《高等數(shù)學(xué)（上冊）》（陽平華）645-4教案 第二章 第6課 導(dǎo)數(shù)的概念

第課第課導(dǎo)數(shù)的概念6導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念第課6PAGE12 PAGE12PAGE11 PAGE11導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念第課6

課題導(dǎo)數(shù)的概念課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念。（2）會利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，會通過導(dǎo)數(shù)定義計算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（3）理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。（4）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。思政育人目標(biāo)：通過引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的定義，并一步步的探索，感受成功的樂趣，增強學(xué)生的自信心；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認(rèn)識，達(dá)到學(xué)以致用的目的。教學(xué)重難點教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】布置課前問答題：（1）導(dǎo)數(shù)是因為哪些實際問題產(chǎn)生的？（2）什么是導(dǎo)數(shù)？（3）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系？【學(xué)生】提前上網(wǎng)搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)課程的大概內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤

（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（43min）【教師】講解導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景，并通過例題講解介紹其應(yīng)用例1求變速直線運動物體的瞬時速度．設(shè)某物體做變速直線運動，在時間內(nèi)運動的路程為，求物體在時間的瞬時速度．如果質(zhì)點做勻速直線運動，那么按照公式便可求出．但現(xiàn)在要求質(zhì)點做變速直線運動的瞬時速度，遇到了速度變與不變的矛盾，在整個時間間隔內(nèi)不能應(yīng)用上述公式求時刻的速度．但孤立地停止在時刻，又無法求出，初等數(shù)學(xué)的知識已解決不了這一問題．那么我們可以設(shè)法在物體的運動變化和相互聯(lián)系中，利用矛盾轉(zhuǎn)化的方法，分三步來解決這一問題．（1）給一個增量，時間從變到了，路程有了增量，這一步稱為“求增量”．（2）當(dāng)很小時，速度來不及有較大的變化，可把質(zhì)點在間隔內(nèi)的運動近似地看成勻速運動，這實質(zhì)上是把變速運動近似地轉(zhuǎn)化成勻速運動．現(xiàn)求物體在內(nèi)的平均速度，這一步簡稱為“求增量比”．（3）越來越小，平均速度便越來越接近于時刻的瞬時速度，于是當(dāng)時，平均速度的極限就是瞬時速度，即，這一步簡稱為“取極限”．這樣以辯證法為指導(dǎo)，以極限為工具，解決了初等數(shù)學(xué)無能為力的問題．用此結(jié)論，我們可以推出自由落體運動（為常數(shù)）在時刻的速度為．例2求曲線切線的斜率．如圖2-1所示，設(shè)連續(xù)曲線及上的點，在曲線上任取一點，作割線．如果在曲線上逐漸向點移動，則割線繞點轉(zhuǎn)動．當(dāng)點移動到位置（與重合）時，得到直線的極限位置，則稱為曲線在點處的切線．這個定義包含了中學(xué)數(shù)學(xué)圓的切線定義．圖2-1【學(xué)生】了解導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景【教師】講解導(dǎo)數(shù)的定義，并通過例題講解介紹其應(yīng)用1．函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義1設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點取得改變量（仍在該鄰域內(nèi)，且）時，相應(yīng)有函數(shù)的改變量，若極限（1）存在，那么稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，且極限值稱為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，記為，即，（2）也可以記作或．導(dǎo)數(shù)定義公式（2）還可以有以下幾種形式：，，．【學(xué)生】了解導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景【教師】講解導(dǎo)數(shù)的定義，并通過例題講解介紹其應(yīng)用1．函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義1設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點取得改變量（仍在該鄰域內(nèi)，且）時，相應(yīng)有函數(shù)的改變量，若極限（1）存在，那么稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，且極限值稱為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，記為，即，（2）也可以記作或．由導(dǎo)數(shù)的定義可知，例1中提到的自由落體運動在時刻的速度實際就是在時的導(dǎo)數(shù)，因此．故物體做自由落體運動在任意時刻的速度．若極限式（2）不存在，則稱函數(shù)在點處不可導(dǎo)，稱為函數(shù)的不可導(dǎo)點；如果不可導(dǎo)的原因是式（2）的極限為，為方便起見，此時也稱函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為無窮大．例3已知常值函數(shù)（為常數(shù)），求，．解．這說明常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零．例4設(shè)函數(shù)（n為正整數(shù)），求．解．2．左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)如果極限，存在，則分別稱為函數(shù)在點的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)．在點的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)稱為在點的單側(cè)導(dǎo)數(shù)．由極限存在的充要條件，可以得出以下結(jié)論：存在與存在，且．例5絕對值函數(shù)在處是否可導(dǎo)？解由導(dǎo)數(shù)定義可求，，因為，所以在點導(dǎo)數(shù)不存在．從函數(shù)的圖像（見圖2-2）容易發(fā)現(xiàn)，在處圖像產(chǎn)生了“尖點”．由此可以猜想：如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則其圖像必定在該點處是“光滑”狀態(tài)．圖2-23．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．這樣對每一個，都有一個導(dǎo)數(shù)值，因此構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)稱為的導(dǎo)函數(shù)，在不至于產(chǎn)生混淆的情形下，仍簡稱為導(dǎo)數(shù)，記為，，，，即．如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，都存在，我們稱在閉區(qū)間上可導(dǎo)．例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解．所以．用類似方法可證明．例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解．所以，特別地．例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解．設(shè)，則，當(dāng)時，．所以．所以．同理可得．【學(xué)生】理解導(dǎo)數(shù)的定義，學(xué)會利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，會通過導(dǎo)數(shù)定義計算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景、導(dǎo)數(shù)的定義。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并通過例題講解介紹其應(yīng)用由例2關(guān)于曲線切線的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：是函數(shù)表示的曲線在點切線的斜率，即（為切線的傾斜角），如圖2-1所示．于是，當(dāng)存在時，曲線在點處的切線方程為．若，則曲線在點處具有垂直于軸的切線（也稱鉛直切線），其方程為．過切點且與切線垂直的直線稱為曲線在該點的法線，相應(yīng)的法線方程為．例9求曲線在點處的切線方程與法線方程．解由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，曲線在點處切線的斜率，因此，所求切線方程為，即．曲線在點處法線的斜率，因此，所求法線方程為，即．【學(xué)生】理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教師】講解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，并通過例題講解介紹其應(yīng)用定理1如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在點處必連續(xù)．證明由于函數(shù)在點處可導(dǎo)，所以．根據(jù)函數(shù)的極限與無窮小的關(guān)系定理可知，其中 ，所以．于是當(dāng)時，有．所以，函數(shù)在點處連續(xù)．該定理可簡言之：可導(dǎo)必連續(xù)．但其逆命題不成立．例如，函數(shù)在處連續(xù)，但在處不可導(dǎo)．這說明函數(shù)在某點處連續(xù)是該點處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件．例10設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，試確定的值．解因為函數(shù)在點處可導(dǎo)，所以函數(shù)在點處必連續(xù)，即．而，所以．又因在點處可導(dǎo)，故．，，于是，易得．綜上所述，當(dāng)函數(shù)在點處可導(dǎo)時，，．【學(xué)生】理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．若存在，觀察下列極限，指出表示什么？（1）； （2）；（3）．2．若函數(shù)在處可導(dǎo)，在什么情況下，在處也可導(dǎo)？3．總結(jié)求導(dǎo)數(shù)的步驟．【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點的理解課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景、導(dǎo)數(shù)的定義、