時(shí)所得到的是偽圓柱投影?？梢?，不論圓錐投影或偽圓柱投影都可說是偽圓錐投影的特例。按變形性質(zhì)來分析偽圓錐投影，因?yàn)閭螆A錐投影的經(jīng)緯線不正交，故不可能有等角投影，而只能有等面積和任意投影。在偽圓錐投影的實(shí)際應(yīng)用中，最常見的是彭納等面積偽圓錐投影。下面我們僅介紹這種投影。緯線長度保持不變的等面積偽圓錐投影——彭納投影（BonneProjection）1）中央經(jīng)線投影為直線，并保持長度無變形，即m0=12）緯線投影為同心圓圓弧且保持長度無變形，即n=13）中央經(jīng)線與所有緯線正交，而中間緯線（切緯線）則與所有經(jīng)線正交4）面積比P=1彭納投影是保持緯線長度不變的等面積偽圓錐投影，即n=1，P=1。有積分后得

此處C為積分常數(shù)，如以中央經(jīng)線作為0°起算，則λ=0時(shí)δ=0，故以n=1代入之得

積分后得ρ=C—s式中C為積分常數(shù)，s為赤道到緯線φ的經(jīng)線弧長。

變形公式如下：

因中央經(jīng)線與一切緯線正交，故其上θ′=90°，即ε=0，故按中央經(jīng)線長度比m0=1，由此可知，彭納投影中央經(jīng)線無長度變形。

為了決定常數(shù)C，令指定的某一緯線φ0上沒有變形，即與所有經(jīng)線正交，即ε=0，則有即ρ0=N0ctgφ0由此得C=N0ctgφ0+s0通常取投影區(qū)域中部緯度作為φ0，其上n0=1并ε=0。因?yàn)榕砑{投影的中央經(jīng)線λ0及指定的緯線φ0上沒有變形，所以它的等變形線在中心點(diǎn)λ0、φ0附近是“雙曲線”。彭納投影的經(jīng)緯線網(wǎng)如圖所示。圖中另一組曲線是角度等變形線，對(duì)稱于中央經(jīng)線。

彭納投影曾以用于法國地形圖而著名。其后因發(fā)現(xiàn)它由于不是等角投影而不適宜于軍事方面使用，故現(xiàn)很少用于地形圖?，F(xiàn)在一般用于小比例尺地圖。例如地圖出版社出版的《世界地圖集》中的亞洲政區(qū)圖，單幅的亞洲地圖，英國《太晤士世界地圖集》中澳洲與西南太平洋圖，均用此投影。在其他國家出版的地圖和地圖集中，也?？煽吹接迷撏队熬幹频臍W洲、亞洲、北美洲和南美洲以及個(gè)別地區(qū)的地圖。三偽圓柱投影偽圓柱投影中緯線投影為平行直線，經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央直經(jīng)線的曲線。偽圓柱投影可視為偽圓錐投影的特例，當(dāng)后者的緯圈半徑為無窮大時(shí)，即成為偽圓柱投影。根據(jù)經(jīng)緯線形狀可知，偽圓柱投影中不可能有等角投影，而只能有等面積和任意投影。在偽圓柱投影，緯線的投影僅為緯度φ的函數(shù)，而經(jīng)線的投影是經(jīng)、緯度的函數(shù)。故可寫出。x=f1(φ)y=f2(φ，λ)本投影中通常以中央經(jīng)線為x軸，赤道為y軸。變形公式為：通常偽圓柱投影用于小比例尺制圖，故可把地球視為正球體。這時(shí)，上式中的M、N均可以用R代之。等面積偽圓柱投影的一般公式

偽圓柱投影中以等面積投影較多，為此我們先推導(dǎo)出等面積偽圓柱投影的一般公式，以便于探求具體的投影公式。在等面積條件下P=1，故有：

移項(xiàng)積分后式中C為積分常數(shù)，因中央經(jīng)線為直線，λ由中央經(jīng)線起算，當(dāng)λ=0時(shí)，y=0，故C=0，則規(guī)定偽圓柱投影經(jīng)線形狀的一般公式在研究偽圓柱投影時(shí)，通?？梢?guī)定投影中經(jīng)線的形狀，為此我們先導(dǎo)出實(shí)踐中應(yīng)用較多的經(jīng)線為正弦曲線與橢圓曲線的一般公式。幾種等面積偽圓柱投影

1）正弦曲線等面積偽圓柱投影——桑遜投影(Sanson-FlamsteedProjection)本投影緯線投影后為間隔相等且互相平行的直線，中央經(jīng)線為垂直于各緯線的直線，其他經(jīng)線投影后為正弦曲線，并對(duì)稱于中央經(jīng)線。該投影有以下特性：n=1，P=1，m0=1，緯線投影為間隔相等的平行直線經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央直經(jīng)線的正弦曲線適合沿中央經(jīng)線和赤道延伸的區(qū)域的地圖投影，高緯度地區(qū)變形大上圖是正弦曲線等面積偽圓柱投影略圖。由圖可見，在該投影中遠(yuǎn)離中央經(jīng)線和緯度愈高之處變形愈大。故該投影最適宜于沿赤道或沿中央經(jīng)線伸展的地區(qū)。等面積，即P=1，所有緯線無長度變形，即n=1，中央經(jīng)線保持等長，即m0=1。由這些條件，推得投影公式(推導(dǎo)從略)如下：2）極點(diǎn)投影成線的等面積偽圓柱投影——

愛凱特投影(EckertProjection)由上述桑遜投影可見，高緯度處角度變形甚大。為使角度變形改善一些，有一種設(shè)想使各經(jīng)線不是交于一點(diǎn)而是終止于兩條線上，稱為極線。這就是本投影的特點(diǎn)，顯然它不能保持n=1的條件。

本投影中P=1，規(guī)定(參見圖)。即兩極投影成極線，極線的長度等于赤道長度的一半。極點(diǎn)投影成線，其長度等于赤道長的一半P=1根據(jù)以上條件，可由一般公式推導(dǎo)(過程從略)得以下投影公式：

(10－17)當(dāng)解算上式中的α?xí)r，需用逐漸趨近法。本投影在高緯度處變形較桑遜投影小，值其極點(diǎn)投影不成點(diǎn)而成線。該投影主要應(yīng)用于編制小比例尺世界圖。3）橢圓經(jīng)線等面積偽圓柱投影——

摩爾威德投影(MollweideProjection)本投影中經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央直經(jīng)線的橢圓，離中央經(jīng)線經(jīng)差為±90°的經(jīng)線投影后合成一個(gè)圓，其面積等于地球的半球面積。緯線是平行于赤道的一組平行直線。橢圓經(jīng)線，離中央經(jīng)線經(jīng)差+90的經(jīng)線投影后合成一個(gè)圓，其面積為地球表面積的一半P=1上圖是該投影的經(jīng)緯線網(wǎng)略圖。該投影常用于編制小比例世界地圖。從一般公式可推導(dǎo)得本投影公式為：(推導(dǎo)過程從略)式中α值是用逐漸趨近法求解的。

4）偽圓柱投影的分瓣方法從幾種偽圓柱投影的變形情況看來，在高緯度特別是遠(yuǎn)離中央經(jīng)線的地區(qū)都有較大變形的缺點(diǎn)，為了彌補(bǔ)這一缺陷，古德(Goode)曾提出將摩爾威德投影進(jìn)行分瓣的改良方法以減小變形。例如對(duì)于編制世界地圖，要求保持大陸部分完整，變形較小，則在分瓣時(shí)將海洋部分分裂，而在赤道上統(tǒng)一起來。故對(duì)于不同的大陸采用不同的中央經(jīng)線，即：北美洲——中央經(jīng)線為－100°；南美洲——中央經(jīng)線為－60°；歐、亞洲——中央經(jīng)線為+60°；非洲——中央經(jīng)線為+20°；澳洲——中央經(jīng)線為+150°。分瓣投影的經(jīng)緯線網(wǎng)當(dāng)編制各大洋地圖時(shí)，要求海洋部分保持完整，為此將大陸分裂，其各部分的中央經(jīng)線可取如下；北大西洋——中央經(jīng)線為－30°；南大西洋——中央經(jīng)線為－20°；太平洋北部——中央經(jīng)線為－170°；太平洋南部——中央經(jīng)線為－140°；印度洋北部——中央經(jīng)線為+60°，印度洋南部——中央經(jīng)線為+90°。分瓣方法對(duì)于偽圓柱一類投影顯然都可以運(yùn)用。在國外地圖集中?？煽吹揭恍┎煌梅ǖ睦?。四偽方位投影1偽方位投影的投影表象及一般公式在偽方位投影中，正常位置下緯線投影為同心圓，經(jīng)線為對(duì)稱于中央直經(jīng)線的曲線，并交于緯線圓心。在橫軸或斜軸投影中，等高圈表現(xiàn)為同心圓，垂直圈表現(xiàn)為交于等高圈圓心的對(duì)稱曲線，而經(jīng)緯線均為較復(fù)雜的曲線。由于偽方位投影中等變形線具有不同于方位投影中等變形線為圓的特點(diǎn)，而是可能為橢圓形或卵形，或有規(guī)律的其它幾何形，使它能設(shè)計(jì)得符合于對(duì)投影變形分布的特殊要求，即等變形線與制圖區(qū)域輪廓近似一致。使它具有同一般投影設(shè)計(jì)計(jì)算有不同的特點(diǎn)。也由于這一特點(diǎn)，偽方位投影的應(yīng)用，以非正常位置為多，所以一般公式的推導(dǎo)要從任意位置的球面極坐標(biāo)出發(fā)，其一般公式為：式中z為天頂距，α為方位角。以選定的投影區(qū)域中某點(diǎn)作為原點(diǎn)。投影中的極角具有以下函數(shù)形式：式中c、g、K、zn為參數(shù)。視具體情況而取一定的數(shù)值。zn是制圖區(qū)域中心到最遠(yuǎn)邊界的天頂距。K是決定投影網(wǎng)對(duì)稱軸的參數(shù)，如制圖區(qū)域?yàn)闄E圓或卵形，可取K為1(則投影有一個(gè)對(duì)稱軸)或2(則有兩個(gè)互相垂直的對(duì)稱軸)。若制圖區(qū)域?yàn)槿切?，可令K=3，若制圖區(qū)域?yàn)榉叫?，可令K=4等等。參數(shù)q和c可在使等變形線與區(qū)域輪廓近似一致的條件下計(jì)算決定。至于ρ的形式，可以取方位投影中等面積、等距離或等角投影的ρ的形式，即，或ρ=2，(這里令地球球體半徑R=1)。但根據(jù)經(jīng)緯線形狀的定義可知，偽方位投影不可能有等角或等面積投影，而只存在任意投影，因此ρ即使取為這類形式，也并不使投影具有單純的等面積或等距性質(zhì)。由一般公式代入第二章求E、G、F、H的一般公式有：可求得

2偽方位投影等變形線的特點(diǎn)：等變形線可以設(shè)計(jì)為心形、三角形、方形、橢圓形、三葉玫瑰形等規(guī)則的幾何圖形偽方位投影不可能有等角或等面積投影，而只存在任意投影3偽方位投影的應(yīng)用實(shí)例——中國全圖在上列偽方位投影的一般公式中，6的函數(shù)形式中的幾個(gè)系數(shù)的決定是比較復(fù)雜的問題。我們可以通過下列實(shí)例來解決。至于ρ的形式可以取方位投影中ρ的條件，例如ρ=Z。(當(dāng)然必要時(shí)也可以取別的方式)?，F(xiàn)以設(shè)計(jì)中國全圖為例。首先觀察中國疆域的外廓，在西北、東北和南中國海是三個(gè)向外突出的方向，它們之間則是三個(gè)凹進(jìn)去的方向，每兩突出方向(或凹入方向)之間的夾角近似120°?，F(xiàn)選定ρ=Rz，即選取近似于方位投影中的等距離投影(但在偽方位投影中并不保持等距離)。于是有：令R=1，則有代入得

設(shè)投影中心點(diǎn)為λ0=105°，φ0=35°時(shí)，估算zn(即從中心點(diǎn)到最突出之點(diǎn))≈26°，由上節(jié)可知K應(yīng)為3°為使邊緣角度變形不致過大，選定g=1，故需求定的參數(shù)為c。因突出和凹入方向夾角近似為60°，設(shè)凹入處