十年高考真題分類匯編(2010-2019) 數(shù)學(xué) 專題13 排列組合與二項式定理（含解析）

十年高考真題分類匯編（2010—2019）數(shù)學(xué)專題13排列組合與二項式定理一、選擇題1.(2019·全國3·理T4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解析】(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為C43+22.(2018·全國3·理T5)x2+2x5的展開式中A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由展開式知Tr+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.當(dāng)r=2時,x4的系數(shù)為3.(2017·全國1·理T6)1+1x2(1+x)6展開式中x2A.15 B.20C.30 D.35【答案】C【解析】(1+x)6的二項展開式通項為Tr+1=C6rxr,1+1x2(1+x)6的展開式中含x2的項的來源有兩部分,一部分是1×C62x2=15x2,另一部分是1x2×C64x4=15x2,故1+1x2(1+x)64.(2017·全國3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】(2x-y)5的展開式的通項公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)當(dāng)r=3時,x(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C53×22×(-1)3當(dāng)r=2時,y(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為C52×23×(-1)2=故展開式中x3y3的系數(shù)為80-40=40.5.(2017·全國2·理T6)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】D【解析】先把4項工作分成3份有C42C21C16.(2016·四川·理T2)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為()A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4【答案】A【解析】二項式(x+i)6展開的通項Tr+1=C6rx6-rir,則其展開式中含x4是當(dāng)6-r=4,即r=2,則展開式中含x4的項為C62x4i2=-157.(2016·全國2·理T5)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9【答案】B【解析】由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3=18,故選B.8.(2016·全國3·理T12)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個【答案】C【解析】由題意知a1=0,a8=1,則滿足題意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個.9.(2016·四川·理T4)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24 B.48C.60 D.72【答案】D【解析】要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù),則個位數(shù)應(yīng)該為1,3,5中的一個,其他位置共有A44種排法,所以其中奇數(shù)的個數(shù)為3A410.(2015·四川·理T6)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個 B.120個 C.96個 D.72個【答案】B【解析】當(dāng)首位數(shù)字為4,個位數(shù)字為0或2時,滿足條件的五位數(shù)有C21A43個;當(dāng)首位數(shù)字為5,個位數(shù)字為0或2或4時,滿足條件的五位數(shù)有C11.(2015·全國1·理T10)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60【答案】C【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展開式通項為Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr(r=由題意,y的冪指數(shù)為2,故r=2.對應(yīng)的項為C52(x2+x)3y2=10(x2+x)3y記(x2+x)3的展開式通項為Ts+1=C3s(x2)3-sxs=C3sx6-s(s=0,1,2,3),由題意令6-s=5,得s=1.故所求項的系數(shù)為1012.(2015·陜西·理T4)二項式(x+1)n(n∈N*)的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=()A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】(x+1)n的展開式通項為Tr+1=Cnrx令n-r=2,即r=n-2.則x2的系數(shù)為Cn13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A.212 B.211 C.210 D.29【答案】D【解析】由條件知Cn3=∴(1+x)10中二項式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為210-1=29.14.(2014·大綱全國·理T5)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組,則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種【答案】C【解析】從6名男醫(yī)生中選出2名有C62種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有C51種選法,故共有C615.(2014·遼寧·理T6)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120 C.72 D.24【答案】D【解析】插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空檔中選出3個插入3人即可.故排法種數(shù)為A43=24.16.(2014·四川·理T6)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種 B.216種 C.240種 D.288種【答案】B【解析】(1)當(dāng)最左端排甲的時候,排法的種數(shù)為A55;(2)當(dāng)最左端排乙的時候,排法種數(shù)為C4117.(2014·重慶·理T9)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168【答案】B【解析】第1步,先排歌舞類節(jié)目,有A33=第2步,排另3個節(jié)目,因為3個歌舞節(jié)目不相鄰,則中間2個空位必須安排2個節(jié)目.分兩類情況:①中間兩個空位安排1個小品類節(jié)目和1個相聲節(jié)目,有C21種排法,最后一個小品類節(jié)目排兩端,有2種方法.共有6×4×2=48種排法.②中間兩個空位安排2個小品類節(jié)目,有A22個空位,選1個將相聲類節(jié)目排上,有6種排法.共有6×2×6=72種排法.所以一共有48+72=120種排法.18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)6的展開式中,含x3項的系數(shù)為()A.30 B.20 C.15 D.10【答案】C【解析】含x3的項是由(1+x)6展開式中含x2的項與x相乘得到,又(1+x)6展開式中含x2的項的系數(shù)為C6故含x3項的系數(shù)是15.19.(2014·湖南·理T4)12x-2y5的展開式中x2A.-20 B.-5 C.5 D.20【答案】A【解析】由已知,得Tr+1=C5r12x5-r(-2y)r=C5令r=3,得T4=C53122(-2)3x2y320.(2014·浙江·理T5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60C.120 D.210【答案】C【解析】∵(1+x)6展開式的通項公式為Tr+1=C6rxr,(1+y)公式為Th+1=C4?y∴(1+x)6(1+y)4展開式的通項可以為C6rC4?∴f(m,n)=C6∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C6121.(2013·全國1·理T9)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由題意可知,a=C2mm,b=∵13a=7b,∴13·(2m)!m即13722.(2013·山東·理T10)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243 B.252 C.261 D.279【答案】B【解析】構(gòu)成所有的三位數(shù)的個數(shù)為C91C101C101=900,而無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為23.(2013·全國2·理T5)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=()A.-4 B.-3 C.-2 D.-1【答案】D【解析】因為(1+x)5的二項展開式的通項為C5rxr(0≤r≤5,r∈Z),則含x2的項為C52x2+ax·24.(2013·遼寧·理T7)使3x+1xxn(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】3x+1xxn展開式中的第r+1項為Cnr(3x)n-rx-32r=C25.(2013·大綱全國·理T7)(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A.56 B.84 C.112 D.168【答案】D【解析】因為(1+x)8的展開式中x2的系數(shù)為C82,(1+y)4的展開式中y2的系數(shù)為C42,所以x2y26.(2012·湖北·理T5)設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,則a=()A.0 B.1 C.11 D.12【答案】D【解析】∵512012可化為(52-1)2012,其二項式系數(shù)為Tr+1=C2012r522012-r·(-1)r.故(52-1)2012被13除余數(shù)為C20122012·(-1)27.(2012·安徽·理T7)(x2+2)1x2-A.-3 B.-2 C.2 D.3【答案】D【解析】通項為Tr+1=C5r1x25-r(-1)r=(-1)rC5r1x1028.(2012·全國·理T2)將2名教師,4名學(xué)生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有()A.12種 B.10種 C.9種 D.8種【答案】A【解析】將4名學(xué)生均分為2個小組共有C42將2個小組的同學(xué)分給兩名教師帶有A22=2種分法,最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A22=2種分法,故不同的安排方案共有3×2×29.(2012·遼寧·理T5)一排9個座位坐了3個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為()A.3×3! B.3×(3!)3C.(3!)4 D.9!【答案】C【解析】完成這件事可以分為兩步,第一步排列三個家庭的相對位置,有A33種排法;第二步排列每個家庭中的三個成員,共有A33A330.(2012·安徽·理T10)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀(jì)念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進行了13次交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為()A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4【答案】D【解析】6人之間互相交換,總共有C62有2次未交換.不妨設(shè)為甲與乙、丙與丁之間未交換或甲與乙、甲與丙之間未交換,當(dāng)甲與乙、丙與丁之間未交換時,甲、乙、丙、丁4人都收到4份禮物;當(dāng)甲與乙、甲與丙之間未交換時,只有乙、丙兩人收到4份禮物,故選D.31.(2011·全國·理T8)x+ax2xA.-40 B.-20 C.20 D.40【答案】D【解析】令x=1得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.原式=x·2x-x·C53(2x)2-1x32.(2010·山東·理T8)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成,演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位,節(jié)目乙不能排在第一位,節(jié)目丙必須排在最后一位,該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A.36種 B.42種 C.48種 D.54種【答案】B【解析】若乙排在第二位,則有A33種方案;若乙不排在第二位,則乙只能排在第三、四、五位,此時共有A31A二、填空題1.(2019·天津·理T10)（2x-18x3【答案】28【解析】Tr+1=C8r(2x)8-r（=C8r·28-r·（-18）需8-4r=0,r=2.常數(shù)項為C8226（-18）2=C2.(2018·天津·理T10)在x-12x5【答案】5【解析】展開式的通項為Tr+1=C5rx5-r-1所以x-12x53.(2018·浙江·T14)二項式3x+1【答案】7【解析】通項為Tr+1=C8當(dāng)r=2時,8-故展開式的常數(shù)項為124.(2018·上?！3)在(1+x)7的二項展開式中,x2項的系數(shù)為(結(jié)果用數(shù)值表示).

【答案】21【解析】由(1+x)7的二項展開式的通項,得(1+x)7的二項展開式的x2項的系數(shù)為C75.(2018·全國1·理T15)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

【答案】16【解析】方法一:①恰有1位女生時,有C21C②恰有2位女生時,有C22C故不同的選法共有12+4=16種.方法二:6人中選3人共有C63種選法,3人全是男生時有C43種選法,所以至少有1位女生入選時有6.(2018·浙江·T16)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

【答案】1260【解析】分兩類:第一類:從0,2,4,6中取到0,則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有C31第二類:從0,2,4,6中不取0,則沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有C32C所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有540+720=1260種.7.(2017·山東·理T11)已知(1+3x)n的展開式中含有x2項的系數(shù)是54,則n=.

【答案】4【解析】二項展開式的通項Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得38.(2017·浙江·T13)已知多項式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=,a5=.

【答案】164【解析】由二項式展開式可得通項公式為C3rx3-rC2mx2-m2m,分別取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=19.(2017·天津·理T14)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個.(用數(shù)字作答)

【答案】1080【解析】①沒有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有A5②有且只有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有C4所以至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個.10.(2017·浙江·T16)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答)

【答案】660【解析】由題意可得,總的選擇方法為C84C41C311.(2016·全國1·理T14)(2x+x)5的展開式中,x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)

【答案】10【解析】二項式的通項公式Tr+1=C5r(2x)5-rxr2=C故x3的系數(shù)為C54×212.(2016·天津·理T10)x2-1x8的展開式中x【答案】-56【解析】展開式通項為Tr+1=C8r(x2)8-r-1xr=(-1)rC8rx13.(2015·廣東·理T12)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)

【答案】1560【解析】共有A402=40×39=14.(2015·天津·理T12)在x-14x【答案】

1516【解析】由題意知Tr+1=C6rx6-r·-14xr故所求x2的系數(shù)為C615.(2015·重慶·理T12)x3+1【答案】5【解析】展開式的通項公式Tr+1=C5r·(x3)5-r·12xr令15-72r=8,得r=2,于是展開式中x8項的系數(shù)是C52·2-216.(2015·全國2·理T15)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.

【答案】3【解析】∵(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x∴(a+x)(1+x)4的奇數(shù)次冪項的系數(shù)為4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.17.(2014·安徽·理T13)設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),1+xan的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則【答案】3【解析】由題意得a1=1a·Ca2=1a∴n2-n=8a2.將n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.18.(2014·北京·理T13)把5件不同產(chǎn)品擺成一排.若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有種.

【答案】36【解析】產(chǎn)品A,B相鄰時,不同的擺法有A22A44=故產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰的不同擺法有48-12=36(種).19.(2014·全國1·理T13)(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)

【答案】-20【解析】(x+y)8的通項公式為Tr+1=C8rx8-ryr(r=0,1,…,8,r∈Z).當(dāng)r=7時,T8=C87xy7=8xy7,當(dāng)r=6時,T7=C86x2y所以(x-y)(x+y)8的展開式中含x2y7的項為x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系數(shù)為-20.20.(2014·全國2·理T13)(x+a)10的展開式中,x7的系數(shù)為15,則a=

.(用數(shù)字填寫答案)

【答案】1【解析】設(shè)展開式的通項為Tr+1=C10rx10-ra令r=3,得T4=C103x7a3,即C103a21.(2013·浙江·理T11)設(shè)二項式x-13x5的展開式中常數(shù)項為【答案】-10【解析】Tr+1=C5r(x)5-r·-13xr=C5令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3C53=-22.(2013·北京·理T12)將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果